福建省福州市三校联盟（连江文笔中学、永泰城关中学、长乐高级中学）2018 - 2019学年高二数学下学期期中试

福建省福州市三校联盟（连江文笔中学、永泰城关中学、长乐高级中学）2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）

一.选择题（每小题5分，共60分）

1.若复数则等于（　　）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

整理得：，问题得解。

【详解】因为

所以.

故选：B

【点睛】本题主要考查了复数的运算及共轭复数的概念，属于基础题。

2.一个口袋内装有大小相同word/media/image10_1.png6个白球和2个黑球，从中取3个球，则共有（　　）种不同的取法

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

直接由组合数定义得解。

【详解】由题可得：一个口袋内装有大小相同的8个球中，

从中取3个球，共有种不同的取法.

故选：D

【点睛】本题主要考查了组合数的定义，属于基础题。

3.在用数学归纳法证明等式时，当时的左边等于（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

直接由等式左边的规律得解。

【详解】等式左边的规律为：

以1为首项，公差为1word/media/image10_1.png等差数列的前项和.

所以，当时的左边为：以1为首项，公差为1的等差数列的前2项和。

所以当时的左边为：.

故选：C

【点睛】本题主要考查了观察能力及等差数列的特征，属于基础题。

4.计算：（ ）

A. －1 B. 1 C. 8 D. －8

【答案】C

【解析】

【分析】

直接由定积分公式得解word/media/image22_1.png

【详解】

.

故选：C

【点睛】本题主要考查了定积分计算，考查计算能力，属于基础题。

5.已知，则等于（ ）

A. B. C. 0 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

求得，令可求得：，再令即可得解。

【详解】由得：

令，则，解得：，

令，则

故选：A

【点睛】本题主要考查了导数计算及赋值法，考查观察能力，属于中档题。

6.函数，的最大值.最小值分别是（　　）

A. 3,－17 B. 1,－1 C. 1,－17 D. 9,－19

【答案】A

【解析】

word/media/image38_1.png分析】

利用导数求得的单调性，问题得解。

【详解】由得：，

当时，，当时，

所以在上递增，在递减.

又，，，

所以函数，的最大值.最小值分别是：，

故选：A

【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及求最值，考查计算能力，属于基础题。

7.平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比思维，我们可以得到（　　）

A. 空间中平行于同一直线的两直线平行

B. 空间中平行于同一平面的两直线平行

C. 空间中平行于同一直线的两平面平行

D. 空间中平行于同一平面的两平面平行

【答案】D

【解析】

【分析】

由平面中的线类比空间中的面即可得解。

【详解】平面内平行于同一直线的两直线平行，

由类比方法得：空间中平行于同一平面的两平面平行.

故选：D

【点睛】本题主要考查了类比推理，考查平面中的线类比空间中的面知识，属于基础题。

8.旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团只能任选其中一条，则不同的选择方法有（　　）

A. 24 B. 48 C. 64 D. 81

【答案】C

【解析】

试题分析：每个旅游团只能任选其中一条，则每个团有4种选择，按分步计数原理可知总的选法种数为

考点：分步计数原理

点评：分步计数原理适用于完成一件事需多个步骤，完成该事总的方法数为各步方法数的乘积

9.设是函数的导数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（ ）．

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

解：因为由图象可知，函数在x=2处取得极小值，因此排除A,B,D，得到选项C

10.函数f(x)=在(-1，1)上是增函数，则t的取值范围是(　　)

A. t>5 B. t≥5 C. t<5 D. t≤5

【答案】B

【解析】

【分析】

由导数与原函数的单调性关系可得：函数在上是增函数等价于：在上恒成立，即：在上恒成立，由二次函数的性质即可得解。

【详解】因为函数在上是增函数，

所以在上恒成立，

即：在上恒成立，

令，由二次函数的性质可得：

，

所以，即：.

故选：B

【点睛】本题主要考查了导数与原函数单调性的关系，考查了转化思想及二次函数的性质，属于中档题。

11. 5男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端但又必须相邻，则不同的排法有（ ）

A. 480 B. 960 C. 720 D. 1440

【答案】B

【解析】

解：首先将女生相邻就是先捆绑起来作为个整体，然后得到女生不排在两端的情况是=960,因此选择B

12.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，当时，且则不等式的解集是（　　）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知得：函数是奇函数，且在上递增，在上递增，由可得：，结合的单调性即可得解。

【详解】记.

因为，

当时，，所以在上递增，

又分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以是奇函数.

在上递增.

又， ，，

由的单调性可得：当时，，即：，

当时，，不满足.

当时，，即：.

当时，，不满足.

综上所述：等式的解集是：.

故选：D

【点睛】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性应用，还考查了导数公式，考查了分类思想，属于中档题。

二.填空题（每小题5分，共20分）

13.若则＝_____

【答案】190

【解析】

【分析】

由组合数性质可得：，再由组合数计算公式得解。

【详解】因为

所以.

所以.

【点睛】本题主要考查了组合数的性质，还考查了组合数计算，属于基础题。

14.___________

【答案】

【解析】

【分析】

表示以原点为圆心，半径为5的上半圆与轴围成的面积，问题得解。

【详解】令，则.

所以表示以原点为圆心，半径为5的上半圆与轴围成的面积.

所以.

【点睛】本题主要考查了定积分的概念及与圆有关的面积计算，属于基础题。

15.设,若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】

由函数极值的概念可得：有小于零的根，即：有小于零的根，问题得解。

【详解】函数有小于零的极值点等价于：

有小于零的根，即：有小于零的实数根，

当时，，所以，

整理得：

【点睛】本题主要考查了导数与函数极值的关系，还考查了转化思想及计算能力，属于中档题。

16.函数f(x)=的单调递减区间为_____.

【答案】,

【解析】

【分析】

求出，利用导数与函数的单调性关系即可得解。

【详解】因为，所以且.

所以，

令，解得：或.

所以的单调递减区间为，

【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，考查计算能力，属于基础题。

三.解答题（共6题70分）

17.已知复数 。

（1）求及 ；

（2）若，求实数的值 。

【答案】

【解析】

试题分析：（Ⅰ）通过运算将复数化成标准形式，即， ;（Ⅱ）将已知式子张开，让等式左右两侧复数的实部和虚部对应相等，求出，．

试题解析：

则得，得

解得

考点：复数的运算．

18.已知曲线

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求曲线过点的切线方程

【答案】（1）；（2）或。

【解析】

【分析】

（1）根据曲线的解析式求出导函数，把的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；（2）设出曲线过点切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可.

【详解】解：（1）∵，∴在点处的切线的斜率，

∴曲线在点处的切线方程为，即．

（2）设曲线与过点的切线相切于点，

则切线的斜率，

∴切线方程为，即．

∵点在该切线上，∴，即，

∴，∴，

∴，解得或．

故所求切线方程为或．

【点睛】本题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题，学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决，属于中档题.

19.(1)用分析法证明：+>2+

（2）(用反证法证明)已知0＜a＜1,0＜b＜1,0求证:三个数（1-a）b, (1-b)c,(1-c)a不可能都大于。

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）利用分析法直接等价转化即可得证。

（2）假设，，都大于，利用基本不等式即可得到矛盾，问题得证。

【详解】（1）要证：+>+

即证：

即证：

即证：

即证：

即证：

又成立，原不等式成立，命题得证。

（2）假设，，都大于.

即：，，

又，，

所以，，

所以.

又，，

所以.

这与矛盾。

所以假设不成立，故三个数，，不可能都大于

【点睛】本题主要考查了分析法证明不等式及反证法证明不等式，考查转化思想及基本不等式的应用，属于中档题。

20.已知数列的前n项和为，且，()．

（1）求，，，，并猜想的表达式；

（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出的表达式．

【答案】（1）解 ∵an=Sn-Sn-1（n≥2）

∴Sn=n2（Sn-Sn-1），∴Sn=Sn-1（n≥2）

∵a1=1，∴S1=a1=1.

∴S2=，S3==，S4=， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

猜想Sn=（n∈N*）. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分

（2）证明 ①当n=1时，S1=1成立.

②假设n=k（k≥1,k∈N*）时，等式成立，即Sk=，

当n=k+1时，

Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，

∴ak+1=，

∴Sk+1=（k+1）2·ak+1==，

∴n=k+1时等式也成立，得证.

∴根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分

又∵ak+1=，∴an=. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄15分

【解析】

【分析】

（1）根据数列中和的关系式，得到，进而由，即可分别求解得值，归纳猜想的表达式；

（2）用数学归纳法作出证明：第一步，先证明时，结论成立，第二步，假设时成立，证明时也成立，即可得到结论成立．

【详解】解：(1)因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)

所以Sn＝n2(Sn－Sn－1)，所以Sn＝Sn－1(n≥2)

因为a1＝1，所以S1＝a1＝1.

所以S2＝，S3＝＝，S4＝，

猜想Sn＝ (n∈N*)．

(2)①当n＝1时，S1＝1成立．

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即Sk＝，

当n＝k＋1时，

Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1＝ak＋1＋Sk＝ak＋1＋，

所以ak＋1＝，

所以Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1＝＝.

所以n＝k＋1时等式也成立，得证．

所以根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立．

由Sn＝n2an，得＝n2an，所以an＝.

【点睛】本题主要考查了数列问题的归纳、猜想与证明，以及数学归纳法的应用问题，其中解答中明确数学归纳证明方法：（1）验证时成立；（2）假设当时成立，证得也成立；（3）得到证明的结论．其中在到的推理中必须使用归纳假设．着重考查了推理与论证能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．

21.某服装厂品牌服装word/media/image10_1.png年固定成本100万元，每生产1万件需另投入27万元，设服装厂一年内共生产该品牌服装万件并全部销售完，每万件的销售收入为R（）万元.且

（1）写出年利润y（万元）关于年产量（万件）的函数关系式；

（2）年产量为多少万件时，服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入－年总成本）

【答案】（1）；（2）当年产量为9万件时，服装厂在这一品牌服装的生产中获年利润最大

【解析】

【分析】

（1）由已知条件分类即可写出年利润y（万元）关于年产量（万件）的函数关系式.

（2）分别求分段函数在各段内的最大值，对比即可得到服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大值，由此得到年产量。

【详解】（1）当时，.

当时，

所以年利润y（万元）关于年产量（万件）的函数关系式为：

（2）当时，，

所以，由得：，

当时，.

当时，，

当且仅当时，等号成立.

当年产量为9万件时，服装厂在这一品牌服装的生产中获年利润最大.

【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，还考查了利用导数求函数的最值、利用基本不等式求函数的最值，考查了分类思想及计算能力，属于中档题。

22.已知函数在与处都取得极值

（1）求实数的值；

（2）求函数的单调区间，并判断极大值点与极小值点；

（3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围

【答案】（1）；（2）见解析；（3）或

【解析】

【分析】

（1）求出，由题可得：，，解方程组即可。

（2）求得，列出的关系，即可求得函数的单调区间，并判断极大值点与极小值点.

（3）将不等式恒成立，转化成：对，，利用导数即可求得，问题得解。

【详解】（1） ，

由＝，

得＝，

（2）由（1）得，

列表如下：

所以函数的递增区间是与；递减区间是，

是极大值点，是极小值点

（3），，

当＝－时，＝＋为极大值，大于极小值

而，比较得为最大值

要使（）恒成立，

只需，解得：或

【点睛】本题主要考查了极值与导数的关系，还考查了利用导数判断函数的单调性及求极值点，还考查了利用导数求函数的最值，考查计算能力及转化能力，属于难题。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d4a2b6c811a6f524ccbff121dd36a32d7275c748.html