河北省承德市联校2018届高三上学期期末考试数学理试题 含答案 精品

承德市联校2017～2018学年上学年

高三数学期末考试卷（理科）

考生注意：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟.

2.请将各题答案填在答题卡上.

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合,，则（ ）

A． B． C． D.

2.已知,为虚数单位，若的实部与虚部互为相反数，则（）

A．-3 B．-1 C． D．

3.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位；）的数据，绘制了下面的折线图。

已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是

A．最低气温与最高气温为正相关

B．10月的最高气温不低于5月的最高气温

C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月

D．最低气温低于的月份有4个

4.已知正项等比数例的前项和为，,则（ ）

A．64 B．32 C.16 D．8

5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）

A．平方尺 B．平方尺 C. 平方尺 D．平方尺

6.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）

A． 5 B． 6 C. 7 D．8

7.将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则在上的单调递增区间是（ ）

A． B． C. D．

8.设不等式组表示的平面区域为，若直线上存在区城内的点，则的取值范围是（ ）

A． B． C. D．

9.函数的部分图像大致是（ ）

A．B．C. D．

10.某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）

A．

B．

C.

D．

11.已知点在双曲线上，，分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，若为等腰三角形，且顶角为，则（ ）

A． B．2 C. 3 D．

12.已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（ ）

A． B． C. D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.若向量与的夹角为，，，则 ．

14.若,则 ．

15.设等差数列满足，,则的最大值为 ．

16.已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若，是以点为圆

心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是 ．

三、解答题 :本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（一）必考题：共60分.

17.在中，角.，所对的边分别为,，,且.

（1）求B；

（2）若，，，求的面积.

18.唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺十分复杂，它的制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立。某陶瓷厂准备仿制甲、乙、丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为，，.

（1）求第一次烧制后甲、乙、丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；

（2）经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为，求随机变量的数学期望.

19.如图，在三棱台中，，分别是，的中点，平面,是等边三角形，, ,.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

20.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过点，

（1）求椭圆的方程；

（2）设不与坐标轴平行的直线交椭圆于两点，，记直线在轴上的截距为，求的最大值.

21.设函数，.

（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；

（2）设，点是曲线与的一个交点，且这两曲线在点处的切线互相垂直，证明：存在唯一的实数满足题意，且.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4—4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数程为（为参数），设直线与的交点为,当变化时点的轨迹为曲线.

（1）求出曲线的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点为曲线的动点，求点到直线的距离的最小值.

23.[选修4—5：不等式选讲]

已知函数，.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式的解集非空，求的取值范围.

承德市联校2017～2018学年上学年

高三数学期末考试卷参考答案（理科）

一、选择题

1-5: ACDBC 6-10: ABDDC 11、12：DA

二、填空题

13. 5 14. -4 15. 512 16.

三、解答题

17.解：（1）因为.

所以，即，

所以.

（2）由，得，

化简得，解得，或(舍去），

所以.

18.解:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，

（1）设事件表示第一次烧制后恰好有一件合格，则

（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，

所以，

故.

解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，

则，

所以，

，

，

，

于是，.

19. 解：（1）证明：因为, ,为棱的中点，

所以,.

所以四边形为平行四边形，从而.

又平面，平面，

所以平面.

因为是的中位线，所以，

同理可证，平面.

因为，所以平面平面.

又平面，所以平面.

（2）以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，.,，则，

设平面的一个法向量，则

即

取，得.

同理，设平面的一个法向量，

又，，

由，得

取，得.

所以，

即二面角的正弦值为.

20.解：（1）因为，所以椭圆的方程为，

把点的坐标代入椭圆的方程，得，

所以，，椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为，，，

联立方程组得，消去得，

由，得，

所以，.

由，得.

令，则，所以，

，即，

当且仅当，即时，上式取等号.

此时，，满足，

所以的最大值为.

21.（1）解：由题意知，所以，

由题意，，即对恒成立，

又当时，，所以.

（2）证明：因为，,

所以，即.①

又点是曲线与的一个交点，所以.②

由①②消去，得.

（ⅰ）当时，因为.所以，且，此与②式矛盾.

所以在上没有适合题意.

（ⅱ）当时，设，.

则，即函数在上单调递增，

所以函数在上至多有一个零点.

因为，，

且的图象在上不间断，所以函数在有唯一零点.

即只有唯一的，使得成立，且.

综上所述，存在唯一的,且.

22.解：（1）将，的参数方程转化为普通方程

，①

，②

①×②消可得：，

因为，所以，所以的普通方程为.

（2）直线的直角坐标方程为：.

由（1)知曲线与直线无公共点，

由于的参数方程为（为参数，，），

所以曲线上的点到直线的距离为

，

所以当时，的最小值为.

23.解:（1），，

当时，无解；

当时，由，得；

当时，恒成立.

所以的解集为.

（2）由有解，得有解，

而，

所以，，

解得.

所以的取值范围是.

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