辽宁省沈阳市高考数学三模试卷 文（含解析）

2016年辽宁省沈阳市高考数学三模试卷（文科）

一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数（）3的模是（　　）

A． B． C．1 D．2

2．已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）=0}，集合B=，则集合A∩B真子集的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．若直线l：x+y+a=0被圆x2+y2=a截得的弦长为，则a的值为（　　）

A．﹣1 B． C．1 D．2

4．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若当x＜0时，f（x）=﹣log2（﹣2x），则f（32）=（　　）

A．﹣32 B．﹣6 C．6 D．64

5．抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则p=（　　）

A． B．1 C．2 D．4

6．已知θ∈（﹣，）且sinθ+cosθ=a，其中a∈（0，1），则tanθ的可能取值是（　　）

A．﹣3 B．3或 C． D．﹣3或

7．已知正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧面积是（　　）

A． B． C．18 D．

8．等差数列{an}中，a3+a4+a8=12，则前9项和S9=（　　）

A．18 B．24 C．36 D．48

9．阅读如图所示程序框图，若输出的n=5，则满足条件的整数p共有（　　）个．

A．8 B．16 C．24 D．32

10．设x、y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则a2+b2的最小值为（　　）

A． B． C． D．

11．设F为双曲线的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M，N，则的值为（　　）

A． B． C． D．

12．关于x的方程2ax=x2﹣2alnx有唯一解，则正实数a的值为（　　）

A． B．1 C． D．2

二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）

13．已知等比数列{an}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a2=　　　　　　．

14．已知向量，的夹角为， =（﹣1，1），||=2，则|+2|=　　　　　　．

15．在区间[0，3]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log（x+）≤1”发生的概率为　　　　　　．

16．已知球O的半径为1，点A，B，C是球大圆上的任意三点，点P是球面上的任意一点，则三棱锥P﹣ABC的最大体积为　　　　　　．

三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosA=，a=2，3sinC=4sinB．

（Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）若等差数列{an}中a1=a，a2=b．

（ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（ⅱ）设bn=（﹣1）nan，求数列{bn}的前n项和Tn．

18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2BC，PA⊥平面ABCD，E为线段PA的中点．

（Ⅰ）求证：BE∥平面PCD；

（Ⅱ）若PA=AD=2，求点E到平面PCD的距离．

19．襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；

（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．

20．设P为椭圆=1（a＞b＞0）上任一点，F1，F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|=4，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）直线l：y=kx+m（m≠0）经过点（﹣1，0），且与椭圆交于P、Q两点，若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求直线l的方程．

21．已知函数f（x）=exsinx，其中x∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当时，f（x）≥kx，求实数k的取值范围．

四.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于N，过N作圆O的切线交BC于D，OD交圆O于点M．

（Ⅰ）证明：OD∥AC；

（Ⅱ）证明： +1．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系中，过点P（3，1）的直线l的参数方程为（t为参数，α为l的倾斜角）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：ρ=4cosθ．

（Ⅰ）若直线l与曲线C1有且仅有一个公共点，求直线l的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C1交于不同两点C、D，与C2交于不同两点A、B，这四点从左至右依次为B、D、C、A，求|AC|﹣|BD|的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|ax+1|，a∈R．

（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）+f（x﹣2）≥1恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若f（）+f（）+f（）=4，求f（）+f（）+f（）的最小值．

2016年辽宁省沈阳市高考数学三模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数（）3的模是（　　）

A． B． C．1 D．2

【考点】复数求模．

【分析】化简复数为：a+bi的形式，然后求解复数的模．

【解答】解：因为，又i3=﹣i，所以复数（）3=﹣i，

复数的模|﹣i|=1．

故选：C．

2．已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）=0}，集合B=，则集合A∩B真子集的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】交集及其运算；子集与真子集．

【分析】利用交集运算求出集合A∩B，写出其真子集，则答案可求．

【解答】解：化简集合A={1，2，3}，集合B={x|x≥2}，所以A∩B={2，3}，

则A∩B的真子集有：∅，{2}，{3}．

故选C．

3．若直线l：x+y+a=0被圆x2+y2=a截得的弦长为，则a的值为（　　）

A．﹣1 B． C．1 D．2

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】利用点到直线的距离公式，可以求出圆心（0，0）到直线x+y+a=0的距离，结合圆的半径，以及弦长的一半，利用勾股定理可以求出a．

【解答】解：∵圆x2+y2=a的圆心为（0，0），半径r=，a＞0，

∴圆心（0，0）到直线x+y+a=0的距离为d=，

∵直线l：x+y+a=0被圆x2+y2=a截得的弦长为，

∴结合圆的半径，以及弦长的一半，

由勾股定理，得．

解得a=1．

故选：C．

4．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若当x＜0时，f（x）=﹣log2（﹣2x），则f（32）=（　　）

A．﹣32 B．﹣6 C．6 D．64

【考点】函数奇偶性的性质．

【分析】真假利用函数的奇偶性的性质求解即可．

【解答】解：因为当x＜0时，f（x）=﹣log2（﹣2x），

f（32）=f（﹣32）=﹣log264=﹣6，

故选：B．

5．抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则p=（　　）

A． B．1 C．2 D．4

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】根据抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．

【解答】解：抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，

∴抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即，

∴p=2．

故答案选：C．

6．已知θ∈（﹣，）且sinθ+cosθ=a，其中a∈（0，1），则tanθ的可能取值是（　　）

A．﹣3 B．3或 C． D．﹣3或

【考点】三角函数中的恒等变换应用．

【分析】把已知等式两边平方，可得2sinθ•cosθ=a2﹣1，由a的范围及，得sinθ•cosθ＜0，且|sinθ|＜|cosθ|，由此得到θ∈（﹣），答案可求．

【解答】解：由sinθ+cosθ=a，两边平方可得2sinθ•cosθ=a2﹣1，

由a∈（0，1）及，有sinθ•cosθ＜0，且|sinθ|＜|cosθ|，

∴θ∈（﹣），从而tanθ∈（﹣1，0）．

故选：C．

7．已知正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧面积是（　　）

A． B． C．18 D．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图画出对应直观图，根据正三棱锥的结构特征判断出顶点V在底面上的射影，由图象和勾股定理求出三棱锥的高，再求出侧面上的高即斜高，由三角形的面积公式求出正三棱锥侧面的面积．

【解答】解：由三视图画出直观图如图所示：

O是定点V在底面的射影，且O是正三角形ABC的中心，D是BC的中点，

由三视图可得，侧棱VA=4，AB=BC=AC=2，

则AD===3，

∴底面△ABC外接圆的半径OA==2，OD=1，

则VO==2，VD==，

∵VD⊥BC，∴斜高为，

则正三棱锥的侧面积S=，

故选：B．

8．等差数列{an}中，a3+a4+a8=12，则前9项和S9=（　　）

A．18 B．24 C．36 D．48

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】根据等差数列通项公式求出a5的值，再根据前n项和求出S9即可．

【解答】解：等差数列{an}中，∵a3+a4+a8=12，

∴a5=（a3+a4+a8）=4，

∴前9项和为：

．

故选：C．

9．阅读如图所示程序框图，若输出的n=5，则满足条件的整数p共有（　　）个．

A．8 B．16 C．24 D．32

【考点】程序框图．

【分析】分析程序框图最后一次运行的情况，即可求出满足条件的整数p共有多少个．

【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知最后一次循环是：

S=22+23+24=28，满足条件，S＜P；

S=28+25=60，n=5，不满足条件，S=60≥P；

终止循环，所以满足条件的整数p共有60﹣28=32个．

故选：D．

10．设x、y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则a2+b2的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用点直线的距离公式进行求解即可．

【解答】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，

作出可行域如图：

∵a＞0，b＞0，

∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大．

平移直线y=，由图象可知当y=经过点A时，

直线的截距最大，此时z也最大．

由，解得，即A（4，3）．

此时z=4a+3b=12，

a2+b2的几何意义为直线4a+3b=12上的点到原点的距离的平方，

则原点到4a+3b=12上的最短距离d==，

则a2+b2的最小值为d2=（）2=，

故选：C．

11．设F为双曲线的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M，N，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】对点A特殊化，不妨设点A为双曲线的右焦点，依题意得F（﹣5，0），A（5，0），|FN|﹣|NA|=8，|FM|=|NA|，所以|FN|﹣|FM|=8，从而能够得到结果．

【解答】解：由于F为双曲线的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，

以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M，N，

不妨设A为椭圆的右焦点，则F（﹣5，0），A（5，0），|FN|﹣|NA|=8，

由双曲线的对称性得到|FM|=|NA|，

∴|FN|﹣|FM|=8

则=．

故选：D．

12．关于x的方程2ax=x2﹣2alnx有唯一解，则正实数a的值为（　　）

A． B．1 C． D．2

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】先讨论x的取值范围，从而利用分离常数法化简a=，求导a′==，从而确定函数的单调性及最值，从而解得．

【解答】解：∵2ax=x2﹣2alnx，

∴2a（x+lnx）=x2，

由y=x+lnx在其定义域上是增函数，且﹣1＜0，1+0=1＞0；

故存在x0∈（0，1），使x0+lnx0=0，

故当x∈（x0，+∞）时，x+lnx＞0，

当x∈（x0，+∞）时，

a=，

a′=

=，

令f（x）=x2﹣x+2xlnx，

则f′（x）=2x﹣1+2+2lnx=2（x+lnx）+1＞0，

故f（x）在（x0，+∞）上是增函数，

又∵f（1）=0，

故当x∈（x0，1）时，a′＜0，当x∈（1，+∞）时，a′＞0；

故当a=•=时，

关于x的方程2ax=x2﹣2alnx有唯一解，

故选：A．

二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）

13．已知等比数列{an}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a2=　8　．

【考点】等比数列的性质．

【分析】由题意结合等比数列的求和公式可得a1的方程，解方程可得a1，由通项公式可得答案．

【解答】解：由等比数列的求和公式可得S4==60，

解得等比数列{an}的首项a1=4，

∴a2=a1q=4×2=8，

故答案为：8．

14．已知向量，的夹角为， =（﹣1，1），||=2，则|+2|=　　．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】根据数量积的应用，即可求出向量的长度．

【解答】解：∵=（﹣1，1），

∴||=，

∵向量，的夹角为，

∴•=||||cos=2=﹣2，

则|+2|2=||2+4||2+4•=2+16﹣8=10，

则|+2|=．

故答案为：

15．在区间[0，3]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log（x+）≤1”发生的概率为　　．

【考点】几何概型．

【分析】先解已知不等式，再利用解得的区间长度与区间[0，3]的长度求比值即得答案．

【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度，

∵﹣1≤log（x+）≤1，

∴≤x+≤2．

解得0≤x≤．

∵0≤x≤3，

∴0≤x≤．

∴所求的概率为：P=．

故答案为：．

16．已知球O的半径为1，点A，B，C是球大圆上的任意三点，点P是球面上的任意一点，则三棱锥P﹣ABC的最大体积为　　．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】分别求出棱锥的底面和高的最大值，代入棱锥的体积公式即可．

【解答】解：当OP垂直平面ABC时，三棱锥P﹣ABC的高最大，此时OP=1．

当△ABC是正三角形时，△ABC的面积最大，最大面积为S=3×=．

故三棱锥的最大体积为V==．

三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosA=，a=2，3sinC=4sinB．

（Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）若等差数列{an}中a1=a，a2=b．

（ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（ⅱ）设bn=（﹣1）nan，求数列{bn}的前n项和Tn．

【考点】数列的求和；正弦定理；余弦定理．

【分析】（Ⅰ）根据正弦定理和余弦定理，即可求出b，c的值．

（Ⅱ）（ⅰ）设等差数列{an}公差为d，由题有d=a2﹣a1=1，从而an=n+1．

（ⅱ）bn=（﹣1）nan=（﹣1）n（n+1），分类讨论即可求出．

【解答】解：（Ⅰ）△ABC中 3sinC=4sinB由正弦定理可得：3c=4b．

由余弦定理得到，

又a=2，所以c=4，b=3．

（Ⅱ）（ⅰ）设等差数列{an}公差为d，由题有d=a2﹣a1=1，

从而an=n+1．

（ⅱ）bn=（﹣1）nan=（﹣1）n（n+1），

当n为偶数时：．

当n为奇数时：．

所以Tn=

18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2BC，PA⊥平面ABCD，E为线段PA的中点．

（Ⅰ）求证：BE∥平面PCD；

（Ⅱ）若PA=AD=2，求点E到平面PCD的距离．

【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．

【分析】（Ⅰ）设线段AD的中点为F，连接EF，FB．通过线面平行证明平面EFB∥平面PCD，再证明：BE∥平面PCD；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点E到平面PCD的距离与点B到平面PCD的距离相等，利用，等体积方法求点E到平面PCD的距离．

【解答】（Ⅰ）证明：设线段AD的中点为F，

连接EF，FB．

在△PAD中，EF为中位线，

故EF∥PD．

又EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，

所以EF∥平面PCD．

在底面直角梯形ABCD中，FD∥BC，且FD=BC，故四边形DFBC为平行四边形，

即FB∥CD．

又FB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以FB∥平面PCD．

又因为EF⊂平面EFB，FB⊂平面EFB，且EF∩FB=F，所以平面EFB∥平面PCD．

又BE⊂平面EFB，所以有BE∥平面PCD．…

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，点E到平面PCD的距离与点B到平面PCD的距离相等．

连接AC，设点B到平面PCD的距离为h，

因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC．

根据题意，在Rt△PAD中，

在Rt△ADC中，，

在Rt△PAC中，，由于PD2+CD2=PC2，

所以△PCD为直角三角形，.．又，所以．

即点E到平面PCD的距离为．…

19．襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；

（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．

【考点】频率分布直方图．

【分析】（1）根据频率分布直方图，求出每个矩形的面积，即每组的概率，每组的中值乘以每组的频率之和即这100名学生参加选拔测试的平均成绩；

（2）利用频率分布直方图计算分数在[110，130）和[130，150）的人数分别予以编号，列举出随机抽出2人的所有可能，找出符合题意得情况，利用古典概型计算即可．

【解答】（1）设初赛成绩的中位数为x，则：（0.001+0.004+0.009）×20+0.02×（x﹣70）=0.5…

解得x=81，所以初赛成绩的中位数为81；…

（2）该校学生的初赛分数在[110，130）有4人，分别记为A，B，C，D，分数在[130，150）有2人，分别记为a，b，在则6人中随机选取2人，总的事件有（A，B），（A，C），（A，D），

（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个…

故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为P=…

20．设P为椭圆=1（a＞b＞0）上任一点，F1，F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|=4，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）直线l：y=kx+m（m≠0）经过点（﹣1，0），且与椭圆交于P、Q两点，若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求直线l的方程．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）运用椭圆的定义可得a=2，由离心率公式可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；

（Ⅱ）由题意可得k=m，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和等比数列的中项的性质，化简整理可得k的值，进而得到所求直线的方程．

【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=4，可得a=2，

由e==，可得c=，b==1，

则椭圆方程为；

（Ⅱ）由直线y=kx+m经过点（﹣1，0），可知，k=m，

设点P（x1，y1），Q（x2，y2），

由，消y，得（4k2+1）x2+8k2x+4k2﹣4=0，

由直线与椭圆交于不同的两点，可得△=64k4﹣16（k2﹣1）（4k2+1）＞0，解得k∈R，

由韦达定理得，，，

由题意知，k2=kOP•kOQ，

即，

所以，即﹣+1=0，

即，即为k=±，

所以直线l的方程为x﹣2y+1=0或x+2y+1=0．

21．已知函数f（x）=exsinx，其中x∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当时，f（x）≥kx，求实数k的取值范围．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，结合三角函数的性质求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣kx=exsinx﹣kx，即g（x）≥0恒成立，通过讨论k的范围确定函数的单调性，从而求出k的范围即可．

【解答】解：（Ⅰ） f′（x）=exsinx+excosx=ex（sinx+cosx），

令，

当单调递增，

单调递减

（Ⅱ） 令g（x）=f（x）﹣kx=exsinx﹣kx，即g（x）≥0恒成立，

而g′（x）=ex（sinx+cosx）﹣k，

令h（x）=ex（sinx+cosx）⇒h′（x）=ex（sinx+cosx）+ex（cosx﹣sinx）=2excosx，

∵在上单调递增，，

当k≤1时，g′（x）≥0，g（x）在上单调递增，g（x）≥g（0）=0，符合题意；

当时，g′（x）≤0⇒g（x）在上单调递减，g（x）≤g（0）=0，与题意不合；

当时，g′（x）为一个单调递增的函数，而，

由零点存在性定理，必存在一个零点x0，使得g′（x0）=0，

当x∈[0，x0）时，g′（x）≤0，从而g（x）在x∈[0，x0）上单调递减，

从而g（x）≤g（0）=0，与题意不合，

综上所述：k的取值范围为（﹣∞，1]

四.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于N，过N作圆O的切线交BC于D，OD交圆O于点M．

（Ⅰ）证明：OD∥AC；

（Ⅱ）证明： +1．

【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】（Ⅰ）证明△OND与△OBD全等，可知BN⊥OD，知∠ABN=∠BDO=∠ODN，所以∠TNA=∠ODN，即可证明：OD∥AC；

（Ⅱ）利用切割线定理证明： +1．

【解答】证明：（Ⅰ）取DN延长线上一点T，连接ON，BN．

因为DN为圆O的切线，

所以∠TNA=∠ABN，ON⊥DN．

又∠ABC=90°，ON=OB，OD=OD，

所以△OND与△OBD全等，可知BN⊥OD，

知∠ABN=∠BDO=∠ODN，

所以∠TNA=∠ODN，

所以OD∥AC．…

（Ⅱ）由（Ⅰ）知2OD=AC，BC=2DN，

又CB2=CN•CA，所以4DN2=CN•2OD，

即4DN2=CN•（2DM+AB），

又DN2=DM•（DM+AB），

所以4DM•（DM+AB）=CN•（2DM+AB），

即．…

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系中，过点P（3，1）的直线l的参数方程为（t为参数，α为l的倾斜角）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：ρ=4cosθ．

（Ⅰ）若直线l与曲线C1有且仅有一个公共点，求直线l的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C1交于不同两点C、D，与C2交于不同两点A、B，这四点从左至右依次为B、D、C、A，求|AC|﹣|BD|的取值范围．

【考点】参数方程化成普通方程．

【分析】（Ⅰ）曲线C1：ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得C1的直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数，α为l的倾斜角），消去参数t化为普通方程，利用直线与圆相切的充要条件可得：tanα=0或．即可得出直线l的直角坐标方程，化为极坐标方程．

（Ⅱ）由直线l与曲线C1交于不同两点C、D，由（1）可知．令两点C、D对应参数分别为t1、t2，联立l与C1得，t2+（4cosα+2sinα）t+4=0，令两点A、B对应参数分别为t3、t4，联立l与C2得，t2+（2cosα+2sinα）t﹣2=0，利用根与系数的关系可得：|AC|﹣|BD|=（t3﹣t1）﹣（t2﹣t4）=（t3+t4）﹣（t1+t2）即可得出．

【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，

代入可得C1的直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，圆心为（1，0），半径为1，

直线l的参数方程为（t为参数，α为l的倾斜角），化为普通方程为：y﹣1=tanα（x﹣3）．

由题l与C1相切，则，

解得，tanα=0或．

∴直线l的普通方程为：y=1或4x﹣3y﹣9=0，

∴直线l的极坐标方程为：ρsinθ=1或4ρcosθ﹣3ρsinθ﹣9=0．

（Ⅱ）∵直线l与曲线C1交于不同两点C、D，由（1）可知．

令两点C、D对应参数分别为t1、t2，联立l与C1得，（2+tcosα）2+（1+tsinα）2=1，

即，t2+（4cosα+2sinα）t+4=0，

∴t1+t2=﹣（4cosα+2sinα），

又C2的直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2=4，

令两点A、B对应参数分别为t3、t4，联立l与C2得，（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=4，

即，t2+（2cosα+2sinα）t﹣2=0，可得t3+t4=﹣（2cosα+2sinα），

而|AC|﹣|BD|=（t3﹣t1）﹣（t2﹣t4）=（t3+t4）﹣（t1+t2）=2cosα，

∴|AC|﹣|BD|的取值范围是．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|ax+1|，a∈R．

（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）+f（x﹣2）≥1恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若f（）+f（）+f（）=4，求f（）+f（）+f（）的最小值．

【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．

【分析】（Ⅰ）化简f（x）+f（x﹣2）=|ax+1|+|2a﹣ax﹣1|，由绝对值不等式可得f（x）+f（x﹣2）的最小值为2a，可得|2a|≥1，解得a的范围；

（Ⅱ）化简条件可得|a|+|b|+|c|=4，化简要求的式子为a2+b2+c2，由基本不等式可得所求最小值．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得f（x）+f（x﹣2）=|ax+1|+|a（x﹣2）+1|

=|ax+1|+|2a﹣ax﹣1|≥|ax+1+2a﹣ax﹣1|=|2a|，

可见，|2a|≥1，即或；

（Ⅱ）由知|a|+|b|+|c|=4，

而=a2+b2+c2，

因为16=（|a|+|b|+|c|）2=a2+b2+c2+2|ab|+2|ac|+2|bc|，

又2|ab|≤a2+b2，2|ac|≤a2+c2，2|cb|≤c2+b2，

所以，16≤3（a2+b2+c2），即，等号成立当且仅当a=b=c．

因此，的最小值是．

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