（完整版）高中数学-公式-柯西不等式

第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）

2. 练习：已知a、b、c、d为实数，求证

① 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则.

证法一：（比较法）=….=

证法二：（综合法）

. （要点：展开→配方）

证法三：（向量法）设向量，，则，.

∵ ，且，则. ∴ …..

证法四：（函数法）设，则

≥0恒成立.

∴ ≤0，即…..

③二维形式的柯西不等式的一些变式：

或 或.

④ 提出定理2：设是两个向量，则.

即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）

→ 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者共线）

⑤ 练习：已知a、b、c、d为实数，求证.

证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形）

2. 教学三角不等式：

1 出示定理3：设，则.

分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明

→ 变式：若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？

3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）

第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二）

教学过程：

；

3. 如何利用二维柯西不等式求函数的最大值?

要点：利用变式.

二、讲授新课：

1. 教学最大（小）值：

① 出示例1：求函数的最大值？

分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演

→ 变式： → 推广：

② 练习：已知，求的最小值.

解答要点：（凑配法）.

2. 教学不等式的证明：

① 出示例2：若，，求证：.

分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）

要点：…

讨论：其它证法（利用基本不等式）

② 练习：已知、，求证：.

3. 练习：

① 已知，且，则的最小值.

要点：…. → 其它证法

② 若，且，求的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）

变式：若，且，求的最大值.

第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式

2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？

答案：；

二、讲授新课：

1. 教学一般形式的柯西不等式：

① 提问：由平面向量的柯西不等式，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？

② 猜想：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？

结论：设，则

讨论：什么时候取等号？（当且仅当时取等号，假设）

联想：设，，，则有，可联想到一些什么？

③ 讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？ （注意分类）

要点：令 ，则

.

又，从而结合二次函数的图像可知，

≤0

即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）

④ 变式：. （讨论如何证明）

2. 教学柯西不等式的应用：

① 出示例1：已知，求的最小值.

分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：

② 练习：若，且，求的最小值.

③ 出示例2：若>>，求证：.

要点：

② 提出排序不等式（即排序原理）：

设有两个有序实数组:···;···.···是，···的任一排列,则有

···+ (同序和)

+···+ (乱序和)

+···+ (反序和)

当且仅当···=或···=时，反序和等于同序和.

（要点：理解其思想，记住其形式）

2. 教学排序不等式的应用：

① 出示例1：设是n个互不相同的正整数，求证：

.

分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？

证明过程：

设是的一个排列，且，则.

又，由排序不等式，得

…

小结：分析目标，构造有序排列.

② 练习：

已知为正数，求证：.

解答要点：由对称性，假设，则，

于是 ，，

两式相加即得.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e0b8e35512a6f524ccbff121dd36a32d7375c7f1.html