2018届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试（11月）数学（理）试卷及答案

中学生标准学术能力诊断性测试2017年11月测试

数学理科试卷

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.

1.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为

A. B.

C. D.

2.已知命题：若，则方程表示焦点在轴上的双曲线；命题：在中，若，则，则下列命题为真命题的是

A. B. C. D.

3.魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在九章算术方田章圆填术中指出：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不能割，则与圆周合体而无所失矣。”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“…”代表无限次重复，设，则可利用方程求得，类似的可得正数

A. 3 B. 5 C. 7 D. 9

4.如图，在矩形中的曲线分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为

A. B.

C. D.

5.下面的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。若输入的分别为98和63，执行该程序框图后，输出的值

6.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的最长棱为

A. B. C.5 D.

7.数列中，且，则数列的前项和为

A. B.

C. D.

8.已知双曲线的左、右顶点分别为，虚轴的两个端点分别为，若四边形的内切圆的面积为，则双曲线的离心率为

A. B. C.2 D.

9.已知函数在处的切线与直线平行，则的展开式中的常数项为

A. -20 B. 20 C. -15 D. 15

10.将函数的图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下面关于函数的叙述不正确的是

A.函数的周期为

B. 函数的一个对称中心为

C.函数在区间内单调递增

D.当时，函数有最小值-1

11.已知定义在R上的函数满足，若函数的图象与函数图象的交点为，则

A. B. C. D.

12.设点分别是函数和图象上的点，，若直线轴，则两点间距离的最小值为

A. B. C. D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知的夹角为，且，则与的夹角的正切值为 .

14.已知变量满足，则的取值范围为 .

15. 已知正四面体ABCD的棱长为，四个顶点都在球心O的球面上，点P为棱BC的中点，过P作球O的截面，则截面面积的最小值为 .

16.过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A,B两点，记抛物线在A,B两点处的切线的交点为P,则面积的最小值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17.（本题满分12分）

已知的面积为S,其外接圆半径为R,三个内角A,B,C所对的边分别为，

（1）求角C;

（2）若，求及的面积

18.（本题满分12分）

如图，多面体中，四边形是直角梯形，且，平面平面是的中点，是上的点.

（1）若平面，求证：是中点；

（2）若，且，求二面角的余弦值.

19.（本题满分12分）

某电视厂家准备在元旦期间举办促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出。广告费支出和销售量（万台）的数据如下：

（1）若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程；

（2）若用模型拟合与的关系可得回归方程，经计算线性回归模型及该模型的分别为0.75和0.88，请用说明选择哪个回归模拟模型更好。

（3）已知利润与的关系为，根据（2）的结果回答下列问题：

①广告费时，销售量及利润的预报值是多少？

②广告费为何值时，利润的预报值最大？（精确到0.01）

20.（本题满分12分）

已知圆，定点，P是圆周上任意一点，线段AP的垂直平分线与BP交于点Q.

（1）求点的轨迹C的方程；

（2）直线过点A且与轴不重合，直线交曲线C于M,N两点，过A且与垂直的直线与圆B交于D,E两点，求四边形面积的取值范围.

21.（本题满分12分）

已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若在定义域内有两个极值点，求证：.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为

（1）求曲线的参数方程，直线的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与夹角为的直线，交于点A，求的最大值与最小值.

23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

（1）若存在使得的解集为，求实数的取值范围；

（2）在（1）的条件下，记的最大值为，若，则当取何值时，取得最小值，并求出该最小值.

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