2016高考数学二轮复习微专题强化练习题：1集合与常用逻辑用语

第一部分　一　1

一、选择题

1．(文)(2014·新课标Ⅰ理，1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝(　　)

A．[－2，－1] B．[－1,2)

C．[－1,1] D．[1,2)

[答案]　A

[解析]　A＝{x|x≤－1或x≥3}，所以A∩B＝[－2，－1]，所以选A.

(理)(2014·甘肃三诊)若A＝{x|2<2x<16，x∈Z}，B＝{x|x2－2x－3<0}，则A∩B中元素个数为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

[答案]　B

[解析]　A＝{2,3}，B＝{x|－1<x<3}，∴A∩B＝{2}，故选B.

[方法点拨]　1.用列举法给出具体集合，求交、并、补集时，直接依据定义求解．

2．用描述法给出集合，解题时应先将集合具体化，再依据条件求解，例如方程、不等式的解集，应先解方程(不等式)求出集合，特别注意集合中的限制条件(如x∈Z)．

3．解答集合间的包含与运算关系问题的思路：先正确理解各个集合的含义，弄清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：

(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；

(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；

(3)若给定的集合是抽象集合，常用Venn图求解．

2．(文)(2014·天津文，3)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则¬p为(　　)

A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1

B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1

C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1

D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1

[答案]　B

[解析]　由命题的否定只否定命题的结论及全称命题的否定为特称(存在性)命题，“>”的否定为“≤”知选B.

(理)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)

A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

[分析]　根据四种命题的关系判定．

[答案]　B

[解析]　“若p则q”的否命题为“若¬p则¬q”，故选B.

3．(2015·天津理，1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝(　　)

A．{2,5} B．{3,6}

C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}

[答案]　A

[解析]　∁UB＝{2,5,8}，所以A∩(∁UB)＝{2,5}，故选A.

4．(文)已知集合A＝{(x，y)|y＝2x，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝2x，x∈R}，则A∩B的元素数目为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．无穷多

[答案]　C

[解析]　函数y＝2x与y＝2x的图象的交点有2个，故选C.

(理)设全集U＝R，集合M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝3－2x}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)

A．{x|<x≤3} B．{x|<x<3}

C．{x|≤x<2} D．{x|<x<2}

[答案]　B

[解析]　M＝{x|x≤}，N＝{x|x<3}，

∴阴影部分N∩(∁UM)＝{x|x<3}∩{x|x>}

＝{x|<x<3}．

5．(文)(2014·邯郸一模)下列命题错误的是(　　)

A．对于命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”

B．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”

C．若p∧q是假命题，则p、q均为假命题

D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件

[答案]　C

[解析]　p∧q是假命题时，p与q至少有一个为假命题，∴C错．

[点评]　此类题目解答时，只要能选出符合题意的答案即可，因此若能快速找出答案可不必逐个判断．

[方法点拨]　1.判定命题真假的方法：

(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别真假．

(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假．

(3)形如p∨q、p∧q、¬p命题真假根据真值表判定．

(4)判定全称命题为真命题，必须考察所有情形，判断全称命题为假命题，只需举一反例；判断特称命题(存在性命题)真假，只要在限定集合中找到一个特例，使命题成立，则为真，否则为假．

2．注意含逻辑联结词的命题的否定．

3．设函数y＝f(x)(x∈A)的最大值为M，最小值为m，若∀x∈A，a≤f(x)恒成立，则a≤m；若∀x∈A，a≥f(x)恒成立，则a≥M；若∃x0∈A，使a≤f(x0)成立，则a≤M；若∃x0∈A，使a≥f(x0)成立，则a≥m.

(理)(2015·安徽理，5)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

[答案]　D

[解析]　考查直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用．

选项A中，α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A不正确；选项B中，m，n平行于同一平面，则m，n可以平行、重合、相交、异面，故B不正确；选项C中，α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α∩β＝l时，在α平面中平行于交线l的直线；选项D中，其逆否命题为“若m与n垂直于同一平面，则m，n平行”是真命题，故D项正确．所以选D.

6．(文)已知a、b、c都是实数，则命题“若a>b，则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是(　　)

A．4 B．2

C．1 D．0

[答案]　B

[分析]　解答本题要特别注意c2≥0，因此当c2＝0时，ac2>bc2是不成立的．

[解析]　a>b时，ac2>bc2不一定成立；ac2>bc2时，一定有a>b，即原命题为假，逆命题为真，故逆否命题为假，否命题为真，故选B.

[点评]　原命题与其逆否命题同真同假，原命题与其逆(或否)命题无真假关系，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假．

[方法点拨]　1.要严格区分命题的否定与否命题．命题的否定只否定结论，否命题既否定条件，也否定结论．

常见命题的否定形式有：

2.要注意掌握不同类型命题的否定形式，

(1)简单命题“若A则B”的否定．

(2)含逻辑联结词的复合命题的否定．

(3)含量词的命题的否定．

3．解答复合命题的真假判断问题，先弄清命题的结构形式，再依据相关数学知识判断简单命题的真假，最后确定结论．

(理)有下列四个命题：

(1)若“xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

(2)“面积相等的三角形全等”的否命题；

(3)“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

(4)“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

其中真命题为(　　)

A．(1)(2) B．(2)(3)

C．(4) D．(1)(2)(3)

[答案]　D

[解析]　(1)的逆命题：“若x、y互为倒数，则xy＝1”是真命题；(2)的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；(3)的逆否命题：“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m>1”是真命题；命题(4)是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．如A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5}，显然A⊆B是错误的，故选D.

7．(文)(2014·新课标Ⅱ文，3)函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)

A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

[答案]　C

[解析]　∵x＝x0是f(x)的极值点，∴f′(x)＝0，即q⇒p，而由f′(x0)＝0，不一定得到x0是极值点，故p⇒/ q，故选C.

(理)已知：p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)·(x－m－1)≤0，若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为(　　)

A．[2,4]

B．(－∞，4)∪(2，＋∞)

C．[1,5]

D．(－∞，0)∪(6，＋∞)

[答案]　A

[解析]　由|x－3|≤2得，1≤x≤5；

由(x－m＋1)·(x－m－1)≤0得，m－1≤x≤m＋1.

∵¬p是¬q的充分不必要条件，

∴q是p的充分不必要条件，

∴∴2≤m≤4.

[方法点拨]　1.要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．

2．要注意转化：如果p是q的充分不必要条件，那么¬p是¬q的必要不充分条件．同理，如果p是q的必要不充分条件，那么¬p是¬q的充分不必要条件；如果p是q的充要条件，那么¬p是¬q的充要条件．

3．命题p与q的真假都与m的取值范围有关，使命题p成立的m的取值范围是A，使命题q成立的m的取值范围是B，则“p⇒q”⇔“A⊆B”．

8．(2015·安徽理，3)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　考查指数运算与充要条件的概念．

由q：2x>20，解得x>0，易知，p能推出q，但q不能推出p，故p是q成立的充分不必要条件，选A.

9．(文)(2015·青岛市质检)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是(　　)

A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β

B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β

C．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β

D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β

[答案]　C

[解析]　当m∥α，n⊥β，m⊥n时，α，β可能垂直，也可能平行，故选项A，B错误；如图所示，由m∥n，得m，n确定一个平面γ，设平面γ交平面α于直线l，因为m∥α，所以m∥l，l∥n，又n⊥β，所以l⊥β，又l⊂α，所以α⊥β，故选项C正确，D错误，故选C.

(理)(2015·潍坊市模拟)已知命题p：∀x>0，x＋≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝.则下列判断正确的是(　　)

A．p是假命题

B．q是真命题

C．p∧(¬q)是真命题

D．(¬p)∧q是真命题

[答案]　C

[解析]　因为当x>0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时等号成立，所以p是真命题，当x>0时，2x>1，所以q是假命题，所以p∧(¬q)是真命题，(¬p)∧q是假命题．

10．(文)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则集合A×B中属于集合{(x，y)|logxy∈N}的元素个数是(　　)

A．3 B．4

C．8 D．9

[答案]　B

[解析]　用列举法求解．由给出的定义得A×B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1，因此，一共有4个元素，故选B.

(理)设S是实数集R的非空子集，如果∀a、b∈S，有a＋b∈S，a－b∈S，则称S是一个“和谐集”．下面命题中假命题是(　　)

A．存在有限集S，S是一个“和谐集”

B．对任意无理数a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和谐集”

C．若S1≠S2，且S1、S2均是“和谐集”，则S1∩S2≠∅

D．对任意两个“和谐集”S1、S2，若S1≠R，S2≠R，则S1∪S2＝R

[答案]　D

[分析]　利用“和谐集”的定义一一判断即可．

[解析]　对于A，如S＝{0}，显然该集合满足：0＋0＝0∈S,0－0＝0∈S，因此A正确；对于B，设任意x1∈{x|x＝ka，k∈Z}，x2∈{x|x＝ka，k∈Z}，则存在k1∈Z，k2∈Z，使得x1＝k1a，x2＝k2a，x1＋x2＝(k1＋k2)a∈{x|x＝ka，k∈Z}，x1－x2＝(k1－k2)·a∈{x|x＝ka，k∈Z}，因此对任意无理数a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和谐集”，B正确；对于C，依题意，当S1、S2均是“和谐集”时，若a∈S1，则有a－a∈S1，即0∈S1，同理0∈S2，此时S1∩S2≠∅，C正确；对于D，如取S1＝{0}≠R，S2＝{x|x＝k，k∈Z}≠R，易知集合S1、S2均是“和谐集”，此时S1∪S2≠R，D不正确．

[方法点拨]　求解集合中的新定义问题，主要抓两点：一是紧扣新定义将所叙述问题等价转化为已知数学问题，二是用好集合的概念、关系与性质．

11．(文)(2015·陕西理，6)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　充分性：sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝0，所以充分性成立；必要性：cos 2α＝0⇒(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝0⇒sin α＝±cos α，必要性不成立；所以是充分不必要条件．故本题正确答案为A.

(理)(2015·四川理，8)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3b3”的(　　)

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

[答案]　B

[解析]　若3a>3b>3，则a>b>1，从而有loga3b3，故为充分条件．若loga3b3不一定有a>b>1，比如a＝，b＝3，从而3a>3b>3不成立．故选B.

12．(文)设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A.

(理)已知条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　)

A．a≥1 B．a≤1

C．a≥－1 D．a≤－3

[答案]　A

[解析]　条件p：x>1或x<－3，所以¬p：－3≤x≤1；

条件q：x>a，所以¬q：x≤a，

由于¬p是¬q的充分不必要条件，所以a≥1，故选A.

13．(文)(2014·重庆理，6)已知命题

p：对任意x∈R，总有2x>0；

q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，

则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q B．(¬p)∧(¬q)

C．(¬p)∧q D．p∧(¬q)

[答案]　D

[解析]　命题p是真命题，命题q是假命题，所以选项D正确．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．

(理)已知命题p：“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x∈R，x2＋1≤1”；命题q：在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充分条件，则下列命题是真命题的是(　　)

A．p且q B．p或¬q

C．¬p且¬q D．p或q

[答案]　D

[解析]　p为假命题，q为真命题，∴p且q为假命题，p或¬q为假命题，¬p且¬q为假命题，p或q为真命题．

14．(2014·陕西理，8)原命题为“若z1、z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)

A．真，假，真 B．假，假，真

C．真，真，假 D．假，假，假

[答案]　B

[解析]　若z1＝a＋bi，则z2＝a－bi.

∴|z1|＝|z2|，故原命题正确、逆否命题正确．

其逆命题为：若|z1|＝|z2|，则z1、z2互为共轭复数，

若z1＝a＋bi，z2＝－a＋bi，则|z1|＝|z2|，而z1、z2不为共轭复数．

∴逆命题为假，否命题也为假．

15．(文)设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是(　　)

A．p∨q B．p∧q

C．(¬p)∧(¬q) D．p∨(¬q)

[答案]　A

[解析]　取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；

∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，

∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．

∴p∨q为真命题．

(理)已知命题p：“∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1) B．(0,2)

C．(2,3) D．(2,4)

[答案]　A

[解析]　由p为假命题知，∀x∈R，x2＋2ax＋a>0恒成立，∴Δ＝4a2－4a<0，∴0<a<1，故选A.

16．(文)在R上定义运算⊗：x⊗y＝，若关于x的不等式(x－a)⊗(x＋1－a)>0的解集是集合{x|－2≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围是(　　)

A．－2≤a≤2 B．－1≤a≤1

C．－2≤a≤1 D．1≤a≤2

[答案]　C

[解析]　因为(x－a)⊗(x＋1－a)>0，所以>0，即a<x<a＋1，则a≥－2且a＋1≤2，即－2≤a≤1.

(理)下列命题正确的个数是(　　)

①“在三角形ABC中，若sinA>sinB，则A>B”的逆命题是真命题；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x＋y≠5则p是q的必要不充分条件；③“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∀x∈R，x3－x2＋1>0”；④若随机变量x～B(n，p)，则D(X)＝np.⑤回归分析中，回归方程可以是非线性方程．

A．1 B．2

C．3 D．4

[答案]　C

[解析]　在△ABC中，A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB(其中R为△ABC外接圆半径)．∴①为真命题；∵x＝2且y＝3时，x＋y＝5成立，x＋y＝5时，x＝2且y＝3不成立，∴“x＋y＝5”是“x＝2且y＝3”的必要不充分条件，从而“x≠2或y≠3”是“x＋y≠5”的必要不充分条件，∴②为真命题；

∵全称命题的否定是特称命题，

∴③为假命题；

由二项分布的方差知④为假命题．

⑤显然为真命题，故选C.

二、填空题

17．(文)设p：关于x的不等式ax>1的解集为{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，则a的取值范围是________．

[答案]　(0，]∪[1，＋∞)

[解析]　p真时，0<a<1；q真时，ax2－x＋a>0对x∈R恒成立，则即a>.若p∨q为真，p∧q为假，则p、q应一真一假：①当p真q假时， ⇒0<a≤；②当p假q真时， ⇒a≥1.

综上，a∈(0，]∪[1，＋∞)．

(理)(2015·青岛市质检)设X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑．

已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：

①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；

②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；

③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；

④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}；

其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是________．

[答案]　②④

[分析]　按集合τ的定义逐条验证．

[解析]　①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，因为{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故①不是集合X上的一个拓扑；②满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义；③因为{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的一个拓扑；④满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义，故答案为②④.

18．(文)(2015·郑州第二次质量检测)下列说法：

①“∃x∈R,2x>3”的否定是“∀x∈R,2x≤3”；

②函数y＝sin(2x＋)sin(－2x)的最小正周期是π；

③命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则f′(x0)＝0”的否命题是真命题；

④f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x>0时的解析式是f(x)＝2x，则x<0时的解析式为f(x)＝－2－x.

其中正确的说法是________．

[答案]　①④

[解析]　①对，特称(存在性)命题的否定为全称命题；②错，因为化简已知函数得y＝sin(2x＋)sin(－2x)＝sin(2x＋)·sin[－(2x＋)]＝sin(2x＋)cos(2x＋)＝sin(4x＋)，故其周期应为＝；③错，因为原命题的逆命题“若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x＝x0处有极值”为假命题，由逆命题、否命题同真假知否命题为假命题；④对，设x<0，则－x>0，故有f(－x)＝2－x＝－f(x)，解得f(x)＝－2－x.综上可知只有命题①④正确．

[易错分析]　命题③真假的判断容易出错，导函数值为0的点不一定是极值点，这一点可以通过特例进行判断，如f(x)＝x3等函数．

(理)(2015·山东临沂二模)给出下列四个结论：

①“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题；

②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件；

③函数y＝loga(x＋1)＋1(a>0且a≠0)的图象必过点(0,1)；

④已知ξ服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)＝0.2.

其中正确结论的序号是________(填上所有正确结论的序号)．

[答案]　②③

[解析]　①错，因为逆命题为“若a<b，则am2<bm2”，当m＝0时，命题不成立；∵x≥2与y≥2只要有一个成立就有x2＋y2≥4，但是当x＝，y＝时，x2＋y2＝>4却不满足x≥2或y≥2，根据充分条件和必要条件的定义判断可知②正确(也可以转化为其等价的逆否命题来判断)；当x＝0时，y＝loga1＋1＝1，所以恒过定点(0,1)(也可由y＝logax的图象恒过定点(1,0)，将图象左移1个单位，然后向上平移1个单位，故图象恒过(0,1)点)，所以③正确；根据正态分布的对称性可知P(－2≤ξ≤0)＝P(0≤ξ≤2)，P(ξ>2)＝P(ξ<－2)，所以P(ξ>2)＝＝＝0.1，所以④错误，综上正确的结论有②③.

[易错分析]　填空题中此类开放题型出错率较高，必须正确判断每一个命题的真假.

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