中考复习之 - 胡不归问题

中考复习之——胡不归问题

从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。

例1.（2012崇安模拟），如图，在平面直角坐标系中，AB=AC，A(0，），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D的坐标应为-------------------------------------------------（ ）

A. B. C. D.

例2.（2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为 。

（3）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点。

1　若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个；

2　连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围。

练习巩固：

1.（2015无锡二模）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6, ABC=150°,则PA+PB+PD的最小值为 。

2.（2015内江）如图，在中，CA=CE， CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上。

（1）试说明CE是⊙O的切线。

（2）若中AE边上的高为h,试用含 h的代数式表示⊙O的直径AB;

（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的AB的长。

3.（2015日照）如图，抛物线与直线交于A、B两点，交x轴于D、C两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）。

（1）抛物线的函数关系式为 ，tan∠BAC= 。

（2）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出所有符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由。

（3）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位的速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到点A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

4.（2014成都）如图，已知抛物线与x轴从左至右依次交于点A、B，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一个交点为D。

（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数关系式。

（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

（3）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值。

5.（2017徐州二模）二次函数图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，-3）。

（1） ， ；

（2）如图①，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求的最小值。

（3）如图②，点M在抛物线上，若，求点M的坐标。

6.（2016随州）已知抛物线，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D。

（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为 。

（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标。

（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？

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