高中数学人教A版高一必修四课下能力提升：（十二）

课下能力提升(十二)

[学业水平达标练]

题组1　三角函数在物理中的应用

1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝5sind8102505b8bc84e658dcee075a731967.png，则当t＝ea5ec31c1d1a5d9d530907d018517474.png时，电流I为(　　)

A．5 B.33773559c5e642b3ea04e179079c8dfc.png C．2 D．－5

2．如图是一个单摆的振动图象，根据图象回答下面问题：

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(1)单摆的振幅为________；

(2)振动频率为________．

题组2　三角函数在实际问题中的应用

3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin f4ff3b4d5bae99bd38f70fca472b098d.png(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？(　　)

A．[0，5] B．[5，10]

C．[10，15] D．[15，20]

4．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　　)

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A．ω＝f21e790f609448f6860475d4c604ebe5.png，A＝3 B．ω＝adac1fdd4cc7e62220937e858c6cbbce.png，A＝3

C．ω＝f21e790f609448f6860475d4c604ebe5.png，A＝5 D．ω＝adac1fdd4cc7e62220937e858c6cbbce.png，A＝5

5．某城市一年中12个月的平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acos2e397c13b2e27d2982d0ec29ed1c450c.png(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________ ℃.

6．如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．

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(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)

(2)估计当年3月1日动物种群数量．

题组3　建立三角函数模型解决实际问题

7．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时的时间t与水深y的关系：

经长期观察，函数y＝f(t)的图象可近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下列函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的是(　　)

A．y＝12＋3sin b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.pngt，t∈[0，24]

B．y＝12＋3sin903bbb9ded21178c1a9976706323ed5f.png，t∈[0，24]

C．y＝12＋3sin e4ca3275ee4385ac97d838fdbe9e589a.pngt，t∈[0，24]

D．y＝12＋3sin65abe6bdd7a900dcc30a2f43dd7b0c8d.png，t∈[0，24]

[能力提升综合练]

1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png周期后，乙的位置将移至(　　)

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A．甲 B．乙

C．丙 D．丁

2．如图是函数y＝sin x(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是(　　)

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3．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，－1553867a52c684e18d473467563ea33b.png)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)

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4．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧ce9af84080e7849ddfe0494ef94506aa.png的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)

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5．一根长acm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s＝3cos25f2a34c324ab3ace91ba8967c71ca93.png，t∈388f67c99eada52e4dd3ff6eb1c3355d.png，则小球摆动的周期为________．

6．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B2d55bd832e6bf35d58f32a81ebdb04e9.png的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．

7．如图所示，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S(3，29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．

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8．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.

(1)若从10月10日0：00开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；

(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)

(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?

答 案

[学业水平达标练]

1. 解析：选B　直接将t＝ea5ec31c1d1a5d9d530907d018517474.png代入计算即可．当t＝ea5ec31c1d1a5d9d530907d018517474.png时，I＝5sin8779042e2e2a26ae11dd60826ed37a86.png＝5sin 40e0e164a635c508463915d501d1f617.png＝33773559c5e642b3ea04e179079c8dfc.png.故选B.

2. 解析：由题中图象，可知(1)单摆的振幅是1 cm；(2)单摆的振动频率是1.25 Hz.

答案：(1)1 cm　(2)1.25 Hz

3. 解析：选C　由2kπ－cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png≤f4ff3b4d5bae99bd38f70fca472b098d.png≤2kπ＋cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.

4. 解析：选A　周期T＝15秒，ω＝bc925b9f5636369aa0e5f5a11ac30d01.png＝f21e790f609448f6860475d4c604ebe5.png.由图可知，水轮最高点距离水面5米，故A＋2＝5，即A＝3.

5. 解析：根据题意得28＝a＋A，18＝a＋Acos6586e14da04fb560358a53c3218ee49d.png＝a－A，

解得a＝23，A＝5，

所以y＝23＋5cos2e397c13b2e27d2982d0ec29ed1c450c.png，

令x＝10，得y＝23＋5cos13830e0acde1dc3e7bc999c32b380b61.png

＝23＋5cos 6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png＝20.5.

答案：20.5

6. 解：(1)设种群数量y关于t的解析式为

y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，

则80978e86d2d7e7b8ec435ee83940776f.png解得A＝100，b＝800.

又周期T＝2×(6－0)＝12，

∴ω＝bc925b9f5636369aa0e5f5a11ac30d01.png＝b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png，

∴y＝100sin13952d92786b286551640ecf16161251.png＋800.

又当t＝6时，y＝900，

∴900＝100sin9adb770de0d0605858368fb56ce72f73.png＋800，

∴sin(π＋φ)＝1，

∴sin φ＝－1，∴取φ＝－cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png，

∴y＝100sin0d58207ef8171956b9460bccc860fdf9.png＋800.

(2)当t＝2时，y＝100sinb69bb75bdf5103ad94a491e366b2447a.png＋800＝750，

即当年3月1日动物种群数量约是750.

7. 解析：选A　y＝f(t)的关系对应的“散点图”如下：

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由“散点图”可知，k＝12，A＝3.

周期T＝12，所以ω＝b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png.

又t＝0时，y＝12，t＝3时，y≈15.

所以φ＝0.因此，y＝12＋3sin b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.pngt，故选A.

[能力提升综合练]

1. 解析：选C　该题目考查了最值与周期间的关系：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，故选C.

2. 解析：选A　当x∈ffb837630c16199b79d41df2e4472ca2.png时，f(x)＝π－2x；当x∈eb286de9ebd39bcdaf314dd7c0754371.png时，f(x)＝2x－π，故选A.

3. 解析：选C　∵P0(1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，－1553867a52c684e18d473467563ea33b.png)，∴∠P0Ox＝6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png.

按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png.

此时P点纵坐标为2sin3d067f49760d7605246ae93877ae755c.png，∴d＝2823549b604d18500e0f94ff7039da603.png.

当t＝0时，d＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，排除A、D；当t＝6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png时，d＝0，排除B.

4. 解析：选C　令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，

则l＝θ，sin cbf08334917b4197ca7a29dbf48107de.png＝0de14e0aed75a8dbb5d64ea6a20a721e.png，

∴d＝2sin cbf08334917b4197ca7a29dbf48107de.png＝2sin 0aa20e4d062320f46d3d71b3cc6b3e3d.png，

即d＝f(l)＝2sin 0aa20e4d062320f46d3d71b3cc6b3e3d.png(0≤l≤2π)，它的图象为C.

5. 解析：T＝d4d9f170b2f5f20654ab3a4401304a64.png＝caa19d87cf689ff8290cd98b00802721.png.

答案：caa19d87cf689ff8290cd98b00802721.png

6. 解析：由条件可知，B＝7，A＝9－7＝2.

又T＝2×(9－3)＝12，∴ω＝796a00dd449800eba5c333a6e64bede1.png＝b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png.

∵3月份达到最高价，∴3×b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png＋φ＝cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png，∴φ＝0.

所以f(x)的解析式为f(x)＝2sin b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.pngx＋7.

答案：f(x)＝2sin b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.pngx＋7(1≤x≤12，x∈N)

7. 解：依题意，有A＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，93067bcc56fd581707a5079f0476c2f4.png＝3，即T＝12.

又T＝3a0e0b4365a970a6cf10b135e8b247f0.png，∴ω＝b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png.

∴y＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngsin b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.pngx，x∈[0，4]．

∴当x＝4时，y＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngsin 6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png＝3.∴M(4，3)．

又P(8，0)，

∴MP＝8114914fa88770f0e0960561d932eac2.png＝75ab6be6caadb37019dc19f92326af2c.png＝5(km)．

即M、P两点间的距离为5 km.

8. 解：(1)依题意知T＝3a0e0b4365a970a6cf10b135e8b247f0.png＝12，

故ω＝b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png，h＝2f6e3d566d8132bf35956feb9013467e.png＝12.2，

A＝16－12.2＝3.8，

所以d＝3.8sin13952d92786b286551640ecf16161251.png＋12.2；

又因为t＝4时，d＝16，

所以sin65ebf021fce617d95dabd9d2ab70894c.png＝1，

所以φ＝－b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png，

所以d＝3.8sin28bb719ca8a3013b9a3010d83d527964.png＋12.2.

(2)t＝17时，d＝3.8sin401def8fafbee8927567f48d9ad6a5a0.png＋12.2

＝3.8sin 6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png＋12.2≈15.5(m)．

(3)令3.8sin28bb719ca8a3013b9a3010d83d527964.png＋12.2<10.3，

有sin28bb719ca8a3013b9a3010d83d527964.png<－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，

因此2kπ＋0993cefd8ea7c93d4e0bcef4184742f4.png<b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.pngt－b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png<2kπ＋4d4cfa7ab6f90e479a8cc2bcc98c8b41.png(k∈Z)，

所以2kπ＋82be1288fab1939c79019c6c8fd80151.png<b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.pngt<2kπ＋2π，k∈Z，

所以12k＋8<t<12k＋12.

令k＝0，得t∈(8，12)；

令k＝1，得t∈(20，24)．

故这一天共有8 h水深低于10.3 m.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/cecab9ce0708763231126edb6f1aff00bed5702f.html