学习目标
1.了解排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．
知识点一 排列的定义
从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．
思考 让你安排这项活动需要分几步？
答案 分两步．第1步确定上午的同学；
第2步确定下午的同学．
梳理 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
知识点二 排列数及排列数公式
思考 从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？
答案 4×3×2＝24(个)．
梳理
1．a，b，c与b，a，c是同一个排列．( × )
2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( √ )
3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( × )
4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( × )
类型一 排列的概念
例1 判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信．
考点 排列的概念
题点 排列的判断
解 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．
反思与感悟 判断一个具体问题是否为排列问题的思路
跟踪训练1 判断下列问题是否为排列问题．
(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？
(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋
＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程
－
＝1?
(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
考点 排列的概念
题点 排列的判断
解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．
(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．
若方程＋
＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；
在双曲线－
＝1中，不管a>b还是a<b，方程
－
＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．
(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．
类型二 排列的列举问题
例2 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
考点 排列的概念
题点 列举所有排列
解 (1)由题意作“树状图”，如下．
故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．
(2)由题意作“树状图”，如下．
故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.
反思与感悟 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．
跟踪训练2 写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法．
考点 排列的概念
题点 列举所有排列
解 由题意作“树状图”，如下，
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.
类型三 排列数公式及应用
例3 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且，n<55)；
(2)计算；
(3)求证：A－A
＝mA
.
考点 排列数公式
题点 利用排列数公式计算
(1)解 因为55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)元素，
所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A.
(2)解
＝
＝＝1.
(3)证明 方法一 因为A－A
＝－
＝·
＝·
＝m·＝mA
，
所以A－A
＝mA
.
方法二 A表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有A
个．
含有a1的可这样进行排列：
先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素排在剩下的m－1个位置上，有A种排法．
故A＝mA
＋A
，
所以mA＝A
－A
.
反思与感悟 排列数公式的形式及选择方法
排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．
跟踪训练3 不等式A<6A
的解集为( )
A．[2,8] B．[2,6] C．(7,12) D．{8}
考点 排列数公式
题点 解含有排列数的方程或不等式
答案 D
解析 由A<6A
，得
<6×
，
化简得x2－19x＋84<0，
解得7<x<12，①
又所以2≤x≤8，②
由①②及x∈N*，得x＝8.
1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( )
A．1 B．3 C．2 D．4
考点 排列的概念
题点 排列的判断
答案 C
解析 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．
2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )
A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B．甲乙，丙乙、丙甲
C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D．甲乙，甲丙，乙丙
考点 排列的概念
题点 列举所有排列
答案 C
3．(x－3)(x－4)(x－5)…(x－12)(x－13)，x∈N*，x>13可表示为( )
A．A B．A
C．A
D．A
考点 排列数公式
题点 利用排列数公式计算
答案 B
解析 从(x－3)，(x－4)，…到(x－13)共(x－3)－(x－13)＋1＝11(个)数，所以根据排列数公式知(x－3)(x－4)(x－5)…(x－12)(x－13)＝A.
4．从5本不同的书中选2本送给2名同学，每人1本，不同的送法种数为( )
A．5 B．10 C．15 D．20
考点 排列的应用
题点 无限制条件的排列问题
答案 D
5．解方程A＝140A
.
考点 排列数公式
题点 解含有排列数的方程或不等式
解 根据题意，原方程等价于
即
整理得4x2－35x＋69＝0(x≥3，x∈N*)，
解得x＝3.
1．判断一个问题是否是排列问题的思路
排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．这就说，在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．
2．关于排列数的两个公式
(1)排列数的第一个公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可．
(2)排列数的第二个公式A＝
用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，m∈N*，m≤n”的运用．
一、选择题
1．A＝9×10×11×12，则m等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
考点 排列数公式
题点 利用排列数公式计算
答案 B
2．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a，b，c，d中选出3个字母；④从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点 排列的概念
题点 排列的判断
答案 B
解析 由排列的定义知①④是排列问题．
3．与A·A
不相等的是( )
A．A B．81A
C．10A
D．A
考点 排列数公式
题点 利用排列数公式证明
答案 B
解析 A·A
＝10×9×8×7！＝A
＝10A
＝A
，81A
＝9A
≠A
，故选B.
4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )
A．6 B．4 C．8 D．10
考点 排列的概念
题点 列举所有排列
答案 B
解析 列树状图如下：
丙甲乙乙甲 乙甲丙丙甲
故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种．
5．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的不同结果有( )
A．6个 B．10个 C．12个 D．16个
考点 排列的应用
题点 无限制条件的排列问题
答案 C
解析 不同结果有A＝4×3＝12(个)．
6．下列各式中与排列数A相等的是( )
A. B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C. D．A
A
考点 排列数公式
题点 利用排列数公式证明
答案 D
解析 A＝
，而A
A
＝n×
＝
，
∴AA
＝A
.
7．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( )
A．6 B．9 C．12 D．24
考点 排列的概念
题点 列举所有排列
答案 B
解析 这四位数列举为如下：
1 012,1 021,1 102,1 120,1 201，
1 210,2 011,2 101,2 110，共9个．
二、填空题
8．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________________．
考点 排列的概念
题点 列举所有排列
答案 12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed
解析 画出树状图如下：
可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
9．若集合P＝{x|x＝A，m∈N*}，则集合P中共有________个元素．
考点 排列数公式
题点 利用排列数公式计算
答案 3
解析 由题意知，m＝1,2,3,4，由A＝A
，故集合P中共有3个元素．
10．满足不等式>12的n的最小值为________．
考点 排列数公式
题点 解含有排列数的方程或不等式
答案 10
解析 ＝
＝
>12，得(n－5)(n－6)>12，
解得 n>9或n<2(舍去)．∴最小正整数n的值为10.
11．2017北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为________．
考点 排列的应用
题点 无限制条件的排列问题
答案 60
解析 由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．
12．由1,4,5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，则x＝________.
考点 排列的应用
题点 无限制条件的排列问题
答案 2
解析 当x≠0时，有A＝24(个)四位数，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＋x，
故24(1＋4＋5＋x)＝288，解得x＝2；
当x＝0时，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x＝0不符合题意，
综上可知，x＝2.
三、解答题
13．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？
考点 排列的应用
题点 无限制条件的排列问题
解 由题意可得A－A
＝58，
即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58，
解得n＝14.
所以原有车站14个，现有车站16个．
四、探究与拓展
14．若S＝A＋A
＋A
＋A
＋…＋A
，则S的个位数字是( )
A．8 B．5 C．3 D．0
考点 排列数公式
题点 利用排列数公式计算
答案 C
解析 1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120，而6！＝6×5！，7！＝7×6×5！，…，100！＝100×99×…×6×5！，所以从5！开始到100！，个位数字均为0，所以S的个位数字为3.
15．京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1 318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？
考点 排列的应用
题点 无限制条件的排列问题
解 对于两个火车站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站．因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列数A＝21×20＝420(种)．所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/cf3105c0b6360b4c2e3f5727a5e9856a571226f5.html
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