《极坐标与直角坐标的互化》教学设计
兰州第五十一中学 王馨
一、教材分析
《极坐标与直角坐标的互化》是高中新教材人教版选修4-4第一讲第二节的内容，是在学生已经学习过平面极坐标系的前提下，通过生活实例、学生之间相互讨论进行探究，在老师的引导下自主完成极坐标与直角坐标的互化的公式，并进行极坐标与直角坐标的互化.为后面学习简单曲线的极坐标方程及参数方程奠定基础.
二、学情分析
通过前面对极坐标的学习，学生已经对极坐标系以及点的极坐标表示有了了解.用坐标表示方位的思想已经普遍存在于日常生活中，所以学生对于极坐标与直角坐标的互化学习应该很容易接受.
三、教学目标分析
1.知识与技能：能够写出极坐标平面内点的极坐标的表示；学生自己探究出平面内一点极坐标与平面直角坐标的互化公式，能够利用互划公式解决相关习题.
2.过程与方法：通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法；通过探究活动培养学生合作、观察、分析、比较和归纳能力.
3.情感态度与价值观：通过数学家的浪漫故事引入，提升学生的学习兴趣，通过生活中的具体事例引入极坐标与平面直角坐标的互化，使学生认识极坐标与平面直角坐标的互化来描述实际问题的方便性及实用性，体验数学的实际应用价值.通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦.
四、教学重难点：
重点：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．
难点：实现极坐标和直角坐标之间的互化．
五、教学方法：
情境引入法，体会数学之美
实际问题设问，贴近生活
小组合作研究法，解决相关问题
谈话式教学法，老师提问学生回答
六、教学基本流程
七、教学过程
1、复习引入：
情境1：百岁山矿泉水广告
情境2： 17 世纪著名的法国哲数学家笛卡尔，美丽的瑞典公主拉夏贝尔的爱情故事引出心形曲线.
师生活动：讲述百岁山矿泉水广告里含有的故事，从而引出心型曲线，如果有学生知道就让学生来讲.
设计意图：情境引入，引起学生的兴趣，渗透数学史.
情境3：
每一年的四月都会在安宁区仁寿山举行“桃花节”,会吸引来自于各地的游客前去观赏，某天，一旅客到达仁寿山顶入口处想去八卦台和寿台游览，但不认识路，刚巧遇到了两个当地人，分别询问了八卦台和寿仙台的位置.
甲回答：从入口处向东走米，再向北走200米就到八卦台了.
乙回答：从入口处向东偏北方向走400米就到寿仙台了.
请问(1)甲、乙两人分别用到了什么数学思想回答旅客的问路？
(2)我们如何能知道这名从入口出发游览两处景点后再回到入口共走了多少路程呢？
师生互动：分别请两名同学在黑板上画出直角坐标系下和极坐标系下甲乙两人为游客所指的路，从而引出课题极坐标系和直角坐标系下的坐标互划问题.
设计意图：通过现实生活中的实际问题引入问题，引发学生思并引入课题.
2、新课探究：
探究问题1：
（1）极坐标与直角坐标互化时需要满足什么条件？
（2）可以有几种方案解决上述问题？请你给出具体的解题过程.
（3）请你总结出第一象限点的直角坐标和极坐标的互划公式.
结论：直角坐标系的原点0为极点，
轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为
和
，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
{ {
说明（1）上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
（2）通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，
≤
≤
.
（3）互化公式的三个前提条件
（1）极点与直角坐标系的原点重合;
（2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
（3）两种坐标系的单位长度相同.
设计意图：通过引例中的问题的探究让同学们感受到直角坐标和极坐标的不同，具体解决问题中需要统一形式，从而引发学生研究解决问题的兴趣，小组合作学习提高学习效率，能很好的提升学习效果，解决问题的过程中培养和提高学生的发现能力和总结归纳能力.
探究问题2：上面推导出来的公式是否适合平面内任意一个位置的点呢？
师生互动：教师提问，学生小组讨论回答.
设计意图：利用类比的思想将公式推广平面内任意的点.在活动中培养学生小组互动探究学习的合作精神.
3.举例应用：
例1、【课本P10页例2题】把M的极坐标化成直角坐标.
例2、【课本P11页例3】已知M的直角坐标化成极坐标.
师生互动：学生板演，教师针对问题讲评.
设计意图：本环节设计帮助学生更好的理解点的极坐标和直角坐标互划公式，在具体的操作中体会数形结合的思想、在板演中规范学生的答题格式.
4.课堂练习：
课本练习4、5
师生互动：学生完成课本练习并回答，教师做出相应的点评.
设计意图：学生练习，熟悉并记忆公式.
5.拓展提高：
在极坐标系中,已知三点
.判断
三点是否在一条直线上.
师生互动：学生完成并回答，教师做出相应的点评.
设计意图：学生练习，树立一题多解的解题模式.
6.当堂小结：
（1）极坐标与直角坐标互换的前提条件；
（2）互换的公式；（3）互换的基本方法.
7.课后作业：
（1）课本P12页习题1.2 第4、5题
（2）=2表示什么图形？
（3）课后思考题：我们之前已经学习了圆的直角坐标方程，圆有极坐标方程么？是什么样的呢？
7.板书设计：
一、本节课能够体现先进的教育教学思想、教育观念。
一是关于学生的观念。本节课前对学生的任职情况做出了准确的分析，课程设计允许学生可以用自己的方法学习数学。教师引导学生用适当的方法理解数学问题，同时，教师也应当允许学生用自己的方法去探索和解决问题。有的方法从成人的角度看是好的，而不同的学生可能有不同的感受。可以引导学生对不同的方法加以比较，但不应把某一种方法强加给学生作为必须使用的方法。
二是关于教学的观念。 （一）让学生在活动中学习。学生的数学学习过程不只是接受现成的数学知识，而是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程。教师十分关注学生的学习过程，向学生展示了知识的发生发展过程。学生的亲身体验和感知有利于获得感性经验，从而实现其认识的内化，促成理解力和判断力的发展，学生正是通过建模问题的解决，获得关于客体的表象，进而上升为理性认识。 （二）让学生在合作交流中学习。教学中学生之间的互动提高了学生的学业成绩和社交能力，改善了人际关系，形成良好的学习品质。在课堂教学中，增进了教师与学生、学生与学生之间的相互作用，讨论和以小组为单位的学习非常恰当。在设计教学计划和组织课堂教学中，给学生提供了合作与交流的机会，使学生在合作的过程中学习别人的方法和想法，表达自己对问题的看法，从而学会从不同的角度认识数学；养成与别人合作与交流的习惯。 （三）让学生在不断"反思"中学习。本节课上学生在探索过程中遇到障碍或出现错误时，教师提出一些针对性的、具有启发性的问题引导学生主动地反思探索过程；当数学活动结束后，教师引导学生反思整个探索过程和所获得结论的合理性，获得成功的体验。
三是关于教师作用的观念。 本节课教师创造性地组织教学，成为课程与教学的决策者。教师成为了课堂教学过程的组织者、指导者和参与者。学生在教学活动中处于主体地位，教师则成为学生学习活动的促进者，而并非单纯的知识传授者，教师创设了有趣的情境以刺激学生的动机，教师也提出了适当的问题以启发学生的思考。在教学的过程中，教师不再是"居高临下"的指导者，而应成为一个"平等的"参与者。
二、本节课做到了构思新颖，有实用高效的教学思路。课前引入部分设置了数学史小故事，利用几何画板展示心型曲线，通过数学建模问题的引入解决不断地激发学生的学习兴趣，通过课堂教学，教师掌握了学生的年龄特点和认知发展水平，努力改变教学内容的呈现方式和学生的学习方式，把适合教师讲解的内容尽可能变成适合学生探讨研究问题的素材。让学生"动"起来，让课堂"活"起来，这样促使学生逐步从"学会"到"会学"，最后达到"好学"的境界。
三、本节课重视现代化手段的运用。在高中数学教学中，根据教学内容灵活地运用多媒体这一手段，对于激发学生学习兴趣，突破教学难点，提高课堂教学效率都是很有好处的。 运用多媒体计算机辅助教学，能较好地处理大与小，远与近，动与静，快与慢，局部与整体的关系，能吸引学生的注意力，使学生形成鲜明的表象，启迪学生的思维，扩大信息量，提高教学效率。可以说，现代教学技术和手段的推广使用为教学方法的改革发展开辟了广阔的天地。
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