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2019-2020学年河南省商丘一中高一下学期期末数学试卷 (解析版)

发布时间：2020-09-29   来源：文档文库   
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2019-2020学年河南省商丘一中高一第二学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．要完成下列两项调查，①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为（ ） A．①用随机抽样法，②用系统抽样法


B．①用分层抽样法，②用简单随机抽样法 C．①用系统抽样法，②用分层抽样法 D．①②都用分层抽样 2．已知A．
3．已知向量＝（1，A．
B．3
，则
＝（ ）
C．﹣3
D．
），＝（cosθ，sinθ），若∥，则tanθ＝（ ） B．
C．
D．＝（ ）
C．
D．

4．已知点P（6，﹣8）是角α终边上一点，则A．
B．
5．已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为1，则在该正方体内任取一点M，则其到顶点A的距离小于1的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
6．先后连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的概率是（ ） A．
7．如图，在△ABC中，值为（ ）
B．
C．
D．
，则实数m的，P是BN上的一点，若



A． B． C． D．
8．已知程序框图如图，则输出S的值为（ ）

A． B． C． D．
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝﹣11，a4+a6＝﹣6，则当Sn取最小值时，n等于（ ） A．9
B．8
C．7
D．6
x+2a，b，c分别是角A，B，C的对边，b是方程x2﹣210．在锐角三角形ABC中，已知a，＝0的两个根，且2sin（A+B）﹣A．4
B．
＝0，则c＝（ ）
C．2
D．3，则使得
11．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且整数的n的个数是（ ） A．3
B．4
C．5
为整数的正D．6
）＝asin（bx+c），定义12．设a，b∈R，c∈[0，2π），若对任意实数x都有2sin（3x﹣在区间[0，3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是d个，则满足条件的有序实数组（a，b，c，d）的组数为（ ） A．7
B．11
C．14
D．28
二、填空题（共4题，每题5分，共20分）
13．函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为 ． 14．已知数列{an}满足a1＝a，，若a4＝0，则a＝ ．



15．在△ABC中，AB＝2，AC＝4．BC边上的中线AD＝2，则S△ABC＝ ． fx）16．0＜φ＜π）已知函数（＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，的图象关于点成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为①函数②直线为偶函数．
是函数f（x）的一条对称轴．
的图象的所有交点的横坐标之和为7π．
．则对于下列判断
③函数y＝1与其中正确的判断序号为 ．
三、解答题（共6道大题，17题满分70分，18-22题满分70分） 17．已知||＝（1）若（2）若（，||＝1．
的夹角θ为45°，求||；
）⊥，求与的夹角θ．
18．甲、乙二人参加台湾知识竞赛，共有6个不同的题目，其中选择题4个，判断题2个．甲、乙二人依次各抽一题，求：
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率； （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率．
19．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且sin2A+sin2C﹣sin2B＝sinAsinC．（1）求角B的大小；
（2）若c＝4a，求tanA的值．
20．某中学共有1000名学生参加了“中原名校”的高三第二次模拟考试，数学成绩如表所示：
数学成绩分组
人数
[0，30） 60
[30，60）
90
[60，90） 300
[90，120）
x
[120，150]
160
（1）在高考前的冲刺阶段，为了更好的了解同学们前段复习的得失，以便制定冲刺阶段的复习计划，学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的可能性；
（2）已知本次数学成绩的优秀线为115分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；



（3）作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
21．设x∈R，函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣（）＝．
＜φ＜0）的最小正周期为π，且f（1）求ω和φ的值；
（2）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象； （3）若f（x）＞，求x的取值范围．

22．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3•a4＝120，a2+a5＝22． （1）求通项an；
（2）若数列{bn}是等差数列，且，求非零常数c；
（3）在（2）的条件下，求的最大值．





参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．要完成下列两项调查，①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为（ ） A．①用随机抽样法，②用系统抽样法


B．①用分层抽样法，②用简单随机抽样法 C．①用系统抽样法，②用分层抽样法 D．①②都用分层抽样

【分析】从总体的个体有无差异和总数是否比较多入手选择抽样方法．
①中某社区420户家庭的收入差异较大；②中总体数量较少，且个体之间无明显差异． 解：①中某社区420户家庭的收入有了明显了差异，所以选择样本时宜选用分层抽样法；②个体没有差异且总数不多可用简单随机抽样法． 故选：B． 2．已知A．
B．3
，则C．﹣3
＝（ ）
D．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，tanα的值，进而根据两角和的正切函数公式即可计算得解． 解：∵∴sinα＝故选：A． 3．已知向量＝（1，A．
），＝（cosθ，sinθ），若∥，则tanθ＝（ ） B．
C．
D．
cosθ，＝﹣， ，tanα＝＝﹣，
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得若∥，则有1×sinθ＝变形即可得答案．
解：根据题意，向量＝（1，
），＝（cosθ，sinθ），


若∥，则有1×sinθ＝则tanθ＝故选：B．
；
cosθ，
4．已知点P（6，﹣8）是角α终边上一点，则A．
B．
C．
＝（ ）
D．
．
【分析】利用任意角的三角函数的定义求得cosα，再由诱导公式求得解：由P（6，﹣8），得|OP|＝∴cosα＝故选：C．
．
，
5．已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为1，则在该正方体内任取一点M，则其到顶点A的距离小于1的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】正方体的体积为1，与点A距离等于1的点的轨迹是一个八分之一个球面，由 此利用几何概型能求出在该正方体内任取一点M，则其到顶点A的距离小于1的概率．解：本题是几何概型问题，正方体的体积为1， 与点A距离等于1的点的轨迹是一个八分之一个球面， ∴在该正方体内任取一点M， P＝＝．
故选：D．




6．先后连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】掷两次骰子分别得到的点数m，n，组成的向量（m，n）个数为36个，与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的这个事件包含的基本事件数须将其满足的条件进行转化，再进行研究
解：后连掷两次骰子分别得到点数m，n，所组成的向量（m，n）的个数共有36种 由于向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的 当m＝2时，n＝1； 当m＝6时，n＝1，2，3； 当m＝6时，n＝1，2，3，4，5； 故所求事件的概率是故选：D．
7．如图，在△ABC中，值为（ ）
，P是BN上的一点，若，则实数m的＝

A． B． C． D．
后，我们易将【分析】由已知中△ABC中，表示为，P是BN上的一点，设的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，解方程组后即可得到m的值 解：∵P是BN上的一点， 设＝＝，由

，



＝解得λ＝故选：D．
，m＝
8．已知程序框图如图，则输出S的值为（ ）

A． B． C． D．
【分析】模拟程序的运行过程，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++…+的值，用裂项法即可求解．
解：模拟程序的运行过程，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝+可得S＝故选：C．
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝﹣11，a4+a6＝﹣6，则当Sn取最小值时，n等于（ ） A．9
B．8
C．7
D．6
+…+++…+的值，
＝++…+﹣＝﹣＝
．【分析】设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式解方程可得d，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值及相应的n的值． 解：设等差数列{an}的公差为d， a1＝﹣11，a4+a6＝﹣6， 解得d＝6，
当n＝6时，Sn取最小值﹣36．



故选：D．
a，b，c分别是角A，B，C的对边，b是方程x2﹣210．在锐角三角形ABC中，已知a，＝0的两个根，且2sin（A+B）﹣A．4
B．
＝0，则c＝（ ）
C．2
D．3
x+2【分析】依题意可求得a，b及C，再由余弦定理即可求得c． 解：∵在锐角△ABC中，边a，b是方程x2﹣2∴a+b＝2∴sinC＝，ab＝2，
，又△ABC为锐角三角形，
x+3＝0的两根，
∴c2＝a4+b2﹣2abcosC ＝12﹣4﹣2×2× ∴c＝．
故选：B．
11．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且整数的n的个数是（ ） A．3
B．4
C．5
D．6
分子分母同，则使得为整数的正【分析】由等差数列{an}、{bn}，利用等差数列的性质表示出an和bn，将时乘以n，将表示出的an与bn代入，再利用等差数列的前n项和公式变形，根据已知的等式化简，整理后将正整数n代入进行检验，即可得到解：∵等差数列{an}、{bn}， ∴an＝，bn＝，
为整数的正整数的n的个数．∴＝＝7+，
则使得为整数的正整数的n的个数是5．
故选：C．



12．设a，b∈R，c∈[0，2π），若对任意实数x都有2sin（3x﹣）＝asin（bx+c），定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是d个，则满足条件的有序实数组（a，b，c，d）的组数为（ ） A．7
B．11
C．14
D．28
【分析】首先由已知等式求得a值，然后利用三角恒等变换sin2x＝cosx求出所有根的个数，最后利用排列组合的思想求得满足条件的有序实数组． 解：∵对任意实数x都有2sin（3x﹣若a＝7，则方程等价于sin（3x﹣此时c＝；若b＝﹣4，此时c＝）＝asin（bx+c），∴|a|＝2，
）＝sin（bx+c），则函数的周期相同，若b＝3，；
），（2，﹣3，），（﹣4，综上，满足条件的数组（a，b，c，）为（2，3，﹣3，），（﹣2，3，）共4组．
又∵x∈[0，3π]，∴x＝故选：D．
二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分）
13．函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为 1 ．
．
【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）＝sinx，从而求得函数的最大值．
解：函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）＝sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）＝sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）＝sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ
故函数f（x）的最大值为1， 故答案为：1．
14．已知数列{an}满足a1＝a，，若a4＝0，则a＝
．
【分析】把n＝2，3，4分别代入到已知递推公式中可求a2，a2，a4，然后根据a4＝0可求a
解：∵a1＝a，



∴故答案为：
，，
15．在△ABC中，AB＝2，AC＝4．BC边上的中线AD＝2，则S△ABC＝ ．
【分析】延长AD至E，使DE＝AD，由三角形全等可得△ABC的面积等于△ABE的面积S，解△ABE可得cos∠ABE，进而可得sin∠ABE，代入三角形的面积公式可得． 解：由题意延长AD至E，使DE＝AD＝2， 可证△BDE≌△CDA，其面积相等，
由已知数据可得AB＝2，AE＝4，BE＝AC＝4， ∴sin∠ABE＝故答案为：．
＝，

fx）16．0＜φ＜π）已知函数（＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，的图象关于点成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为①函数②直线为偶函数．
是函数f（x）的一条对称轴．
的图象的所有交点的横坐标之和为7π．
．则对于下列判断
③函数y＝1与其中正确的判断序号为 ①③ ．
【分析】首先利用已知条件求出函数的关系式，进一步利用函数的奇偶性确定①的结论，进一步利用函数的对称性确定②的结论，最后利用函数的单调性的应用和函数的零点的应用确定③的结论．
0＜φ＜π）解：函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，的图象关于点成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为所以f（x）min＝﹣3．

．


所以A＝3，ω＝所以，
φ＝kπ（k∈Z），
由于0＜φ＜π， 所以f（x）＝3sin（2x+对于②：当x＝当所以函数的单调递增区间为：[由于同理（， ），（），（）单调递减． ＝7π．故③正确．
时，f（）．
）＝3sin（π）＝﹣，故②错误．
（k∈Z）；（k∈Z）时，解得]（k∈Z）；
所以所有的横坐标之和为故答案为：①③
三、解答题（共6道大题，17题满分70分，18-22题满分70分） 17．已知||＝（1）若（2）若（，||＝1．
的夹角θ为45°，求||；
）⊥，求与的夹角θ．
【分析】（1）利用|﹣|2＝（﹣）2，直接计算即可； （2）通过即得结论． 解：（1）∵∴＝2﹣2（2）∵∴∴＝，
+1
，
，，的夹角θ为45°，

，可得（﹣）•＝0，化简得cosθ＝1，结合0°≤θ≤180°cosθ＝1，
∴θ＝45°．



18．甲、乙二人参加台湾知识竞赛，共有6个不同的题目，其中选择题4个，判断题2个．甲、乙二人依次各抽一题，求：
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率； （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率．
【分析】（1）“甲、乙二人依次各抽一题”，基本事件总数共有n＝6×5＝30，设事件A为“甲抽到选择题，乙抽到判断题”，事件A包含基本事件数为m＝4×2＝8，由此能求出甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率．
（2）设事件B为“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”，事件C为“甲、乙二人都抽到判断题”，事件C包含基本事件数为m′＝2×1＝2，利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率． 解：（1）“甲、乙二人依次各抽一题”，
这一试验的基本事件总数共有n＝6×5＝30种不同结果． 事件A包含基本事件数为m＝4×2＝8，
（2）设事件B为“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”， 则．
19．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且sin2A+sin2C﹣sin2B＝sinAsinC．（1）求角B的大小；
（2）若c＝4a，求tanA的值．
【分析】（1）根据正弦定理，将已知等式化简得a2+c2﹣b2＝ac，结合余弦定理算出cosB＝，从而可得角B的大小；
（2）由c＝4a，结合正弦定理，得sinC＝，4sinA，由sinC＝sin（A+B），可得，展开并化简得同角三角函数的商数关系，可算出tanA的值．
解：（1）因为sin2A+sin2C﹣sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得：a2+c2﹣b4＝ac，
∴由余弦定理得，
（2）∵c＝4a，由正弦定理，得sinC＝4sinA， ∴sincosA+cossinA＝4sinA，
，有．
整理得：20．某中学共有1000名学生参加了“中原名校”的高三第二次模拟考试，数学成绩如表所


示：
数学成绩分组
人数
[0，30） 60
[30，60）
90
[60，90） 300
[90，120）
x
[120，150]
160
（1）在高考前的冲刺阶段，为了更好的了解同学们前段复习的得失，以便制定冲刺阶段的复习计划，学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的可能性；
（2）已知本次数学成绩的优秀线为115分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；
（3）作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
【分析】（1）分层抽样中每个个体被抽到的可能性均相等，计算即可； （2）由题意求出表中x的值，再估计该中学达到优秀线的人数；
（3）列出频率分布表，画出频率分布直方图，利用频率分布直方图求出平均分． 解：（1）分层抽样中，每个个体被抽到的可能性均为所以甲同学被抽到的可能性为：P＝所以估计该中学达到优秀线的人数为 （3）填表如下， 分组 频数 频率 频率/组距
[0，30） 60 0.06 0.002
[30，60） 90 0.09 0.003
[60，90） 300 0.30 0.01
[90，120） 390 0.39 0.013
[120，150] 160 0.16 0.0053
＝；
，
画出频率分布直方图，如图所示；
所以估计该学校本次考试的数学平均分为90分． 21．设x∈R，函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）的最小正周期为π，且f


（）＝．
（1）求ω和φ的值；
（2）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象； （3）若f（x）＞，求x的取值范围．

【分析】（1）利用y＝cos（ωx+φ）型函数的周期公式，可求得ω的值，利用f（＝，结合φ的范围即可求得φ的值；
）（2）由题意可得象；
，利用五点法即可作函数y＝Asin（ωx+φ）的图（3）利用余弦曲线的性质即可得解． 解：（1）周期∴ω＝2， ∵（2）∵，
，列表如下： ，




∴可得：∴x的范围是，k∈Z， ，
．
22．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3•a4＝120，a2+a5＝22． （1）求通项an；
（2）若数列{bn}是等差数列，且，求非零常数c；
（3）在（2）的条件下，求的最大值．
【分析】（1）利用已知条件推出a3＝10，a4＝12．得到公差，然后求解通项公式． （2）{bn}是等差数列，通过2b2＝b1+b3，求解c即可． （3）求出f（n）的表达式，利用基本不等式求解最值即可． 解：（1）∵{an}为等差数列，∴a3+a4＝a2+a5＝22， 又a3•a8＝120， 方程两个根为：10；12， ∴d＝2， （2）由（1）知，
∵{bn}是等差数列，∴2b6＝b1+b3，∴c2﹣5c＝0． ∴c＝2． ∴≤＝．
当且仅当n＝6时，表达式取得最大值：

．


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d69cd29792c69ec3d5bbfd0a79563c1ec5dad7e2.html

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