天津一中2015-2016高三年级第三次月考数学试卷（理科）
一、选择题：
1、已知全集则
（ C ）
A． B．
C．
D．
2、设变量满足约束条件
，则目标函数
的最大值为 （ D ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3、设，则 “
”是“
”的 （ A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4、下图是一个算法框图，则输出的的值是 （ C ）
A． 3 B． 4 C．5 D． 6
5、如图，已知圆中两条弦与
相交于点
是
延长线上一点，且
，若
与圆相切，且
，则
的长为 （ B ）
A． B．
C．
D．
6、已知双曲线的离心率为
，若抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离为
，则抛物线
的方程为 （ D ）
A． B．
y C．
D．
7、已知定义域为的奇函数
的导函数为
，当
时，
，若
，
，
，则
的关系为 （ D ）
A． B．
C．
D．
8、已知函数，若方程
在区间
内有
个不等实根，则实数
的取值范围是 （ C ）
A． B．
C．或
D．
或
二、填空题：
9、复数(
是虚数单位)是纯虚数，
则实数的值为 4 ．
10、一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图
是等边三角形，该四棱锥的体积等于 ．
11、曲线与直线
及
轴所围成的图形的面积是
．
12、在的展开式中，
项的系数为
．
13、在中，
，
，
的面积为4，则
的长为 4或
．
14、已知椭圆，
为
轴上一个动点，
、
为该椭圆的两条切线，
、
为切点，则
的最小值为
．
15、己知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数
的最小值和最大值．
解：（1）的最小正周期为
，单调递增区间为
；
（2），
．
16、某学校开设了五门选修课．要求每位学生必须参加且只能选修一门课程．假设甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的．
（1）求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法总数；
（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；
（3）设随机变量为甲、乙、丙这三名学生参加
课程的人数，求
的分布列与数学期望．
解：（1）甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法总数为种
（2）设甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程为实践
(3)的可能取值为
17、如图，在四棱锥中，
平面
，
，且
，点
在棱
上．（1）求证：
；
（2）若二面角的大小为
，求
与平面
所成角的正弦值．
解：（1）略；（2）与平面
所成角的正弦值为
18、设等差数列的前n项和为
，且
．数列
的前n项和为
，且
，
．（1）求数列
,
的通项公式；
（2）设， 求数列
的前
项和
．
解：（Ⅰ）由题意，，得
． …………3分
，
，
，两式相减，得
数列为等比数列，
． …………6分
（Ⅱ）．
当为偶数时，
=． ……………10分
当为奇数时，
为偶数，
……………13分
19、如图，已知椭圆：
的离心率为
，以椭圆
的左顶点
为圆心作圆
：
，设圆
与椭圆
交于点
与点
．
（1）求椭圆的方程； （2）求
的最小值，并求此时圆
的方程；
（3）设点
是椭圆
上异于
,
的任意一点，且直线
分别与
轴交于点
，
为坐标原点，求证：
为定值．
由于点在椭圆
上，所以
． （*）
由已知，则
，
，
． ………………7分
由于，故当
时，
取得最小值为
．
20、设函数(
是自然对数的底数，
).
（1）若,求实数
的值，并求函数
的单调区间；
（2）设，且
，
是曲线
上任意两点，若对任意的
，恒有
成立，求实数
的取值范围；
（3）求证：.
解：
故………………………………………………………………………………………（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，取
（
）得，
，
即，累加得：
，………………（14分）
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