第三章 证明（三）
1．平行四边形（一）
山东省青岛市第四十七中学 窦建伟
本节主要探索、证明平行四边形的性质、判定，三角形中位线等结论，学生将进一步学习推理论证的方法，加深对图形的认识和理解，对证明意义的体会．授课时，证明的方法和过程会对学生更具挑战性。
本节内容共分三课时：第一课时，主要证明平行四边形的性质以及与等腰梯形有关的性质和判定；第二课时，主要证明平行四边形的判定；第三课时，主要证明三角形的中位线及其运用，如四边形的四条边中点连线的有关结论。
第一课时与第二课时中涉及的很多命题，在前几册中已由学生们通过一些直观的方法进行了探索，所以学生们了解这些结论，对于这些命题，可在课前准备中尝试让学生们进行专题总结，例如利用手抄报的方式。根据学生的能力不同，可以进行平行四边形性质结论的汇总，可以进行知识体系的归纳，可以归纳不同的思维方法、不同的探究方法，也可以分析不同性质结论之间的联系，形式多样。然后授课中利用公理和已有的定理证明它们，以完善证明体系。在证明的过程中，可让学生分组探究验证，让每一个小组选择不同的任务，同时应力争将证明的思路展现出来，而原来结论的探索方法，往往会对证明的思路有所提示，所以也建立了直观与抽象的结合。此外，教师还应注意渗透数学思想方法，如特殊结论到一般结论的归纳思想、类比、转化的思想方法等。如在证明等腰梯形的两个底角相等时，在分析证明思路时可指出将等腰三角形的两个底角转化为等腰三角形的两个底角，从而证明其相等。
同样，在第三课时中还涉及到一些以前没有探索过的命题，如“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”等，对于这些命题，我们尽可能地创设一些问题的情景，为学生提供自主探索发现的空间，然后再进行证明，从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，体会合情推理与逻辑推理在获得结论中各自发挥的作用。
此外还应注意引导学生探索证明的不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论，开阔学生的视野，培养学生的思维能力，如在一种证明结束后提出问题“你还有其他的证明方法吗？与同伴交流”
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：证明（三）是证明（一）、证明（二）的继续，平行四边形的性质已经在前几册中让学生通过直观的方法探索过了，学生对其结论都已经有所了解，本节课主要是对这些结论进行理论的证明。前面学生借助折纸、画图等方法进行直观探索的过程为本章的证明提供了铺垫，为学生提供了相应的定理证明思路。纵观整个初中平面几何教材，本部分内容是在学生掌握了平行线、三角形及简单图形的平移和旋转等平面几何知识，并且具备了初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的。本节课既是前面所学知识的继续，又是后面学习菱形、矩形及正方形等知识的基础，起着承前启后的作用。
学生活动经验基础：北师大教材对于图形认识的教材处理基本采用“2阶段”的方式：“实验操作----演绎”，第1阶段，实验、操作、测量+说理，认识图形的基本性质；第2阶段，进一步认识图形的性质，重点是证明意义的体会和学习演绎推理论证。证明（三）是第二阶段的内容，是证明（一）和证明（二）的延续，是对八年级所探索、猜想出的平行四边形性质的有关结论做逻辑推理论证，是初中几何证明阶段的完结篇。本节课从学生年龄特征、文化知识的实际水平出发，让学生动脑思考，与同伴交流、探索、总结归纳，这样的安排使抽象的定理让学生更易于接受，并能在整个教学过程中真正享受到探索的乐趣。
二、教学任务分析
基于平行四边形的性质已经在前几册中让学生通过直观的方法探索过了，提出本课的具体学习任务：
1、利用证明（一）和证明（二）中已有结论来证明平行四边形的性质中有关的结论。
在熟悉大量几何事实的基础上，帮助学生进一步体验几何证明的基本要求和范式，以提高其准确表达论证过程的技能；同时，还让学生感受探究几何事实的过程对证明思路的启发与影响，使活动经验真正成为发现证明思路的支持系统。
2、让学生经历探索、猜测、证明的过程
除了学生已经探索过的命题外，还有一些命题是新学习的，对这些命题创设一些问题情景，由问题情境出发，使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用，使学生意识到证明是探索活动的自然延续和必要发展。
3、关注命题的拓展、引申，引导学生发现规律，发展概括抽象的能力，感受到“抽象与拓广”是重要的数学思维方式。
4、倡导学生探索证明思路和不同的证明方法。
在授课中和例题后经常设置这样提问，“你还有其他的证明方法吗？”“你是怎样思考的，请与同伴交流”，以及在练习和习题中也编排了一些可以变式训练或可一题多解的题目，让学生呈现他的证明思路和求异思维，关注学生证明思路获得的过程和方法的多样性。
5、展示证明思路、知识之间的联系，渗透数学思想方法。使本节课中转化、类比、归纳、方程等思想得到很好的渗透。如把平行四边形转化为三角形、梯形转化为平行四边形和三角形来处理。
为此，本节课的教学目标是：
1、掌握平行四边形的概念、性质及条件，了解它们之间的关系。
2、能够用综合法证明平行四边形性质定理及等腰梯形相关结论。
3、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力和深化对证明必要性的理解。
4、体会在证明过程中所运用的归纳、类比和转化的数学思想方法，体会计算和证明在解决问题中的作用。
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：一、课前准备——专题总结；二、情景引入，提出问题；三、分组验证，明确定理；四、活动探究；五、运用巩固；六、课堂小结；七、布置作业。
第一环节：课前准备
活动内容：专题总结（提前一周布置）
布置课前任务：以4人合作小组为单位，制作手抄报，总结有关平行四边形的知识（根据学生的能力不同，通过不同的角度）：
（1）可以进行平行四边形性质结论的汇总
（2）可以进行知识体系的归纳
（3）可以归纳不同的思维方法、不同的探究方法
（4）也可以分析不同性质结论之间的联系，形式多样。
在必要的情况下，教师可以对学生的专题总结给予一定的指导，使其更合理。
活动目的：在八年级，平行四边形的性质已由学生们通过一些直观的方法进行了探索，所以学生们了解这些结论，对于这些命题，教师可利用专题总结的方式使学生们联想回忆起它们，培养学生善于观察、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识；在活动中，学生通过对他们感兴趣的问题进行总结，培养学生勇于探索、团结协作的精神，极大地激发了学生学习的积极性与主动性；专题总结，为学生提供了知识前后衔接的空间，引导学生将证明作为探索活动的自然延续和必要发展的过程，体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用。
活动的实际效果：活动充分展现了学生对数学探究的高涨热情和小组团结合作的精神，取得了较好的效果。
第二环节：情景引入，提出问题
活动内容：
1、各个活动小组派代表展示专题总结，其他同学补充，分析不同专题总结的切入点、思维方法。（幻灯片展示）
2、针对平行四边形性质结论的汇总提出问题：
（1）右图是什么图形？有什么特征？
（2）平行四边形的定义是什么？
活动目的：通过展示各个活动小组的专题总结，先让各个小组代表发言，再互相补充，从而得到结论，充分发挥学生们的探究意识和合作交流习惯，同时也锻炼学生的语言表达能力；同时这些知识也是后续要证明的内容，为后续学习做好准备。
活动的实际效果：在展示各个活动小组的专题总结过程中，通过黑板、Z+Z 教育平台、ppt课件交互使用，发挥各自长处，ppt课件中的图形力求形象、美观，以引起同学们的注意，对平行四边形的边、角(线段、角)特别用醒目的色彩、动感的画面、悦耳的声音，牢牢抓住学生的注意力，激发起学生探求未知的欲望；同时借助现代教育技术手段，营造一个创新的学习环境，创设自由、全面发展的时间和空间。
第三环节：分组验证，明确定理
活动内容：
1、如何运用公理和已有的定理证明平行四边形的有关性质？
可以分小组探究验证，每一小组选择一个不同的的任务，对平行四边形的各个性质进行证明。然后，小组间交流展示证明思路、一题多解等。证明过程中注意（1）平行四边形的定义既是性质又是判定，可直接应用；（2）帮助学生进一步体验几何证明的基本要求和范式，提高其准确表达论证过程的技能。
2、明确定理如下：
平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的性质：
定理1:平行四边形的对边平行.(由定义得)
定理2:平行四边形的对边相等.
定理3:平行四边形的对角相等.
定理4:平行四边形的对角线互相平分.
活动目的：利用公理和已有的定理证明平行四边形的有关性质定理并明确定理。
活动的方法与实际效果：在证明的过程中，教师应注意引导学生探索证明的不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论，开阔学生的视野，培养学生的思维能力，如在一种证明结束后提出问题“你还有其他的证明方法吗？与同伴交流”；展示各个活动小组的证明过程时，要让学生畅所欲言，谈自己的想法，切身感受在活动的过程中的实际收获，确保学生主体作用得到充分发挥，让学生从被动学习到主动学习、自主学习。
第四环节：活动探究
活动内容：1、等腰梯形在同一底上的两个角有什么关系？
结论：等腰梯形在同一底上的两个角相等
2、这个命题的逆命题成立吗？如果成立，请你证明它。
学生证明。
明确结论：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
3、证明：等腰梯形的两条对角线相等
活动目的：展示证明思路，明白等腰梯形与所学知识之间的联系，渗透数学思想方法（把等腰梯形转化为平行四边形和三角形来处理，使本节课中转化、类比、归纳、方程等思想得到了很好的渗透）。
活动的实际效果：由问题情境出发，验证等腰梯形结论过程中，使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用，使学生意识到证明是探索活动的自然延续和必要发展。
第五环节：运用巩固
活动内容：1、证明:夹在两条平行线间的平行线段相等.
已知:如图,AB∥CD,EF∥GH.
求证:EF=GH
2、学生独立练习。
（1）已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.
求证:OE=OF.
（2）已知:如图,AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,
求证:AE=CF.
（3）已知:在□ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AF=CE.①线段BE与DF之间有什么关系?请证明你的结论. ②若去掉题设中的AF=CE,请添加一个条件使BE与DF有以上同样的性质.
活动目的：本部分内容以逻辑证明为主，在题目的选取上尽可能地增强代表性与挑战性，从而激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合法的信心，同时也使学生体会到逻辑证明严密性。对于一些综合性，灵活性比较强的题，学生能够顺利解决,对培养他们学好数学的信心大有好处。第（3）小题是条件型开放题，答案不唯一。设计此题的目的是：培养学生的发散思维，力求使学生不停留在重复与模仿的阶段。
活动的实际效果：本部分内容关注了命题的拓展、引申，引导学生严谨的推理证明，发展了逻辑证明能力。使学生感受到“抽象与拓广”是重要的数学思维方式。
第六环节：课堂小结
活动内容：
平行四边形的主要性质有：
定理 平行四边形的对边平行.
定理 平行四边形的对边相等.
定理 平行四边形的对角相等.
定理 平行四边形的对角线互相平分.
定理 夹在两条平行线间的平行线段相等
定理 等腰梯形在同一底上的两个内角相等
定理 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
定理 等腰梯形的两条对角线相等
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想
活动的实际效果：
学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获。
第七环节：布置作业
1、课本习题
2、体会本堂课你所获得成功的经验，写好数学日记，同学交流。
活动目的：让学生写“数学日记”这种作业形式，能够培养学生善于归纳总结的能力，逐步养成良好的学习习惯。
四、教学反思
1、 创造性地使用教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。我们所涉及的很多命题在前几册中已由学生们通过一些直观的方法进行了探索，而且普遍掌握较好，因此没有必要再逐一证明。
2、相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
通过专题总结以及问题的证明，为学生提供展示自己聪明才智的机会，这一过程，有利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。
3、关注证明思路的获得以及证明过程中所蕴含的思想方法
证明的重点放在怎样根据研究问题，从而培养学生逻辑思维，以及特殊结论到一般结论的归纳思想、类比、转化的思想方法等
4、注意改进的方面
在证明之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组合作给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d294344070fe910ef12d2af90242a8956aecaaee.html
文档为doc格式