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2019高考全国卷数学答案-

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绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M{x4x2}，N{xx2x60，则MIN= A．{x4x3
B．{x4x2 C．{x2x2
D．{x2x3
2．设复数z满足zi=1，z在复平面内对应的点为(x，y，则
A．(x+12y21
B．(x12y21 C．x2(y121 D．x2(y+1213．已知
alog0.20.320.2，b2，c0.2，则
A．abc
B．acb C．cab
D．bca
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（512≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
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A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm 5．函数f(x=sinxxcosxx2在[,]的图像大致为 A． B．
C． D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A．516 B．1132 C．2132 D．1116 7．已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(abb，则a与b的夹角为 A．ππ6 B．3 C．2π3 D．5π6 8．如图是求1的程序框图，图中空白框中应填入
21212


A．A=12A B．A=21A C．A=112A
D．A=112A 9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S40，a55，则
A．an2n5 B． an3n10 C．S2n2n8n
D．S1n2n22n 10．已知椭圆C的焦点为F1(1,0，F2(1,0，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则C的方程为
2222222A．x2y21 B．x3y21 C．xy431 D．x5y41 11．关于函数f(xsin|x||sin x|有下述四个结论：
①f(x是偶函数 ②f(x在区间（2,）单调递增
③f(x在[,]有4个零点 ④f(x的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④
B．②④
C．①④
D．①③
12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A．86
B．46
C．26
D．6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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13．曲线y3(x2xex在点(0，0处的切线方程为____________．
14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1213，a4a6，则S5=____________．
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
16．已知双曲线C：x2y2a2b21(a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若uFuuruuur1AAB，uFuuBruFuuur12B0，则C的离心率为____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17．(12分△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinBsinC2sin2AsinBsinC．
（1）求A；
（2）若2ab2c，求sinC．
18．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，
N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值． 19．（12分）
已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若uAPuur3uPBuur，求|AB|．
20．（12分）
已知函数f(xsinxln(1x，f(x为f(x的导数．证明：
（1）f(x在区间(1,2存在唯一极大值点；
（2）f(x有且仅有2个零点．
21．（12分）
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有实用文档
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效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1,L,8表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2,L,7，其中aP(X1，bP(X0，cP(X1．假设0.5，0.8．
(i证明：{pi1pi}(i0,1,2,L,7为等比数列；
(ii求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
1t2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x1t2，t（t为参数）．以坐标原点O为y41t2极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．

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（1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： b2c2a21． 由余弦定理得cosA2bc2因为0A180，所以A60．
（2）由（1）知B120C，由题设及正弦定理得2sinAsin120C2sinC，
（1）111a2b2c2abc； （2）(ab3(bc3(ca324．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学•参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D

二、填空题
13．y=3x 14．1213 15．0.18 16．2 三、解答题
17．解：（1）由已知得sin2Bsin2Csin2AsinBsinC，故由正弦定理得b2c2a2bc．
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即6232cosC12sinC2sinC，可得cosC6022． 由于0C120，所以sinC6022，故 sinCsinC6060
sinC60cos60cosC60sin60
624． 18．解：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME=12B1C． 又因为N为A11D的中点，所以ND=2A1D．
由题设知A1B1PDC，可得B1CPA1D，故MEPND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． （2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，DAuuur的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则

A(2,0,0，AuuuAr(0,0,4，uAuuur1(2,0,4，M(1,3,2，N(1,0,2，A11M(1,3,2，uAuuur1,0,2，uMNuuur1N((0,3,0．
uuuu设m(x,y,z为平面Am1MA的法向量，则muArAu1uMr0， 1A0所以x3y2z0，4z0．可取m(3,1,0．
设n(p,q,r为平面AnuMNuuur0，1MN的法向量，则uAuuur n1N0．实用文档
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所以3q0，2r0．可取n(2,0,1．
p于是cosm,nmn2315|m‖n|255， 所以二面角AMA101N的正弦值为5． 19．解：设直线l:y32xt,Ax1,y1,Bx2,y2． （1）由题设得F34,0，故|AF||BF|x351x22，由题设可得x1x22．
由y3xt，可得9x212(t1x4t20，则x12(t121x2． y23x9从而12(t15792，得t8． 所以l的方程为y32x78． （2）由uAPuur3uPBuur可得y13y2．
由y3xt，可得y22y2t0．2 y23x
所以y1y22．从而3y2y22，故y21,y13．
代入C的方程得x113,x23． 故|AB|4133． 20．解：（1）设g(xf'(x，则g(xcosx111x，g'(xsinx(1x2. 当x1,2时，g'(x单调递减，而g'(00,g'(20，可得g'(x在1,2有唯一零点， 设为. 则当x(1,时，g'(x0；当x,2时，g'(x0. 所以g(x在(1,单调递增，在,2单调递减，故g(x在1,2存在唯一极大值点，即f'(x在1,2存在唯一极大值点. （2）f(x的定义域为(1,. （i）当x(1,0]时，由（1）知，f'(x在(1,0单调递增，而f'(00，所以当x(1,0时，f'(x0，故f(x在(1,0单调递减，又f(0=0，从而x0实用文档
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是f(x在(1,0]的唯一零点. （ii）当x0,2时，由（1）知，f'(x在(0,单调递增，在,2单调递减，而f'(0=0，f'20，所以存在,2，使得f'(0，且当x(0,时，f'(x0；当x,2时，f'(x0.故f(x在(0,单调递增，在,2单调递减. 又f(0=0，f21ln120，所以当x0,2时，f(x0.从而，f(x在0,2没有零点. （iii）当x2,时，f'(x0，所以f(x在2,单调递减.而f20，f(0，所以f(x在2,有唯一零点. （iv）当x(,时，ln(x11，所以f(x<0，从而f(x在(,没有零点. 综上，f(x有且仅有2个零点. 21．解：X的所有可能取值为1,0,1.
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P(X1(1， P(X0(1(1，P(X1(1，所以X的分布列为
4411p4 p4p3p3p2p2p1p1p0p1 .
3257p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理. 10.0039，此时257
（2）（i）由（1）得a0.4,21t24t2y1t21，且x22．解：（1）因为11，所以C的直角坐2221t221t1t22b0.5,c0.1. y21(x1. 标方程为x42因此pi=0.4pi1+0.5 pi+0.1pi1，故0.1pi1pi0.4pipi1，即
l的直角坐标方程为2x3y110. xcos,（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，ππ）. y2sinπ4cos11|2cos23sin11|3C上的点到l的距离为. 77π2π时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7. 33222222pi1pi4pipi1. 又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2,L,7为公比为4，首项为p1的等比数列．
（ii）由（i）可得
481p8 p8p7p7p6Lp1p0p0 p8p7p7p6Lp1p0p1
3. 由于p8=1，故p1当23．解：（1）因为ab2ab,bc2bc,ca2ac，又abc1，故有
3，所以
841a2b2c2abbccaabbcca111. abcabc实用文档

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所以111a2b2c2. abc（2）因为a, b, c为正数且abc1，故有
(ab3(bc3(ca333(ab3(bc3(ac3 =3(a+b(b+c(a+c
3(2ab(2bc(2ac
=24. 所以(ab(bc(ca24. 333实用文档

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e50473f4df3383c4bb4cf7ec4afe04a1b071b090.html

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