2020年长沙市南雅中学中考数学一模试卷含答案解析

2020年湖南省长沙市南雅中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1．计算﹣32的结果是（　　）

A．9 B．﹣9 C．6 D．﹣6

2．式子有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≥3 B．x≤3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣3

3．下列运算正确的是（　　）

A．2a2•3a3=6a6 B．2xa+xa=3x2a2 C．（﹣2a）3=﹣6a3 D．a5÷a4=a

4．总投资54亿元的万家丽高架快速路建成，不仅疏解了中心城区的交通，还形成了我市的快速路网，拉动了区域间的交流，54亿用科学记数法表示为（　　）

A．0.54×109 B．5.4×109 C．54×108 D．5.4×108

5．下列各图不是正方体表面展开图的是（　　）

A． B． C． D．

6．在一次献爱心的捐赠活动中，某班45名同学捐款金额统计如下：

在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（　　）

A．30，35 B．50，35 C．50，50 D．15，50

7．一次函数y=x﹣1的图象向上平移2个单位后，不经过（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8．关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．不能确定的

9．己知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的取值范围是（　　）

A．0＜y＜l B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞6

10．下列命题中，正确命题的序号是（　　）

①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

②一组邻边相等的平行四边形是正方形

③对角线相等的四边形是矩形

④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

11．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（　　）

A．2 B．4 C． D．2

12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（　　）

A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0

二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)

13．8的平方根是　　．

14．分解因式y3﹣4y2+4y的结果为　　．

15．若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是　　．

16．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为　　．

17．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，AB=10，BC=6，过O作OE⊥AB交AC于点E，则OE的长为　　．

18．如图，直线y=kx+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴左侧作等边三角形OBC，将△OBCB沿y轴翻折后，点C的对应点C′恰好落在直线AB上，则k的值为　　．

三、解答题（共66分，19-20题每题6分，21-22题每题8分，23-24题每题9分，25-26题每题10分）

19．计算：|1﹣|﹣（）﹣3﹣2cos45°÷（π﹣3）0．

20．先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣1．

21．历下区某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图．

根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）参加演讲比赛的学生共有　　人，扇形统计图中m=　　，n=　　，并把条形统计图补充完整．

（2）学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码 A1、A2表示，女生分别用代码B1、B2表示）

22．如图，已知△ABC内接于⊙O，P是圆外一点，PA为⊙O的切线，且PA=PB，连接OP，线段AB与线段OP相交于点D．

（1）求证：PB为⊙O的切线；

（2）若tan∠BCA=，⊙O的半径为10，求线段PD的长．

23．某商店购进A、B两种商品，B商品每件进价比A商品每件进价多1元，若50元购进A商品的件数与60元购进B商品的件数相同．

（1）求A、B商品每件进价分别是多少元？

（2）若该商店购进A、B两种商品共140件，都标价10元出售，售出一部分后降价促销，以标价的8折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件，该商店此次购进A、B两种商品降价前后共获利不少于360元，求至少购进A商品多少件？

24．已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）．

（1）求证：BM=DN；

（2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；

（3）在（2）的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，求的值．

25．我们定义：平面直角坐标系中点P（x，y）到x轴的距离称为点P的偏离距离，如P（1，﹣2）的偏离距离为1，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=ax+n相交于不同的两点A，B，其中点A在y轴负半轴，且偏离距离为，点B坐标为（m﹣b，m2﹣mb+n），其中a，b，c，m，n为实数，且a，m不为0．

（1）求c的值；

（2）设抛物线y=ax2+bx+c上偏离距离为0的两个点的横坐标分别为x1和x2，求x1x2的值；

（3）若函数图象在r≤x≤t上所有点的偏离距离的最大值记为d，如函数y=x+1在﹣2≤x≤3上的最大偏离距离d=4，求抛物线y=ax2+bx+c在﹣1≤x≤1上的最大偏离距离d的最小值．

26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（﹣2，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD，过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．∠DFE的度数是否为定值？如果是，请求出∠DFE度数，并写出推理过程；如果不是，请直接写出它的范围．

（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．

2020年湖南省长沙市南雅中学中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1．计算﹣32的结果是（　　）

A．9 B．﹣9 C．6 D．﹣6

【考点】有理数的乘方．

【分析】根据有理数的乘方的定义解答．

【解答】解：﹣32=﹣9．

故选：B．

2．式子有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≥3 B．x≤3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣3

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式的性质和被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．

【解答】解：根据题意得：x+3≥0，

解得：x≥﹣3．

故选：C．

3．下列运算正确的是（　　）

A．2a2•3a3=6a6 B．2xa+xa=3x2a2 C．（﹣2a）3=﹣6a3 D．a5÷a4=a

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．

【分析】根据单项式乘单项式的运算法则、合并同类项法则、积的乘方和同底数幂的除法法则进行计算，选择得到答案．

【解答】解：2a2•3a3=6a5，A错误；

2xa+xa=3xa，B错误；

（﹣2a）3=﹣8a3，C错误；

a5÷a4=a，D正确，

故选：D．

4．总投资54亿元的万家丽高架快速路建成，不仅疏解了中心城区的交通，还形成了我市的快速路网，拉动了区域间的交流，54亿用科学记数法表示为（　　）

A．0.54×109 B．5.4×109 C．54×108 D．5.4×108

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：54亿用科学记数法表示为：5.4×108．

故选D．

5．下列各图不是正方体表面展开图的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】几何体的展开图．

【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．

【解答】解：A、是正方体表面展开图，不符合题意；

B、是正方体表面展开图，不符合题意；

C、是正方体表面展开图，不符合题意；

D、有“田”字格，不是正方体表面展开图，符合题意．

故选：D．

6．在一次献爱心的捐赠活动中，某班45名同学捐款金额统计如下：

在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（　　）

A．30，35 B．50，35 C．50，50 D．15，50

【考点】众数；中位数．

【分析】根据众数、中位数的定义，结合表格数据进行判断即可．

【解答】解：捐款金额学生数最多的是50元，

故众数为50；

共45名学生，中位数在第23名学生处，第23名学生捐款50元，

故中位数为50；

故选C．

7．一次函数y=x﹣1的图象向上平移2个单位后，不经过（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】一次函数图象与几何变换．

【分析】求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．

【解答】解：因为一次函数y=x﹣1的图象向上平移2个单位后的解析式为：y=x+1，

所以图象不经过四象限，

故选D

8．关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．不能确定的

【考点】根的判别式．

【分析】先计算△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，由于m2为非负数，则m2+4＞0，即△＞0，根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义即可判断方程根的情况．

【解答】解：△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，

∵m2≥0，

∴m2+4＞0，即△＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选A．

9．己知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的取值范围是（　　）

A．0＜y＜l B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞6

【考点】反比例函数的性质．

【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．

【解答】解：∵k=6＞0，

∴在每个象限内y随x的增大而减小，

又∵当x=1时，y=6，

当x=3时，y=2，

∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．

故选C．

10．下列命题中，正确命题的序号是（　　）

①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

②一组邻边相等的平行四边形是正方形

③对角线相等的四边形是矩形

④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【考点】命题与定理．

【分析】分别利用平行四边形的判定方法以及菱形、矩形的判定方法和三角形外心的性质分析得出答案．

【解答】解：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确；

②一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项错误；

③对角线相等的四边形是不一定是矩形，故此选项错误；

④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确．

故选：D．

11．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（　　）

A．2 B．4 C． D．2

【考点】圆周角定理；等腰直角三角形．

【分析】首先连接OA，OB，由圆周角定理即可求得∠AOB=90°，又由OA=OB=2，利用勾股定理即可求得弦AB的长．

【解答】解：连接OA，OB，

∵∠APB=45°，

∴∠AOB=2∠APB=90°，

∵OA=OB=2，

∴AB==2．

故选D．

12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（　　）

A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】根据二次函数的图象求出a＜0，c＞0，根据抛物线的对称轴求出b=﹣2a＞0，即可得出abc＜0；根据图象与x轴有两个交点，推出b2﹣4ac＞0；对称轴是直线x=1，与x轴一个交点是（﹣1，0），求出与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x=3代入二次函数得出y=9a+3b+c=0；把x=4代入得出y=16a﹣8a+c=8a+c，根据图象得出8a+c＜0．

【解答】解：A、∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，

∴a＜0，c＞0，

∵抛物线的对称轴是直线x=1，

∴﹣=1，

∴b=﹣2a＞0，

∴abc＜0，故本选项错误；

B、∵图象与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；

C、∵对称轴是直线x=1，与x轴一个交点是（﹣1，0），

∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），

把x=3代入二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）得：y=9a+3b+c=0，故本选项错误；

D、∵当x=3时，y=0，

∵b=﹣2a，

∴y=ax2﹣2ax+c，

把x=4代入得：y=16a﹣8a+c=8a+c＜0，

故选D．

二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)

13．8的平方根是　　．

【考点】平方根．

【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．

【解答】解：∵（±2）2=8，

∴8的平方根是±2．

故填±2．

14．分解因式y3﹣4y2+4y的结果为　y（y﹣2）2　．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

【解答】解：y3﹣4y2+4y，

=y（y2﹣4y+4），

=y（y﹣2）2．

15．若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是　m≥﹣2且m≠﹣1　．

【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．

【分析】方程去分母，移项合并，将x系数化为1，表示出解，根据解为非负数求出m的范围即可．

【解答】解：由原方程，得

x+m=2x﹣2，

x=m+2，

则m+2≥0，且m+2≠1，

解得m≥﹣2且m≠﹣1．

故答案为：m≥﹣2且m≠﹣1．

16．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为　3　．

【考点】弧长的计算．

【分析】根据弧长公式代入求解即可．

【解答】解：∵l=，

∴R==3．

故答案为：3．

17．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，AB=10，BC=6，过O作OE⊥AB交AC于点E，则OE的长为　　．

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】先根据勾股定理求出AC的长，证明△AOE∽△ACB，列比例式可得结论．

【解答】解：∵AB是⊙O的直径，且AB=10，

∴AO=5，∠ACB=90°，

由勾股定理得：AC===8，

∵OE⊥AB，

∴∠AOE=90°，

∴∠AOE=∠ACB，

∵∠A=∠A，

∴△AOE∽△ACB，

∴，

∴，

∴OE=．

18．如图，直线y=kx+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴左侧作等边三角形OBC，将△OBCB沿y轴翻折后，点C的对应点C′恰好落在直线AB上，则k的值为　﹣　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．

【分析】由等边三角形的性质和折叠的性质得出∠ABO=∠OBC=60°，由三角函数求出OA，得出点A的坐标，代入直线y=kx+4求出k即可．

【解答】解：∵△OBC是等边三角形，

∴∠OBC=60°，

∵直线y=kx+4，当x=0时，y=4，

∴B（0，4），

∴OB=4，

由折叠的性质得：∠ABO=∠OBC=60°，

∵∠AOB=90°，

∴OA=OB=4，

∴A（4，0），

把点A（4，0）代入直线y=kx+4得：

4k+4=0，

解得：k=﹣．

故答案为：﹣．

三、解答题（共66分，19-20题每题6分，21-22题每题8分，23-24题每题9分，25-26题每题10分）

19．计算：|1﹣|﹣（）﹣3﹣2cos45°÷（π﹣3）0．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】根据实数的运算，即可解答．

【解答】解：原式=﹣1﹣8﹣2×÷1

=﹣9﹣

=﹣9．

20．先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣1．

【考点】分式的化简求值．

【分析】原式括号中变形后利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=÷=•=，

当x=﹣1时，原式==﹣．

21．历下区某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图．

根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）参加演讲比赛的学生共有　40　人，扇形统计图中m=　20　，n=　30　，并把条形统计图补充完整．

（2）学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码 A1、A2表示，女生分别用代码B1、B2表示）

【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．

【分析】（1）根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：4÷10%=40（人），然后由扇形统计图的知识，可求得m，n的值，继而补全统计图；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A等级中一男一女参加比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：4÷10%=40（人），

∴m%=1﹣40%﹣10%﹣30%=20%，

∴m=20，

∵n%=×100%=30%，

∴n=30；

如图：

故答案为：40，20，30；

（2）画树状图得：

，

∵共有12种等可能的结果，A等级中一男一女参加比赛的有8种情况，

∴A等级中一男一女参加比赛的概率为： =．

22．如图，已知△ABC内接于⊙O，P是圆外一点，PA为⊙O的切线，且PA=PB，连接OP，线段AB与线段OP相交于点D．

（1）求证：PB为⊙O的切线；

（2）若tan∠BCA=，⊙O的半径为10，求线段PD的长．

【考点】切线的判定与性质；三角形的外接圆与外心；解直角三角形．

【分析】（1）要证PB为⊙O的切线PB为⊙O的切线，只要证明△OAP≌△OBP即可，根据题目中的条件可以证明该结论成立；

（2）根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，由tan∠BCA=，⊙O的半径为10，可以得到OP和OD的长，从而可以解答本题．

【解答】（1）证明：连接OA、OB，如右图所示，

∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，

∴△OAP≌△OBP（SSS），

∴∠OAP=∠OBP，

∵PA为⊙O的切线，

∴∠OAP=90°，

∴∠OBP=90°，

∴PB为⊙O的切线；

（2）解：∵△OAP≌△OBP，

∴∠AOP=∠BOP，

又∵∠AOB=2∠BCA=∠AOP+∠BOP，

∴∠BCA=∠AOP，

∵tan∠BCA=，⊙O的半径为10，

∴tan∠AOP=，OA=5，

∴AP=OA•tan∠AOP=5×=，OD=3，

∴OP=，

∴PD=OP﹣OD=．

23．某商店购进A、B两种商品，B商品每件进价比A商品每件进价多1元，若50元购进A商品的件数与60元购进B商品的件数相同．

（1）求A、B商品每件进价分别是多少元？

（2）若该商店购进A、B两种商品共140件，都标价10元出售，售出一部分后降价促销，以标价的8折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件，该商店此次购进A、B两种商品降价前后共获利不少于360元，求至少购进A商品多少件？

【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．

【分析】（1）设购进A商品每件进价x元，B商品每件进价x+1元．等量关系：50元购进A商品的件数与60元购进B商品的件数相同．据此列出方程，并解答．

（2）设至少购进A商品a件，根据购进A、B两种商品降价前后共获利不少于360元列出不等式解答即可．

【解答】解：（1）设购进A商品每件进价x元，B商品每件进价x+1元，可得：

，

解得：x=5，

经检验x=5是原方程的解．

答：A商品每件进价5元，B商品每件进价6元；

（2）设至少购进A商品a件，可得：

（a﹣20）×10+×0.8×10﹣5a﹣6≥360，

解得：a≥40．

答：至少购进A商品40件．

24．已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）．

（1）求证：BM=DN；

（2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；

（3）在（2）的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，求的值．

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定．

【分析】（1）连接BD，可证明△OBM≌△ODN，则BM=DN；

（2）先证明四边形AMCN是平行四边形，再由翻折得，AM=CM，则四边形AMCN是菱形；

（3）又S△CDN：S△CMN=1：3，可得DN：CM=1：3，设DN=k，则CN=CM=3k，过N作NG⊥MC于点G，则可求出NG和MN，从而求出比值．

【解答】（1）证法一：连接BD，则BD过点O，

∵AD∥BC，

∴∠OBM=∠ODN，

又OB=OD，∠BOM=∠DON，

∴△OBM≌△ODN，

∴BM=DN；

证法二：∵矩形ABCD是中心对称图形，点O是对称中心，

∴B、D和M、N关于O点中心对称，

∴BM=DN；

（2）证法一：

∵矩形ABCD，

∴AD∥BC，AD=BC，

又BM=DN，

∴AN=CM，

∴四边形AMCN是平行四边形，

由翻折得，AM=CM，

∴四边形AMCN是菱形；

证法二：由翻折得，AE=CD，∠E=∠D，∠AMN=∠CMN，

又∵∠ANE=∠CND，

∴△ANE≌△CND，

∴AN=CN．

∵AD∥BC，

∴∠ANM=∠CMN，

∴∠AMN=∠ANM，

∴AM=AN，

∴AM=MC=CN=NA，

∴四边形AMCN是菱形．

（3）解法一：∵S△CDN=DN•CD，S△CMN=CM•CD，

又S△CDN：S△CMN=1：3，

∴DN：CM=1：3，

设DN=k，则CN=CM=3k，

过N作NG⊥MC于点G，

则CG=DN=k，MG=CM﹣CG=2k，

NG=，

∴MN=，

∴==2；

解法二：∵S△CDN=DN•CD，S△CMN=CM•CD，

又S△CDN：S△CMN=1：3，

∴DN：CM=1：3，

连接AC，则AC过点O，且AC⊥MN，

设DN=k，则CN=AN=CM=3k，AD=4k，

CD=，

OC=AC===k，

∴MN=2ON=2=2=2k，

∴==2．

25．我们定义：平面直角坐标系中点P（x，y）到x轴的距离称为点P的偏离距离，如P（1，﹣2）的偏离距离为1，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=ax+n相交于不同的两点A，B，其中点A在y轴负半轴，且偏离距离为，点B坐标为（m﹣b，m2﹣mb+n），其中a，b，c，m，n为实数，且a，m不为0．

（1）求c的值；

（2）设抛物线y=ax2+bx+c上偏离距离为0的两个点的横坐标分别为x1和x2，求x1x2的值；

（3）若函数图象在r≤x≤t上所有点的偏离距离的最大值记为d，如函数y=x+1在﹣2≤x≤3上的最大偏离距离d=4，求抛物线y=ax2+bx+c在﹣1≤x≤1上的最大偏离距离d的最小值．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）求出点A坐标，代入抛物线的解析式即可求出c的值．

（2）把点B坐标代入y=ax2+bx+c与直线y=ax+n得，解方程组可得a=1，根据根与系数关系即可解决问题．

（3）构建函数，利用图象法解决即可．

【解答】解：（1）∵点A在y轴负半轴，且偏离距离为，

∴点A坐标（0，﹣），分别代入y=ax2+bx+c与直线y=ax+n中，可得c=n=﹣，

∴c=﹣．

（2）把点B坐标代入y=ax2+bx+c与直线y=ax+n得

由②得到（m﹣b）（m﹣a）=0，

∵A、B是不同两点，

∴m﹣b≠0，

∴m=a，

把m=a代入①整理得到（a﹣b）2（a﹣1）=0，

∵m﹣b≠0，

∴m≠b，∵m=a，

∴a﹣b≠0，

∴a﹣1=0，

∴a=1，

∴抛物线的解析式为y=x2+bx﹣，

∵抛物线y=ax2+bx+c上偏离距离为0的两个点的横坐标分别为x1和x2，

∴x1和x2是方程，x2+bx﹣=0的两根，

∴x1•x2=﹣．

（3）∵抛物线的解析式为y=x2+bx﹣，

∴y=x2+bx﹣=（x+）2﹣﹣，

当x=﹣1时，y=﹣b，

当x=1时，y=+b，

令y1=|﹣﹣|=，

y2=|﹣b|，

y3=|+b|，

在同一坐标系中画出函数图象如图所示（y2与y3的图象相同），

根据偏离距离的定义，抛物线y=ax2+bx+c在﹣1≤x≤1上的最大偏离距离d的最小值，是对于同一自变量x，函数值y1/、y2、y3中较小的值，

由图象可知：抛物线y=ax2+bx+c在﹣1≤x≤1上的最大偏离距离d的最小值为．

26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（﹣2，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD，过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．∠DFE的度数是否为定值？如果是，请求出∠DFE度数，并写出推理过程；如果不是，请直接写出它的范围．

（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）利用待定系数法求出直线AB的函数解析式；

（2）先证出△BDO≌△COD，得出∠BDO=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，再连结PE，根据∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，得到答案；

（3）BD：BF=2：1时，过点F作FH⊥OB于点H，证出△BOD∽△FHB，再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式，最后根求出点P的坐标即可；连结EB，先证出△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得△BOD∽△FGB，得出FG，ODBG，再证出四边形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直线CD的解析式，最后根即可求出点P的坐标．

【解答】解：（1）设直线AB的函数解析式为：y=kx+b，

由题意得，，

解得，，

则直线AB的函数解析式为：y=﹣x+2；

（2）如图1，连结PE，

在△BDO和△CDO中，

，

∴△BDO≌△CDO，

∴∠BDO=∠CDO，

∵∠CDO=∠ADP，

∴∠BDE=∠ADP，

∵∠ADP是△DPE的一个外角，

∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，

∵∠BDE是△ABD的一个外角，

∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，

∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，

∴∠DPE=∠OAB，

∵OA=OB=6，∠AOB=90°，

∴∠OAB=45°，

∴∠DPE=45°，

∴∠DFE=∠DPE=45°，

∵DF是⊙Q的直径，

∴∠DEF=90°，

∴∠DFE=45°；

（3）当BD：BF=2：1时，

①如图2，过点F作FH⊥OB于点H，

∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，

∴∠DBO=∠BFH，

又∵∠DOB=∠BHF=90°，

∴△BOD∽△FHB，

∴===2，

∴FH=1，OD=2BH，

∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，

∴四边形OEFH是矩形，

∴OE=FH=1，

∴EF=OH=2﹣OD，

∵DE=EF，

∴1+OD=2﹣OD，

解得：OD=，

∴点D的坐标为（0，），

∴直线CD的解析式为y=x+，

，

解得，，

∴点P的坐标为（1，1）；

当BD：BF=1：2时，

如图3，连结EB，同（2）可得：∠ADB=∠EDP，

∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，

∵∠DEB=∠DPA，

∴∠DBE=∠DAP=45°，

∴△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，

同理可得：△BOD∽△FGB，

===，

∴FG=4，OD=BG，

∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，

∴四边形OEFG是矩形，

∴OE=FG=4

∴EF=OG=2+2OD，

∵DE=EF，

∴4﹣OD=2+2OD，

解得，OD=，

∴点D的坐标为（0，﹣）

直线CD的解析式为：y=﹣x﹣，

∴点P的坐标为（4，﹣2），

综上所述，点P的坐标为（1，1）或（4，﹣2）．

2020年12月12日

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d0846025f71fb7360b4c2e3f5727a5e9846a2742.html