第2课时 等腰三角形的判定
知识要点基础练
知识点1 等腰三角形的判定
1.在△ABC中,其两个内角如下,则能判定△ABC为等腰三角形的是 (C)
A.∠A=40°,∠B=50° B.∠A=40°,∠B=60°
C.∠A=20°,∠B=80° D.∠A=40°,∠B=80°
2.如图,在△ABC中,∠BAC∶∠B∶∠C=3∶1∶1,AD,AE将∠BAC三等分,则图中等腰三角形的个数是 6 .
【变式拓展】如图,△ABC和△DCB中,∠A=∠D=72°,∠ACB=∠DBC=36°,则图中等腰三角形的个数是 (D)
A.2 B.3 C.4 D.5
3.在△ABC中,∠A=100°,当∠B= 40 °时,△ABC是等腰三角形.
知识点2 等边三角形的判定
4.如图,AD⊥BC,D为BC的中点.则下列结论:①△ABD≌△ACD;②∠B=∠C;③AD平分∠BAC;④△ABC是等边三角形.其中正确的有 (C)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
5.如图,已知AB=AC,D是BC的中点,AB平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为E.
(1)求证:AD=AE;
(2)若BE∥AC,试判断△ABC的形状,并说明理由.
解:(1)∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
∵AE⊥BE,∴∠E=90°=∠ADB,
∵AB平分∠DAE,∴∠1=∠2,
在△ADB和△AEB中,
∴△ADB≌△AEB(AAS),∴AD=AE.
(2)△ABC是等边三角形.理由:
∵BE∥AC,∴∠EAC=90°,
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴∠1=∠3,由(1)知∠1=∠2,
∴∠1=∠2=∠3=30°,∴∠BAC=∠1+∠3=60°,∴△ABC是等边三角形.
知识点3 含30°角的直角三角形的性质
6.如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,BD=2,则AB的长为 (C)
A.4 B.6 C.8 D.10
综合能力提升练
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2.5,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP的长不可能是 (D)
A.3 B.3.5 C.4.8 D.5.2
8.如图,下列三角形中,AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 (A)
A.①③④ B.①②③④
C.①②④ D.①③
9.已知在△ABC中,∠A=60°,如要判定△ABC是等边三角形,还需添加一个条件.现有下面三种说法:
①如果添加条件“AB=AC”,那么△ABC是等边三角形;
②如果添加条件“∠B=∠C”,那么△ABC是等边三角形;
③如果添加条件“边AB,BC上的高相等”,那么△ABC是等边三角形.
其中正确的有 (A)
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=40°,在直线AC上找点P,使△ABP是等腰三角形,
则∠APB的度数为 20°或40°或70°或100° .
11.如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,过点D作DE∥AB,交BC于点E,且DE=BC,连接AC交DE于点F,若∠ACB=∠CDE=30°,则图中有几个等腰三角形?请找出来并说明理由.
解:共有两个等腰三角形,分别是△ACD,△DCF.
理由:∵DE∥AB,∴∠DEC=∠B,
在△DCE和△CAB中,
∴△DCE≌△CAB,
∴CA=CD,∴△ACD是等腰三角形,
∵∠B=90°,∴∠DEC=90°,
∵∠ACB=∠CDE=30°,
∴∠DCE=90°-∠CDE=60°,
∴∠DCF=∠DCE-∠ACE=30°=∠CDE,
∴DF=CF,∴△DCF是等腰三角形.
12.如图,△ABC中,AB=AC,BD,CE为△ABC的高,且BD,CE交于点O.
(1)图中共有几个等腰三角形?分别是哪些三角形?
(2)其中△ODE是等腰三角形吗?若是,请说明理由.
(3)若∠A=45°,还有哪些三角形也是等腰三角形?OE与DC会相等吗?请说明理由.
解:(1)图中有四个等腰三角形,分别是△ABC,△BOC,△AED,△OED.
(2)△OED是等腰三角形,理由如下:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵BD,CE为△ABC的高,
∴∠BEC=∠CDB=90°,
∴∠ECB=∠DBC,
∴BO=CO,
在△EBC与△DCB中,
∴△EBC≌△DCB,∴BD=EC,
∴OD=BD-OB,OE=CE-OC,∴OE=OD,
∴△OED是等腰三角形.
(3)若∠A=45°,△ABD,△ACE,△BEO,△DCO也是等腰三角形,OE=DC.理由如下:
∵∠A=45°,BD,CE为△ABC的高,
∴∠ABD=∠ACE=45°,
∴∠BOE=∠DOC=45°,
∴BE=OE,OD=CD,
∵OE=OD,∴OE=CD.
拓展探究突破练
13.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=50°,点D在线段BC上运动(点D不与B,C重合),连接AD,作∠ADE=50°,DE交线段AC于点E.
(1)在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请求出∠BDA的度数;若不可以,请说明理由.
(2)若DC=2,求证:△ABD≌△DCE.
解:(1)∵∠B=∠C=50°,∠ADE=50°,
∴∠BDA+∠EDC=∠CED+∠EDC=130°,
∴∠BDA=∠CED,
∵点D在线段BC上运动(点D不与B,C重合),
∴AD≠AE.
当EA=ED时,∠EAD=∠ADE=50°,∴∠BDA=∠CED=50°+50°=100°;
当DA=DE时,∠EAD=∠AED=65°,∴∠BDA=∠CED=65°+50°=115°.
(2)由(1)可得∠BDA=∠CED,
在△ABD和△DCE中,
∴△ABD≌△DCE(AAS).
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