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江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市2015--2016学年度第一学期
高三期中抽测数学试题
数学Ⅰ
参考公式：1.样本数据的方差
其中
2.锥体的体积公式：其中S是锥体的底面积，h是高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合
则
▲ ．
2.若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数
的值为 ▲ ．
3．数据10，6，8，5，6的方差 ▲ ．
4．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1， 2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为，则
为整数的概率是 ▲ ．
5．已知双曲线的一条渐近线方程为
则
▲ ．
6．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 ▲ ．
7．底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为 ▲ .
8．在等比数列中，若
则
▲
9．已知则向量
的夹角为 ▲ ．
10.直线被圆
截得的弦长为2，则实数
的值是 ▲ ．
11．将函数则不等式
的解集为 ▲ ．
12．将函数的图象向左平移
个单位，若所得图象过点
，则
的最小值为 ▲ ．
13．在中，
角
的平分线与
边上的中线交于点
，若
则
的值为 ▲ ．
14．已知函数为自然对数的底数），
若存在实数
，使得
且
则实数
的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）
在锐角△中，角
所对的边分别为
且
（1） 求角的大小；
（2） 若为
的中点，求线段
的长.
16. （本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，
与
交于点
且平面
平面
为棱
上一点.
（1） 求证：
（2） 若求证：
平面
17.（本小题满分14分）
已知数列满足
，且
（1） 若求数列
的前
项和
（2） 若求数列
的通项公式
18. （本小题满分16分）
如图，墙上有一壁画，最高点离地面4米，最低点
离地面2米，观察者从距离墙
米，离地面高
米的
处观赏该壁画，设观赏视角
（1）若问：观察者离墙多远时，视角
最大？
（2）若
当
变化时，求
的取值范围.
19. （本小题满分16分）
如图，椭圆的上、下顶点分别为
，右焦点为
点
在椭圆
上，且
（1） 若点坐标为
求椭圆
的方程；
（2） 延长交椭圆
于点
，若直线
的斜率是直线
的斜率的2倍，求椭圆
的离心率；
（3） 求证：存在椭圆，使直线
平分线段
20.（本小题满分16分）
已知函数
（1） 求证：函数是偶函数；
（2） 当求函数
在
上的最大值和最小值；
（3） 若对于任意的实数恒有
求实数
的取值范围.
徐州市2015～2016学年度高三第一学期期中质量抽测
数学Ⅱ(附加题)
四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，
是⊙
的直径，
与⊙
相切于点
为线段
上一点，连结
分别交⊙
于
两点，连结
并延长交
于点
若
求线段
的长.
B.[选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵向量
，若
求实数
的值.
C.[选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知直线的参数方程为
为参数），以坐标原点为极点，
轴的非半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
若直线
与曲线
交于
两点，求线段
的长.
【选做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.（本小题满分10分）
已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动 .
（1） 求选出的4名选手中恰好有1名女生的选派方法数；
（2） 记X为选出的4名选手的人数，求X的概率分布和数学期望.
23. （本小题满分10分）
已知抛物线过点
，直线
过点
与抛物线
交于
两点，点
关于
轴的对称点为
，连接
.
（1） 求抛物线标准方程；
（2） 问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
徐州市2015-2016学年度高三年级摸底考试
数学I参考答案及评分标准
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．
1． 2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．4 9． 10．
11．
12．
13．
14．
二．解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．
请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15．（1）由正弦定理，得， ……………………………2分
因为b＝4，，所以
， ……………………………4分
又，所以
． ………………………………6分
所以a＝． ………………………………8分
又因为，所以
，从而
，…………………10分
因为为
的中点，所以
＝
＝
．
在由余弦定理，得
，
即，所以，
．…………14分
16．（1）因为平面底面
，平面
底面
，
，
平面
，所以
平面
，又因为
平面
，
所以．……………………6分
（2）因为，
，
与
交于
，所以
，
又因为，所以
，所以
，又因为
平面
，
平面
，所以
平面
．……………………14分
17．（1）当时，
，即
，
所以，数列是等差数列．……………………2分
设数列公差为
，则
解得
……………4分
所以，．…………6分
（2）由题意，，即
，所以
．……………8分
又，所以
，由
，
得，
所以，数列是以
为首项，
为公差的等差数列．
所以，……………………10分
当时，有
，
于是，，
，
…
，
，
叠加得，，
所以，……………………13分
又当时，
也适合．
所以数列
的通项公式为
．…………………14分
18．（1）当时，过
作
的垂线，垂足为
，
则，且
，
由已知观察者离墙米，且
，
则，…………2分
所以，
，
当且仅当时，取“
”．…………………6分
又因为在
上单调增，所以，当观察者离墙
米时，视角
最大．…8分
（2）由题意得，，又
，
所以，……………………10分
所以，
当时，
，所以
，
即，解得
或
，……………………14分
又因为，所以
，
所以的取值范围为
．……………………16分
19．（1）因为点，所以
，
又因为AFOP，
，
所以，，所以
，……………………………………2分
又点在椭圆上，所以
，
解之得．故椭圆方程为
．……………………………4分
（2）由题意，直线AF的方程为，与椭圆
方程
联立消去，得
，
解得或
，所以
点的坐标为
，……………7分
所以直线的斜率为
，
由题意得，，所以
，………………9分
所以椭圆的离心率．………………10分
（3）因为线段OP垂直AF，则直线OP的方程为，
与直线AF的方程联立，解得两直线交点的坐标(
)．
因为线段OP被直线AF平分，所以P点坐标为()，………………12分
由点P在椭圆上，得，
又,设
，得
． (*)……………14分
令，
，所以函数
单调增，又
，
，所以，
在区间
上有解，即(*)式方程有解，
故存在椭圆，使线段OP被直线AF垂直平分．…………………………16分
20．（1）函数的定义域为R，
因为，
所以函数是偶函数． ……………………………………3分
（2）当时，
，则
，
令，则
，所以
是增函数，
又，所以
，所以
在[0，π]上是增函数，
又函数是偶函数，
故函数在[-π，π]上的最大值是π2-2，最小值为0．…………………………8分
（3），
令，则
，
①当时，
，所以
是增函数，
又，所以
，所以
在[0，+∞)上是增函数，
而，
是偶函数，
故恒成立．………………………………………12分
②当时，
，所以
是减函数，
又，所以
，所以
在(0，+∞)上是减函数，
而，
是偶函数，所以
，与
矛盾，故舍去．………14分
③当时，必存在唯一
∈(0，π)，使得
，
因为在[0，π]上是增函数，
所以当x∈(0，x0)时，，即
在(0，x0)上是减函数，
又，所以当x∈(0，x0)时，
，，即
在(0，x0)上是减函数，
而，所以当x∈(0，x0)时，
，与
矛盾，故舍去．
综上，实数a的取值范围是[，+∞)． ………………………………………16分
江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市2015--2016学年度第一学期高三期中抽测数学试题数学Ⅱ参考答案及评分标准
21．【选做题】．
A．因为,所以
,又因为
，
则，又
，所以
，
， ……………………4分
连结（，则
，
，
，
所以，所以
，
所以四点共圆． ……………………8分
所以，所以
，
． ………10分
B．，
， ……………………4分
由得
解得
． ……………………10分
C．由，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x， 标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2．
直线l的方程为化成普通方程为x－y＋1＝0． ……………………4分
圆心到直线l的距离为，
所求弦长． ……………………10分
D．要证，只需证
，
只需证， ……………………6分
而，
从而原不等式成立． ……………………10分
22．（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为种．…3分
（2）的可能取值为
． ………………5分
，
，
，
． ………………8分
的概率分布为：
． ………………10分
23．（1）将点代入抛物线C的方程得，
，
所以，抛物线C的标准方程为．……………………4分
（2）设直线l的方程为，又设
，则
，
由得
，则
，
所以，
于是直线的方程为
， ……………………8分
所以，，
当时，
，所以直线
过定点
． ……………………10分
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7254c858b42acfc789eb172ded630b1c59ee9bbd.html
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