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[推荐]2013-2019高考文科数学分类汇编-第15章第一节坐标系和与数方程(选修4-4)

发布时间：2019-07-06 09:03:10 来源：文档文库

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第十五章选讲内容

第一节坐标系和与数方程（选修4-4）

题型153 参数方程化普通方程

2013年

1. (2013陕西文15C）（坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线word/media/image1.gif（word/media/image2.gif为参数）的焦点坐标是 .

2. (2013湖南文11）在平面直角坐标系word/media/image3.gif中，若直线word/media/image4.gif（word/media/image5.gif为参数）和直线word/media/image6.gif（word/media/image2.gif为参数）平行，则常数word/media/image7.gif的值为________.

2014年

1. （2014江苏21）C．[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系word/media/image8.gif中，已知直线word/media/image9.gif的参数方程为word/media/image10.gif（word/media/image11.gif为参数），直线word/media/image9.gif与抛物线word/media/image12.gif相交于word/media/image13.gif，word/media/image14.gif两点，求线段word/media/image15.gif的长．

2015年

1.（2015广东文14）在平面直角坐标系word/media/image16.gif中，以原点word/media/image17.gif为极点，word/media/image18.gif轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线word/media/image19.gif的极坐标方程为word/media/image20.gif，曲线word/media/image21.gif的参数方程为word/media/image22.gif（word/media/image23.gif为参数），则word/media/image19.gif与word/media/image21.gif交点的直角坐标为．

1.解析曲线word/media/image19.gif的直角坐标方程为word/media/image24.gif，曲线word/media/image21.gif的普通方程为word/media/image25.gif.

由word/media/image26.gif，得word/media/image27.gif，所以word/media/image19.gif与word/media/image21.gif交点的直角坐标为word/media/image28.gif.

评注 1. 考查极坐标方程化为直角坐标方程；2. 考查参数方程化为普通方程；3. 考查两曲线的交点．

2.（2015陕西文 23）在直角坐标系word/media/image16.gif中，直线word/media/image29.gif的参数方程为word/media/image30.gif（word/media/image23.gif为参数）.以原点为极点，word/media/image31.gif轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆word/media/image32.gif的极坐标方程为word/media/image33.gif.

（1）写出圆word/media/image34.gif的直角坐标方程；

（2）word/media/image35.gif为直线word/media/image36.gif上一动点，当word/media/image35.gif到圆心word/media/image34.gif的距离最小时，求word/media/image35.gif的直角坐标.

2.解析 (1)由word/media/image37.gif，得word/media/image38.gif，

从而有word/media/image39.gif，所以word/media/image40.gif.

(2)设word/media/image41.gif，又word/media/image42.gif，

则word/media/image43.gif，

故当word/media/image44.gif时，word/media/image45.gif取得最小值，此时点word/media/image35.gif的坐标为word/media/image46.gif.

2016年

1.（2016江苏21 C）在平面直角坐标系word/media/image47.gif中，已知直线word/media/image9.gif的参数方程为word/media/image48.gif（word/media/image2.gif为参数），椭圆word/media/image49.gif的参数方程为word/media/image50.gif（word/media/image51.gif为参数），设直线word/media/image9.gif与椭圆word/media/image49.gif相交于word/media/image52.gif两点，求线段word/media/image15.gif的长.

1.解法一（求点）：直线word/media/image53.gif方程化为普通方程为word/media/image54.gif，

椭圆word/media/image34.gif方程化为普通方程为word/media/image55.gif，

联立word/media/image56.gif，解得word/media/image57.gif或word/media/image58.gif，

因此word/media/image59.gif.

解法二（弦长）：直线word/media/image53.gif方程化为普通方程为word/media/image60.gif，

椭圆word/media/image34.gif方程化为普通方程为word/media/image55.gif，不妨设word/media/image61.gif，word/media/image62.gif，

联立得word/media/image63.gif，消word/media/image64.gif得word/media/image65.gif，word/media/image66.gif恒成立，

故word/media/image67.gif，所以word/media/image68.gifword/media/image69.gif.

解法三（几何意义）：椭圆word/media/image34.gif方程化为普通方程为word/media/image55.gif，

直线恒过点word/media/image70.gif，该点在椭圆上，将直线的参数方程word/media/image71.gif代入椭圆的普

通方程，得word/media/image72.gif，整理得word/media/image73.gif，故word/media/image74.gif，word/media/image75.gif，

因此word/media/image76.gif.

2017年

1.（2017全国1文22）在直角坐标系word/media/image3.gif中，曲线word/media/image49.gif的参数方程为word/media/image77.gif（word/media/image78.gif为参数），

直线word/media/image79.gif的参数方程为word/media/image80.gif.

（1）若word/media/image81.gif，求word/media/image49.gif与word/media/image79.gif的交点坐标；

（2）若word/media/image49.gif上的点到word/media/image79.gif的距离的最大值为word/media/image82.gif，求word/media/image83.gif.

1.解析（1）若word/media/image81.gif，直线的直角坐标方程为word/media/image84.gif，即word/media/image85.gif.

曲线word/media/image49.gif的直角坐标方程为word/media/image86.gif.

联立word/media/image87.gif，解得word/media/image88.gif或word/media/image89.gif.

（2）直线word/media/image90.gif，word/media/image49.gif上的点到直线word/media/image91.gif的距离word/media/image92.gif（其中word/media/image93.gif）.

①若word/media/image94.gif，则word/media/image95.gif，解得word/media/image96.gif；

②若word/media/image97.gif，则word/media/image98.gif，解得word/media/image99.gif.

所以word/media/image7.gif的值为word/media/image100.gif或word/media/image101.gif.

2.（2017全国3文22）在直角坐标系word/media/image3.gif中，直线word/media/image102.gif的参数方程为word/media/image103.gif（word/media/image104.gif为参数），直线word/media/image105.gif的参数方程为word/media/image106.gif．设word/media/image102.gif与word/media/image105.gif的交点为word/media/image107.gif，当word/media/image108.gif变化时，word/media/image107.gif的轨迹为曲线word/media/image49.gif．

（1）写出word/media/image49.gif的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，word/media/image109.gif轴正半轴为极轴建立极坐标系，

设word/media/image110.gif，word/media/image111.gif为word/media/image112.gif与word/media/image49.gif的交点，求word/media/image111.gif的极径．

2. 解析（1）直线word/media/image102.gif的直角坐标方程为word/media/image113.gif；直线word/media/image105.gif的直角坐标方程为word/media/image114.gif，

联立word/media/image115.gif，两式相乘可得，word/media/image116.gif，即word/media/image117.gif.

（2）曲线word/media/image49.gif的极坐标方程为word/media/image118.gif，

联立word/media/image119.gif，解得word/media/image120.gif，

word/media/image121.gif，word/media/image122.gif.

评注本题属于创新题，要求学生综合掌握直线与圆、极坐标与参数方程板块的多个知识点，并能融汇贯通综合运用，对于学生说有较大难度.其实，在做选做题时，若果22题偏难，且第一问都存在问题的话，不妨看看23题，如果题目不难，可以选择23题进行解答！

2019年

1.（2019全国1文22）在直角坐标系Oy中，曲线C的参数方程为word/media/image123.gif（t为参数），以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为word/media/image124_1.png．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

1.解析（1）因为word/media/image125.gif，且word/media/image126.gif，所以C的直角坐标方程为word/media/image127.gif.

word/media/image36.gif的直角坐标方程为word/media/image128.gif.

（2）由（1）可设C的参数方程为word/media/image129.gif（word/media/image130.gif为参数，word/media/image131.gif）.

C上的点到word/media/image36.gif的距离为word/media/image132.gif.

当word/media/image133.gif时，word/media/image134.gif取得最小值7，故C上的点到word/media/image36.gif距离的最小值为word/media/image135.gif.

题型154 普通方程化参数方程

2014年

1.（2014辽宁文23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

将圆word/media/image136.gif上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原的word/media/image137.gif倍，得曲线word/media/image138.gif.

（1）写出word/media/image138.gif的参数方程；

（2）设直线word/media/image139.gif与C的交点为word/media/image140.gif，以坐标原点为极点，word/media/image141.gif轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段word/media/image142.gif的中点且与word/media/image91.gif垂直的直线的极坐标方程.

2.（2014新课标Ⅰ文23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线word/media/image138.gif：word/media/image143.gif，直线word/media/image9.gif：word/media/image144.gif（word/media/image11.gif为参数）.

（1）写出曲线word/media/image138.gif的参数方程、直线word/media/image9.gif的普通方程；

（2）过曲线word/media/image138.gif上任意一点word/media/image145.gif作与word/media/image9.gif夹角为word/media/image146.gif的直线，交word/media/image9.gif于点word/media/image147.gif，求word/media/image148.gif的最大值与最小值.

题型155 极坐标方程化直角坐标方程

2014年

1. （2014广东文14）（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线word/media/image149.gif和word/media/image150.gif的方程分别为word/media/image151.gif与word/media/image152.gif，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为word/media/image153.gif轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线word/media/image149.gif和word/media/image150.gif交点的直角坐标为 .

2.（2014陕西文15）word/media/image154.gif（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点word/media/image155.gif到直线word/media/image156.gif的距离是 .

2015年

1.（2015湖南文 12）在直角坐标系word/media/image3.gif中，以坐标原点为极点，word/media/image153.gif轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线word/media/image157.gif的极坐标方程为word/media/image158.gif，则曲线word/media/image157.gif的直角坐标方程为_____.

1. 解析曲线word/media/image157.gif的极坐标方程为word/media/image159.gif，word/media/image160.gif，

它的直角坐标方程为word/media/image161.gif，即word/media/image162.gif.

2.（2015江苏21（C））已知圆word/media/image163.gif的极坐标方程为word/media/image164.gif，求圆word/media/image163.gif的半径．

2. 解析由题意得word/media/image165.gif，

所以word/media/image166.gif，即word/media/image167.gif，

从而word/media/image168.gif，即word/media/image169.gif，故圆word/media/image170.gif的半径为word/media/image171.gif．

3.（2015全国Ⅱ文 23）在直线坐标系word/media/image172.gif中，曲线word/media/image173.gif：word/media/image174.gif（word/media/image175.gif为参数，word/media/image176.gif）

其中word/media/image177.gif.在以word/media/image178.gif为极点，word/media/image153.gif轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线word/media/image150.gif：word/media/image179.gif，word/media/image180.gif：word/media/image181.gif.

(1)求word/media/image150.gif与word/media/image180.gif交点的直角坐标；

(2)若word/media/image173.gif与word/media/image150.gif相交于点word/media/image182.gif，word/media/image173.gif与word/media/image180.gif相交于点word/media/image183.gif，求word/media/image184.gif的最大值.

3. 解析（1）曲线word/media/image150.gif的直角坐标方程为word/media/image185.gif，

曲线word/media/image180.gif的直角坐标方程为word/media/image186.gif．

联立word/media/image187.gif，解得word/media/image188.gif或word/media/image189.gif．

所以word/media/image150.gif与word/media/image173.gif交点的直角坐标为word/media/image190.gif和word/media/image191.gif．

（2）曲线word/media/image173.gif的极坐标方程为word/media/image192.gif，其中word/media/image193.gif．

因此word/media/image182.gif得到极坐标为word/media/image194.gif，word/media/image183.gif的极坐标为word/media/image195.gif．

所以word/media/image196.gifword/media/image197.gif，

当word/media/image198.gif时，word/media/image199.gif取得最大值，最大值为word/media/image200.gif．

2016年

1.（2016全国丙文23）在直线坐标系word/media/image3.gif中，曲线word/media/image201.gif的参数方程为word/media/image202.gif（word/media/image130.gif为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线word/media/image203.gif的极坐标方程为

word/media/image204.gif.

（1）写出word/media/image201.gif的普通方程和word/media/image203.gif的直角坐标方程；

（2）设点word/media/image205.gif在word/media/image149.gif上，点word/media/image206.gif在word/media/image150.gif上，求word/media/image207.gif的最小值及此时word/media/image205.gif的直角坐标.

1.分析（1）利用同角三角函数基本关系中的平方关系曲线word/media/image173.gif的参数方程普通方程，利用公式word/media/image208.gif与word/media/image209.gif代入曲线word/media/image173.gif的极坐标方程即可；（2）利用参数方程表示出点word/media/image210.gif的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立word/media/image211.gif的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点word/media/image210.gif坐标即可.

解析（1）word/media/image173.gif的普通方程为word/media/image212.gif，word/media/image150.gif的直角坐标方程为word/media/image213.gif.

（2）由题意，可设点word/media/image210.gif的直角坐标为word/media/image214.gif，因为word/media/image150.gif是直线，所以word/media/image215.gif的最小值，

即为word/media/image210.gif到word/media/image150.gif的距离word/media/image216.gif的最小值，word/media/image217.gif.

当且仅当word/media/image218.gif时，word/media/image216.gif取得最小值，最小值为word/media/image219.gif，此时word/media/image210.gif的直角坐标为

word/media/image220.gif.

2017年

1.（2017全国2卷文22）在直角坐标系word/media/image3.gif中，以坐标原点为极点，word/media/image153.gif轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线word/media/image173.gif的极坐标方程为word/media/image221.gif．

（1）word/media/image111.gif为曲线word/media/image173.gif上的动点，点word/media/image107.gif在线段word/media/image222.gif上，且满足word/media/image223.gif，求点word/media/image107.gif的轨迹word/media/image150.gif的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为word/media/image224.gif，点word/media/image225.gif在曲线word/media/image150.gif上，求word/media/image226.gif面积的最大值．

1.解析 (1)设点P的极坐标为word/media/image227.gif，因为word/media/image228.gif，所以点word/media/image111.gif的极坐标为word/media/image229.gif.

把点word/media/image111.gif的坐标代入word/media/image230.gif中得word/media/image231.gif，即word/media/image232.gif.

两边同时乘以word/media/image233.gif，得word/media/image234.gif，化为直角坐标方程为word/media/image235.gif

（2）解法一：word/media/image150.gif的极坐标方程为word/media/image232.gif，所以点word/media/image225.gif的极坐标可设为word/media/image236.gif，word/media/image237.gif.

又点word/media/image238.gif的极坐标为word/media/image239.gif，所以点word/media/image238.gif的直角坐标为word/media/image240.gif，所以word/media/image241.gifword/media/image242.gifword/media/image243.gifword/media/image244.gif.

因为word/media/image245.gif，所以word/media/image246.gif，所以当word/media/image247.gif即word/media/image248.gif时，word/media/image249.gif的面积取最大值为word/media/image250.gif.

word/media/image251_1.png解法二：word/media/image252.gif是word/media/image253.gif中word/media/image254.gif边上的高，过点word/media/image49.gif作word/media/image254.gif的垂线交圆word/media/image49.gif于点word/media/image255.gif，交word/media/image254.gif于点word/media/image256.gif，

点word/media/image238.gif的极坐标为word/media/image257.gif，则点word/media/image238.gif的直角坐标为word/media/image240.gif，

word/media/image258.gif，word/media/image249.gif为等边三角形，所以word/media/image259.gif，

word/media/image260.gif，（此时B位于word/media/image261.gif位置）.所以word/media/image249.gif的面积取最大值为word/media/image250.gif.

2018年

1.（2018全国II文22）在直角坐标系word/media/image262.gif中，曲线word/media/image263.gif的参数方程为word/media/image264.gif（word/media/image265.gif为参数），直线word/media/image266.gif的参数方程为word/media/image267.gif（word/media/image268.gif为参数）．

（1）求word/media/image263.gif和word/media/image266.gif的直角坐标方程；

（2）若曲线word/media/image263.gif截直线word/media/image266.gif所得线段的中点坐标为word/media/image269.gif，求word/media/image266.gif的斜率．

1.解析（1）曲线word/media/image157.gif的直角坐标方程为word/media/image270.gif．

当word/media/image271.gif时，word/media/image36.gif的直角坐标方程为word/media/image272.gif，

当word/media/image273.gif时，word/media/image36.gif的直角坐标方程为word/media/image274.gif．

（2）将word/media/image36.gif的参数方程代入word/media/image157.gif的直角坐标方程，整理得关于word/media/image175.gif的方程

word/media/image275.gif ①

因为曲线word/media/image157.gif截直线word/media/image36.gif所得线段的中点word/media/image276.gif在word/media/image157.gif内，

所以①有两个解，设为word/media/image277.gif，word/media/image278.gif，则word/media/image279.gif．

又由①得word/media/image280.gif，

故word/media/image281.gif，

于是直线word/media/image36.gif的斜率word/media/image282.gif．

2.（2018全国I文22）在直角坐标系word/media/image283.gif中，曲线word/media/image284.gif的方程为word/media/image285.gif．以坐标原点为极点，word/media/image286.gif轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线word/media/image287.gif的极坐标方程为word/media/image288.gif．

（1）求word/media/image287.gif的直角坐标方程；

（2）若word/media/image284.gif与word/media/image287.gif有且仅有三个公共点，求word/media/image284.gif的方程．

2.解析（1）由word/media/image289.gif，word/media/image290.gif得word/media/image291.gif的直角坐标方程为word/media/image292.gif．

（2）由（1）知word/media/image291.gif是圆心为word/media/image293.gif，半径为word/media/image294.gif的圆．

由题设知，word/media/image295.gif是过点word/media/image296.gif且关于word/media/image297.gif轴对称的两条射线．记word/media/image297.gif轴右边的射线为word/media/image298.gif，word/media/image297.gif轴左边的射线为word/media/image299.gif．由于word/media/image300.gif在圆word/media/image291.gif的外面，故word/media/image295.gif与word/media/image291.gif有且仅有三个公共点等价于word/media/image298.gif与word/media/image291.gif只有一个公共点且word/media/image299.gif与word/media/image291.gif有两个公共点，或word/media/image299.gif与word/media/image291.gif只有一个公共点且word/media/image298.gif与word/media/image291.gif有两个公共点．

当word/media/image298.gif与word/media/image291.gif只有一个公共点时，word/media/image301.gif到word/media/image298.gif所在直线的距离为word/media/image294.gif，所以word/media/image302.gif，故word/media/image303.gif或word/media/image304.gif．

经检验，当word/media/image304.gif时，word/media/image298.gif与word/media/image291.gif没有公共点；当word/media/image303.gif时，word/media/image298.gif与word/media/image291.gif只有一个公共点，word/media/image299.gif与word/media/image291.gif有两个公共点．

当word/media/image299.gif与word/media/image291.gif只有一个公共点时，word/media/image301.gif到word/media/image299.gif所在直线的距离为word/media/image294.gif，所以word/media/image305.gif，故word/media/image304.gif或word/media/image306.gif．

经检验，当word/media/image304.gif时，word/media/image298.gif与word/media/image291.gif没有公共点；当word/media/image306.gif时，word/media/image298.gif与word/media/image291.gif没有公共点．

综上，所求word/media/image295.gif的方程为word/media/image307.gif．

题型156 直角坐标方程化极坐标方程

2014年

1.（2014辽宁文23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

将圆word/media/image308.gif上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原的word/media/image137.gif倍，得曲线word/media/image309.gif.

（1）写出word/media/image309.gif的参数方程；

（2）设直线word/media/image139.gif与C的交点为word/media/image310.gif，以坐标原点为极点，word/media/image141.gif轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段word/media/image311.gif的中点且与word/media/image91.gif垂直的直线的极坐标方程.

2015年

1.（2015全国Ⅰ文23）在直角坐标系word/media/image3.gif中，直线word/media/image173.gif：word/media/image312.gif，圆word/media/image150.gif：

word/media/image313.gif，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求word/media/image314.gif的极坐标方程.

(2)若直线word/media/image180.gif的极坐标方程为word/media/image315.gif，设word/media/image150.gif与word/media/image180.gif的交点为word/media/image316.gif，求word/media/image317.gif的面积.

1.解析（1）由word/media/image173.gif：word/media/image312.gif，可得极坐标方程为word/media/image318.gif，

由word/media/image150.gif：word/media/image319.gif，得极坐标方程为word/media/image320.gif．

（2）由题意可得word/media/image180.gif：word/media/image321.gif.由word/media/image150.gif：word/media/image322.gif，得圆心word/media/image323.gif.

则word/media/image324.gif.

由半径、弦心距及半弦长的关系，可得word/media/image325.gif，

所以word/media/image326.gif．

2016年

1.（2016全国甲文23）在直角坐标系word/media/image3.gif中，圆word/media/image309.gif的方程为word/media/image327.gif.

（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆word/media/image309.gif的极坐标方程；

（2）直线word/media/image91.gif的参数方程是word/media/image328.gif（word/media/image175.gif为参数），word/media/image91.gif与word/media/image309.gif交于word/media/image329.gif两点，word/media/image330.gif，求word/media/image91.gif的斜率.

1.解析（1）整理圆的方程得word/media/image331.gif，

由word/media/image332.gif可知圆word/media/image263.gif的极坐标方程为word/media/image333.gif.

（2）解法一：将直线word/media/image36.gif的参数方程代入圆word/media/image157.gifword/media/image334.gif化简得，word/media/image335.gif，设word/media/image336.gif两点处的参数分别为word/media/image337.gif，则word/media/image338.gif，

所以word/media/image339.gif，解得word/media/image340.gif，

word/media/image341.gif的斜率word/media/image342.gif.

word/media/image343_1.png解法二：设word/media/image344.gif，其中word/media/image345.gif，如图所示，圆心到到word/media/image341.gif的距离

word/media/image346.gif，故word/media/image347.gif.

题型157 参数方程与极坐标方程的互化

2013年

1．(2013广东文14）已知曲线word/media/image157.gif的极坐标方程word/media/image348.gif，以极点为原点，极轴为word/media/image349_1.png轴的正半轴

建立直角坐标系，则曲线word/media/image157.gif的参数方程为．

2014年

1.（2014新课标Ⅱ文23）（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系word/media/image8.gif中，以坐标原点为极点，word/media/image141.gif轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆word/media/image309.gif的极坐标方程为word/media/image350.gif，word/media/image351.gif.

（1）求word/media/image309.gif的参数方程；

（2）设点word/media/image352.gif在word/media/image309.gif上，word/media/image309.gif在word/media/image352.gif处的切线与直线word/media/image353.gif垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定word/media/image352.gif的坐标.

2016年

1.（2016全国乙文23）在直角坐标系word/media/image354.gif中，曲线word/media/image355.gif的参数方程为word/media/image356.gif（word/media/image175.gif为参数，word/media/image357.gif）.

在以坐标原点为极点，word/media/image358.gif轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线word/media/image359.gif

（1）说明word/media/image355.gif是哪一种曲线，并将word/media/image355.gif的方程化为极坐标方程；

（2）直线word/media/image180.gif的极坐标方程为word/media/image360.gif，其中word/media/image361.gif满足word/media/image362.gif，若曲线word/media/image355.gif与word/media/image150.gif的公共点都在word/media/image180.gif上，求word/media/image363.gif.

1. 解析（1）将word/media/image364.gif化为直角坐标方程为word/media/image365.gif，从而可知其表示圆.

令word/media/image366.gif，word/media/image367.gif，代入得极坐标方程word/media/image368.gif.

（2）将word/media/image369.gif化为直角坐标方程为word/media/image370.gif，word/media/image371.gif.

两式相减可得它们的公共弦所在直线为word/media/image372.gif.

又word/media/image369.gif公共点都在word/media/image373.gif上，故word/media/image373.gif的方程即为公共弦word/media/image372.gif.

又word/media/image373.gif为word/media/image374.gif，word/media/image375.gif，即为word/media/image376.gif，从而可知word/media/image377.gif.

题型158 参数方程和极坐标在解析几何中的应用

2018年

1.（2018全国III文22）在平面直角坐标系word/media/image378.gif中，word/media/image379.gif的参数方程为word/media/image380.gif（word/media/image381.gif为参数），过点word/media/image382.gif且倾斜角为word/media/image383.gif的直线word/media/image384.gif与word/media/image379.gif交于word/media/image385.gif两点．

（1）求word/media/image383.gif的取值范围；

（2）求word/media/image386.gif中点word/media/image387.gif的轨迹的参数方程．

1.解析（1）word/media/image388.gifword/media/image389.gif的普通方程为word/media/image388.gifword/media/image308.gif．

当word/media/image388.gifword/media/image390.gif时，word/media/image388.gifword/media/image36.gif与word/media/image388.gifword/media/image389.gif交于两点．

当word/media/image388.gifword/media/image391.gif时，记word/media/image388.gifword/media/image392.gif，则word/media/image388.gifword/media/image36.gif的方程为word/media/image388.gifword/media/image393.gif．word/media/image388.gifword/media/image36.gif与word/media/image388.gifword/media/image389.gif交于两点当且仅当word/media/image388.gifword/media/image394.gif，解得word/media/image388.gifword/media/image395.gif或word/media/image388.gifword/media/image396.gif，即word/media/image388.gifword/media/image397.gif或word/media/image388.gifword/media/image398.gif．

综上，word/media/image388.gifword/media/image130.gif的取值范围是word/media/image388.gifword/media/image399.gif．

（2）word/media/image388.gifword/media/image36.gif的参数方程为word/media/image388.gifword/media/image400.gif为参数，word/media/image388.gifword/media/image401.gifword/media/image388.gifword/media/image402.gif．

设word/media/image388.gifword/media/image182.gif，word/media/image388.gifword/media/image183.gif，word/media/image388.gifword/media/image403.gif对应的参数分别为word/media/image388.gifword/media/image404.gif，word/media/image388.gifword/media/image405.gif，word/media/image388.gifword/media/image406.gif，则word/media/image388.gifword/media/image407.gif，且word/media/image388.gifword/media/image404.gif，word/media/image388.gifword/media/image405.gif满足word/media/image388.gifword/media/image408.gif．

于是word/media/image388.gifword/media/image409.gif，word/media/image388.gifword/media/image410.gif．又点word/media/image388.gifword/media/image403.gif的坐标word/media/image388.gifword/media/image411.gif满足word/media/image388.gifword/media/image412.gif.

所以点word/media/image388.gifword/media/image403.gif的轨迹的参数方程是word/media/image388.gifword/media/image413.gifword/media/image388.gifword/media/image414.gif为参数，word/media/image388.gifword/media/image401.gifword/media/image388.gifword/media/image402.gif．