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复数的概念是掌握复数并解答复数有关问题的基础，其中有虚数单位，复数的代数形式，实部与虚部、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数等．有关复数题目的解答是有别于实数问题的，应根据有关概念求解．
[典例] ()复数＋的虚部是( )
．－ ．－
()若复数(－＋)＋(－)是纯虚数，则实数的值为( )
． ． ．或 ．－
解析：()选 ＋＝＋＝＋＝－＋，故虚部为.
()选 由纯虚数的定义，可得
解得＝.
[对点训练]
．设＝＋，＝－，且为纯虚数，则实数的值为．
解析：设＝(∈且≠)，所以＝·，即＋＝(－)＝＋.所以word/media/image7_1.png所以＝.
答案：
．设复数＝(－－)＋(＋＋)，试求实数的取值，使()是纯虚数；()是实数；()在复平面上的对应点在复平面的第二象限．
解：()由得＝.
∴当＝时，是纯虚数．
()由得＝－或＝－.
∴当＝－或＝－时，是实数．
()由得
－<<－或＋<<.
∴当－<<－或＋<<时，复数在复平面上的对应点在复平面的第二象限．
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.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减；乘法类比多项式乘法；除法类比分式的分子分母有理化，注意＝－.
．复数四则运算法则是进行复数运算的基础，同时应熟练掌握幂的周期性变化，即＋＝，＋＝－，＋＝－，＝，复数的四则运算常与复数的概念、复数的几何意义等结合在一起考查．
另外计算要注意下面结论的应用：
()(±)＝±＋，
()(＋)(－)＝－，
()(±)＝±，
()＝－，
()＝，＝－，
()＋＝(－)．
[典例] 复数等于( )
＋－
．－＋ ．－－
解析：选 ＝－＝
＝－－.
[典例] 已知复数＝，＝－(∈)．
()若＝，求·；
()若＝是纯虚数，求的值．
解：由于＝＝＝＝＝－.
()当＝时，＝－，
∴·＝(－)·(＋)＝＋－＋＝－.
()若＝＝＝＝为纯虚数，则应满足
解得＝－.即的值为－.
[对点训练]
．设复数满足(－)＝，则＝( )
．－＋ ．－－
．＋ ．－
解析：选 ＝＝－＋，故选.
．设，∈，＋＝(为虚数单位)，则＋的值为．
解析：∵＋＝，∴＋＝＝＋.根据复数相等的充要条件可得＝，＝，
故＋＝.
答案：
．计算：
()(－)(＋)；
()；()(－).
解：()法一：(－)(＋)
＝(＋)
＝(＋)
＝＋＋＋
＝－＋.
法二：原式＝(－)(＋)
＝(－)
＝＝－＋.
()＝
＝＝
＝＝.
()(－)＝(－)(－)
＝－＋＝－.
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复数＝＋(，∈)和复平面上的点(，)一一对应，和向量―→一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键．
[典例] 若为虚数单位，如图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是( )
． ． ． ．
解析：选 由题图可得＝＋，所以＝＝＝＝－，则其在复平面上对应的点为(，－)．
[典例] 已知是复数，＋，均为实数(为虚数单位)，且复数(＋)在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
解：设＝＋(，∈)，
则＋＝＋(＋)，
＝＝(＋)(＋)
＝(－)＋(＋).
由题意知
∴∴＝－.
∵(＋)＝[＋(－)]
＝(＋－)＋(－)，
由已知得
∴<<.∴实数的取值范围是()．
[对点训练]
．若复数满足＝＋，则在复平面内，对应的点的坐标是( )
．() ．(，－)
．(，－) ．()
解析：选 由＝＋，可得＝＝＝－，
所以对应的点的坐标是(，－)．
．已知等腰梯形的顶点、在复平面上对应的复数分别为＋，－＋，∥.求顶点所对应的复数.
解：设＝＋，，∈，如图，(，)，(－)，(，)．
∵∥，＝，
∴＝，＝－，
即
解得或
∵≠，∴＝－，＝(舍去)，故＝－.
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复数＝＋(，∈)对应复平面上的点，则复数的模＝―→＝，即(，)到原点的距离．
[典例] 已知复数满足＋－＝，求－－的最小值．
解：法一：设＝＋(，∈)，
则＋＋－＝，
即(＋)＋(－)＝.
∴(＋)＋(－)＝.
∴－－＝
＝＝，
由(－)＝－(＋)≥，得＋＋≤.
∴－≤≤－，∴≤－＋≤.
∴≤≤.
∴当＝－时，－－取最小值.
法二：由复数及其模的几何意义知：
满足＋－＝，
即－(－＋)＝的复数所对应的点是以(－)为圆心，半径＝的圆，而－－＝－(＋)的几何意义是：复数对应的点与点()的距离．
由圆的知识可知－－的最小值为－.
又＝＝，
所以－－的最小值为－＝.
[对点训练]
．在复平面内，点，分别对应复数，，且＝＋－，＝，则点的轨迹是( )
．线段 ．圆
．椭圆 ．双曲线
解析：选 ∵＝＋－，∴＝－(－)．
∵＝，∴＝，
∴－(－)＝，由模的几何意义可知点的轨迹是以(，－)为圆心，为半径的圆．
．已知复数，且＝，求－的最大值，以及取得最大值时的.
解：法一：设＝＋(，∈)，
∵＝，∴＋＝，
－＝＋－＝＋(－)＝
＝＝.
∵＝－≤，∴－≤≤.
故当＝－时，－取最大值，
从而取最大值，此时＝，
即－取最大值时，＝－.
法二：方程＝表示以原点为圆心，以为半径的圆，而－表示圆上的点到点()的距离．
如图，连接并延长与圆交于点(，－)，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点到点的距离最大，最大值为，
即当＝－时，－取最大值.
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(时间：分钟 满分：分)
一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
．已知＝＋(为虚数单位)，则复数＝( )
．＋ ．－
．－＋ ．－－
解析：选 由＝＋，得＝＝＝＝－－，故选.
．复数＝(＋)(为虚数单位)的共轭复数是( )
．－－ ．－＋
．－ ．＋
解析：选 ∵＝(＋)＝－＋，∴＝－－.
．设＝－，＝－＋，则－在复平面内对应的点位于( )
．第一象限 ．第二象限
．第三象限 ．第四象限
解析：选 由已知，得－＝－－(－＋)＝－，则－在复平面内对应的点为(，－)．
．设是实数，且＋是实数，则等于( )
． ．
解析：选 ＋＝＋＝＋，
由题意可知＝，即＝.
．为正实数，为虚数单位，＝，则＝( )
． ．
解析：选 由已知＝得＝(＋)·(－)＝－＋＝，所以 ＝，∵＞，∴＝.
．复数＝＋(，∈，是虚数单位)，则－的值为( )
．－ ． ． ．
解析：选 ＝＝－＝＋，所以＝，＝－，所以－＝－＝－.
．已知()＝－－(＝－，∈)，集合{()∈}的元素个数是( )
． ． ． ．无数个
解析：选 ()＝－＝，()＝－－＝－＝，
()＝－－＝，()＝－－＝－，
由的周期性知{()∈}＝{，－}．
．复数＝，＝－分别对应复平面内的点，，则向量word/media/image15_1.png对应的复数是( )
．－－
．＋ ．＋
解析：选 ∵＝(－)＝－，＝＋，
∴word/media/image15_1.png对应的复数是－＝＋－(－)＝＋.
．＝(＋＋)＋(＋－)，∈，＝－，则“＝”是“＝”的( )
．充分不必要条件
．必要不充分条件
．充要条件
．既不充分也不必要条件
解析：选 ＝时，＝－＝，故“＝”是“＝”的充分条件．
由＝，得＋＋＝，且＋－＝－，解得＝－或＝，故“＝”不是“＝”的必要条件．
．已知方程＋(＋)＋＋＝(∈)有实根，且＝＋，则复数等于( )
．－ ．＋
．－＋ ．－－
解析：选 ∵＋(＋)＋＋＝，
∴＋＋＋(＋)＝，
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∴＝－.
．定义运算word/media/image17_1.png＝－，则符合条件
word/media/image18_1.png＝＋的复数为( )
．－ ．＋ ．＋ ．－
解析：选 由定义知word/media/image18_1.png＝＋，
得＋＝＋，即＝＝－.
．若＋是关于的实系数方程＋＋＝的一个复数根，则( )
．＝，＝ ．＝－，＝
．＝－，＝－ ．＝，＝－
解析：选 由题意可得(＋)＋(＋)＋＝⇒－＋＋＋(＋)＝，
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二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分，把答案填在题中横线上)
．已知，∈，是虚数单位．若(＋)·(＋)＝，则＋＝.
解析：由(＋)(＋)＝－＋(＋)＝，得解方程组，得＝，＝，则＋＝＋.
答案：＋
．已知复数＝－，是复数－＋的共轭复数，则复数－的虚部等于．
解析：－＝－＝－＝，其虚部为.
答案：
．若关于的方程＋(－)＋(－)＝有实数根，则纯虚数＝.
解析：设＝(∈，且≠)，方程的实根为，则＋(－)＋(－)＝，
即(＋－)－(＋)＝，
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解得＝－，＝.故＝.
答案：
．已知复数＝＋(，∈)且＋＝，则复数在复平面对应的点位于第象限．
解析：∵，∈且＋＝，
即＋＝，
∴＋＋＋＝－，
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∴＝－.∴对应的点位于第四象限．
答案：四
三、解答题(本大题共小题，共分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
．(本小题分)实数为何值时，复数＝(－－)＋(－－)是：
()实数；()虚数；()纯虚数；().
解：()当－－＝，即＝，或＝－时，是实数．
()当－－≠，即≠，且≠－时，是虚数．
．(本小题分)已知复数满足＝＋－，求的值．
解：设＝＋(，∈)，
∵＝＋－，∴－－＋＋＝，
∴＝－＋，
∴＝＝＝＋.
．(本小题分)已知复数＝－，＝.求：
()·；().
解：＝＝＝－.
()·＝(－)(－)＝－－.
()＝＝＋.
．(本小题分)已知＝＋，，为实数．
()若ω＝＋－，求ω；
()若＝－，求，的值．
解：()因为ω＝＋－＝(＋)＋(－)－＝－－，所以ω＝＝.
()由条件＝－，得＝－，即＝－.所以(＋)＋(＋)＝＋，所以解得
．(本小题分)已知复数满足(＋)＝－＋，＝－－，其中为虚数单位，∈，若－<，求的取值范围．
解：∵＝＝＋，＝－－，＝－＋，
∴－＝(＋)－(－＋)＝－＋
＝，又∵＝，－<，∴<，∴－＋<，解得<<.
∴的取值范围是()．
．(本小题分)已知＝＋＋，其中∈，且为纯虚数．
()求对应的点的轨迹；
()求的最大值、最小值．
解：()设＝＋(，∈)，则
＝＝，
∵为纯虚数，∴即
∴对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，除去(－)，()两点．
()由()知＝，由已知＝－(＋)，
∴－(＋)＝.
∴所对应的点在以()为圆心，以为半径的圆上．由图形可知的最大值为＋＋＝；
最小值为＋－＝.
生活不是等待风暴过去，而是学会在雨中翩翩起舞,不要去考虑自己能够走多快，只要知道自己在不断努力向前就行，路对了，成功就不远了。放弃了，就不该后悔。失去了，就不该回忆。放下该放下，退出那没结局的剧。我们需要一点点的眼泪去洗掉眼中的迷雾，一点点的拥抱去疗愈受伤的心，一点点的休息去继续前行,少壮不努力，老大徒伤悲,每个人的人生都是不一样的，处同样的位置，也是有人哭，有人笑，有人沉默。穷人缺什么：表面缺资金，本质缺野心，脑子缺观念，机会缺了解，骨子缺勇气，改变缺行动，事业缺毅力世界上最聪明的人是借用别人撞的头破血流的经验作为自己的经验，世界上最愚蠢的人是非用自己撞得头破血流的经验才叫经验,不要抱着过去不放，拒绝新的观念和挑战,每个人都有退休的一天，但并不是每个人都能拥有退休后的保障。觉得为时已晚的时候，恰恰是最早的时候,勿将今日之事拖到明日,学习时的苦痛是暂时的，未学到的痛苦是终生的,学习这件事，不是缺乏时间，而是缺乏努力,幸福或许不排名次，学习并不是人生的全部。但既然连人生的一部分——学习也无法征服，还能做什么呢.
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