2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（二）
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．[1，2) 2． 3．16 4．32 5．充分不必要
6．39 7．（0，1] 8．6 9． 10．
11．2 12．5 13．
14．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）由正弦定理，得．
∵c = 1，，∴
．………… 2分
∵0 < C <，∴C = 90°．
则A B = 90°． ………… 4分
∵A = B 30°，∴B = 30°． ………… 6分
（2）∵，
∴． ………… 9分
∵0 < B <，∴
． ………… 11分
∴
． ………… 14分
16．（1）证明：取PA中点M，连结ME，MD，
由条件，得ME∥AB，DF∥AB，∴ME∥DF．
且ME =AB，DF =
AB，∴ME = DF．…… 2分
∴四边形EFDM是平行四边形．
则EF∥MD． ……………… 4分
又MD平面PAD，EF
平面PAD，
∴EF∥平面PAD． ……………… 7分
（2）连结OQ．
∵PC⊥平面QDB，OQ平面QDB，
∴PC⊥OQ． ……………… 9分
∵PO⊥平面ABCD，OC平面ABCD，
∴PO⊥OC．
由正方形ABCD的边长为2，得OC =．
∵PO = 2，∴．……………… 11分
则．……………… 14分
17．解：（1）F（，0），F（
，0），设M（m，n），
由，得
．
即．① ………… 2分
又．② ………… 4分
由①，②，得，
．
∴M（，
），或M（
，
）．………… 6分
（2）设，则圆
的方程为
．
即． ③ ………… 8分
又圆F的方程为． ④
由③，④得直线QT的方程为． ………… 10分
所以． ………… 12分
因为在椭圆上，所以
，即
，
所以． …… 14分
18．解：（1）以点O为坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，
则A（10，0），B（20，0），C（5，5）．
∴．……… 3分
答：集中居住区A与C的距离为．
……… 4分
（2） ① 当直线l的斜率存在时，
设直线l 的方程为y = kx，，
则
． ………… 7分
当直线l的斜率不存在时，
．
总之， ………… 9分
② 当直线l的斜率不存在时，w = 525m．
当直线l的斜率存在时，
，设
，
当t = 0时，w = 525m．
当t 0时，． ……… 11分
∵≤2
，或
≥2
，
∴w的最小值为=（275 25
）m． ………… 14分
此时，t = ，
= k = 10
．
答：w的最小值为（275 25）m，此时
= 10
． ………… 16分
18．解：（1）∵ OA = 10，CO =，∠AOC = 135°，由余弦定理，
得．……… 3分
答：集中居住区A与C的距离为． ……… 4分
（2）过A、B、C分别作直线EF的垂线，垂足分别为
当时，
当时，
……………… 7分
当时，
总之， …………… 9分
又当时，
w． ……………… 11分
其中，．
∵，令
，即
，
则，
．
∴= 10
． ……………… 14分
此时，． ……………… 15分
答：w的最小值为（275 25）m，此时
= 10
． ……………… 16分
19．解：（1）由，
得．……… 2分
即． ……………… 6分
∵a > 0，∴a = 1． ……………… 8分
（2）令，得
．即
．（*） ……………… 10分
由题意，方程（*）必须有两正根，且两根的算术平均值为x0．
∴c > 0，b > 0，c2 4b > 0，． ……………… 14分
则0 < b < 对一切x0（3，4）均成立．
∴b的取值范围是（0，9]． ……………… 16分
20．解：（1）λ = 0时，．
∴． ……………… 2分
∵，∴
．
∴．∵
，∴
． ……………… 4分
（2）∵，
，
∴． ……………… 5分
则，
，…，
（n≥2）．
相加，得．
则（n≥2）．
上式对n = 1也成立，
∴（
）．③ ……………… 7分
∴（
）．④
④ ③，得．
即． ……………… 9分
∵λ≥0，∴ > 0，
> 0．
∵对一切
恒成立，
∴对一切
恒成立．
即对一切
恒成立． ……………… 12分
记，则
．
当n = 1时，；
当n≥2时，；
∴是一切
中的最大项． ……………… 15分
综上所述，λ的取值范围是． ……………… 16分
2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（二）
数学Ⅱ（附加题） 参考答案
21．A 解：连结EF，则∠AEF = 90°．
∵∠ACB = 90°，
∴B，C，F，E四点共圆． ………… 2分
则∠AFE =∠B．
∵∠ADE =∠AFE，∴∠ADE =∠B．
∴B，P，D，E四点共圆． ………… 5分
则． ………… 7分
∵AE = EB = 4，AD = 5，∴AE = 4，AB = 8，
则AP =． ………… 10分
21．B 解：绕原点逆时针旋转90°对应的变换矩阵为．……… 2分
∴． ………… 5分
则由， ………… 7分
得，∴
． ………… 10分
21．C解：点C的极角为． ………… 2分
将点C代入极坐标方程，得
点C的极坐标为（，
）． ………… 5分
∴点P的极坐标为（2，
）． ………… 7分
则点Q的极角为．
∴点Q的极坐标为（2，
）．………… 10分
21．D 解：由柯西不等式，得
．
∴． ………… 2分
当且仅当时取等号，
即取等号． ………… 5分
则． ………… 7分
所以实数的取值范围为
．……… 10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．解：（1）C1（0，3，3），P（1，0，2），
D1（3，3，3）． ………… 3分
（2）∵C（3，3，0），
∴=（2，3，2），
=（6，0，3）． ………… 5分
设E（m，n，0），
则=（m，n 3，3）．
∵C1E⊥平面D1PC，
∴ ………… 7分
则
∴，n = 2．
则点E的坐标为（，2，0）．………… 10分
23．解：（1）a2 = 6，a3 = 6，a4 = 18． ………… 3分
（2）．（*） ………… 5分
证明如下：
① 当n = 2时，a2 = 6，符合（*）式．
② 假设当n = k时，（*）式成立，即成立，
那么n = k 1时，
因为A1有3种标法，A2有2种标法，…，Ak有2种标法，
Ak1 若仅与Ak不同，则有2种标法：
一种与A1数不同，符合要求，有ak 1 种；
一种与A1数相同，不符合要求，但相当于k 个点的标法总数，有ak 种．
则有． ………… 8分
∴．
即n = k1时，（*）式也成立．
由①②知（*）式成立，即证． ………… 10分
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/dc3e7c60cfc789eb172dc88c.html
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