2013年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（新课标 理科）

每天一练

1．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－<x<}，则(　　)

A．A∩B＝∅　　　　　 B．A∪B＝R

C．B⊆A D．A⊆B

2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)

A．－4 B．－ C．4 D.

3．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，

事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　)

A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样

C．按学段分层抽样 D．系统抽样

4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x B．y＝±x

C．y＝±x D．y＝±x

5．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于(　　)

A．[－3，4] B．[－5，2]

C．[－4，3] D．[－2，5]

6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，

再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为(　　)A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3

7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)

A．3 B．4

C．5 D．6

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．16＋8π B．8＋8π

C．16＋16π D．8＋16π

9．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式

系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　)

A．5 B．6

C．7 D．8

10．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若

AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)

A.＋＝1 B.＋＝1

C.＋＝1 D.＋＝1

11．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0] B．(－∞，1]

C．[－2，1] D．[－2，0]

12．设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1，2，3，….若b1>c1，

b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则(　　)

A．{Sn}为递减数列

B．{Sn}为递增数列

C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列

D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列

1．已知集合M＝{x|(x－1)2 < 4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝ (　　)

A．{0，1，2}　　　　 　　　 B．{－1，0，1，2}

C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}

2．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(　　)

A．－1＋i B．－1－i

C．1＋i D.1－i

3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2 ＋10a1 ，a5＝9，则a1＝(　　)

A. B．－ C. D．－

4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则

(　　)

A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l

5．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)

A．－4 B．－3

C．－2 D．－1

6．执行右面的程序

框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝(　　)

A．1＋＋＋…＋B．1＋＋＋…＋

C．1＋＋＋…＋D．1＋＋＋…＋

7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，

1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(　　)

8．设ɑ＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)

A．c＞b＞a B．b＞c＞a

C．a＞c＞b D．a＞b＞c

9．已知a＞0，x，y满足约束条件，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　)

A. B.

C．1 D．2

10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)

A．∃x0∈R，f(x0)＝0

B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形

C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减

D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0

11．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过

点(0，2)，则C的方程为(　　)

A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x

C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x

12．已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的

两部分，则b的取值范围是(　　)

A．(0，1) B.

C. D.

1．已知集合A＝，B＝，则B中所含元素

的个数为(　　)

A．3　　　　　　　　　　 B．6

C．8 D．10

2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个

小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)

A．12种 B．10种

C．9种 D．8种

3．下面是关于复数z＝的四个命题

p1：|z|＝2; p2：z2＝2i；

p3：z的共轭复数为1＋i; p4：z的虚部为－1.

其中真命题为(　　)

A．p2，p3 B．p1，p2

C．p2，p4 D．p3，p4

4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上的一点，△

F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)

A. B.

C. D.

5．已知为等比数列，a4＋a1＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)

A．7 B．5

C．－5 D．－7

6．如果执行右边的程序图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…an，输入A，B，则(　　)

A．A＋B为a1a2，…，aN的和

B.为a1a2…，aN的算式平均数

C．A和B分别是a1a2，…aN中最大的数和最小的数

D．A和B分别是a1a2，…aN中最小的数和最大的数

7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体

积为(　　)

A．6 B．9

C．12 D．18

8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两

点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)

A. B．2

C．4 D．8

9．已知ω＞0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)单调递减，则ω的取值范围是(　　)

A．[，] B．[，]

C．(0，] D．(0,2]

10．已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为(　　)

11．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，

SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)

A. B.

C. D.

12．设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为(　　)

A．1－ln2 B. (1－ln2)

C．1＋ln2 D. (1＋ln2)

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________．

14．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________．

15．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________．

16．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为

________．

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________．

14．从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率

为，则n＝________．

15．设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________．

16．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．

第Ⅱ卷

13．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.

14．设x，y满足约束条件则z＝x－2y的取值范围为________．

15．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3

正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．

16．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则 {an}的前60项和为________．

三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csinB.

(1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．

17．(本小题满分12分)

已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边， acos C＋asin C－b－c＝0.

(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.

17．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC

内一点，∠BPC＝90°.

(1)若PB＝，求PA；

(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.

18．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60

°.

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

18．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，

AA1＝AC＝CB＝AB.

(1)证明：BC1//平面A1CD.

(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．

19．(本小题满分12分)

如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，

D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.

(1)证明：DC1⊥BC；

(2)求二面角A1－BD－C1的大小．

19．(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这

批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，

若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．

19．(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出

1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

(1)将T表示为X的函数；

(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)．求T的数学期望．

18．(本小题满分12分)

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

(Ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式．

(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

(ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单元：元)，求X的分布列、数学期望及方差；

(ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．

20．(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外

切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程．

(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

20．(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线

x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.

(1)求M的方程；

(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

20．(本小题满分12分)

设拋物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．

(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；

(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

21．(本小题满分12分)

已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2.

(1)求f(x)的解析式及单调区间；

(2)若f(x)≥x2＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值．

21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝

g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.

(1)求a，b，c，d的值；

(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，证明f(x)>0.

22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明：DB＝DC；

(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．

(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；

(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交

△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：

(Ⅰ)CD＝BC；

(Ⅱ)△BCD∽△GBD.

23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程为： (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．

23．(本小题满分10分)选修4－4；坐标系与参数方程

已知动点P、Q都在曲线C： (t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．

(1)求M的轨迹的参数方程；

(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程式(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.

(Ⅰ)求点A，B，C，D的直角坐标；

(Ⅱ)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．

24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.

(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；

(2)设a>－1时，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．

24．(本小题满分10分)选修4－5；不等式选讲

设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤；

(2)＋＋≥1.

24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(Ⅰ)当a＝－3时，求不等式(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e2129afc284ac850ac024237.html