文档文库
手机版
投诉建议
热门搜索： 心得体会 演讲稿 思想汇报
首页 > 新教材2020人教B版数学必修第四册教师用书：第9章 9.1 9.1.2 余弦定理

新教材2020人教B版数学必修第四册教师用书：第9章 9.1 9.1.2 余弦定理

发布时间：   来源：文档文库   
小 中 大
字号：
手机查看
9.1.2余弦定理
学习目标核心素养
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明1.借助余弦定理的推导，提升学生的逻余弦定理的方法．(重点
辑推理的素养.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三2.通过余弦定理的应用的学习，培养学角形．(重点、难点
生的数学运算的素养.


1．余弦定理
(1三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍．
即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.
(2应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．①已知三边，求三角．
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．思考：利用余弦定理只能解决以上两类问题吗？[提示]是．2．余弦定理的变形(1余弦定理的变形：b2＋c2－a2
cosA＝2bc；a2＋c2－b2cosB＝2ac；a2＋b2－c2cosC＝2ab.
(2利用余弦定理的变形判定角：
在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角．

1


3
1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－5，则三角形的第三边长为(
A．52C．16
B．213D．4
3
5＋3－2×5×3×－5＝

2
2
B[由余弦定理可知，三角形的第三边长为52＝213.]
2．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，则cosC的值为(1111
A．3B．－2C.4D．－4
A[根据正弦定理，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0．
9k2＋4k2－9k21
则有cosC＝＝3.]
2×3k×2k
1
3．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝3，则c2＝________.
1
30－46[由余弦定理可得c＝(32＋(23－2×32×23×3＝18＋
2
2
2
12－46＝30－46.]
4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝________.120°[∵a2＝b2＋bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc，
b2＋c2－a2－bc1∴cosA＝2bc＝2bc＝－2，又∵0°＜A＜180°，∴A＝120°.]
2



1
＝2，cos(A＋B＝3，则c＝________.
(2已知△ABC，根据下列条件解三角形：a＝3，b＝2，B＝45°.
1
17[(1由三角形内角和定理可知cosC＝－cos(A＋B＝－，又由余弦定
3理得
1
c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋4－2×3×2×－3＝17，所以c＝17.]
(2[解]由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB.2
∴2＝3＋c2－23×2c.
6＋26－2
即c－6c＋1＝0，解得c＝2或c＝2.
2
已知两边及一角解三角形
【例1】(1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b
6＋22
－32＋
6＋2b2＋c2－a22
当c＝2时，由余弦定理，得cosA＝＝＝
2bc6＋2
2×2×212.
∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.
6－22
－32＋
6－2b2＋c2－a22
当c＝2时，由余弦定理，得cosA＝＝＝
2bc6－2
2×2×21－2.
∵0°<A<180°，∴A＝120°，C＝15°.

3

6＋26－2
故c＝2，A＝60°，C＝75°或c＝2，A＝120°，C＝15°.

已知两边及一角解三角形的解题思路
1．若已知角是两边的夹角．则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．
2．若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．


1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c.
[解]5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3(x＋2＝0.3
∴x1＝5，x2＝－2(舍去．3
∴cosC＝5.根据余弦定理，
3
c＝a＋b－2abcosC＝5＋3－2×5×3×5＝16.
2
2
2
2
2
∴c＝4，即第三边长为4.

已知三边或三边关系解三角形
【例2】(1已知△ABC的三边长为a＝23，b＝22，c＝6＋2，求△ABC的各角度数；
(2已知△ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝37，求△ABC的最大内角．[解](1由余弦定理得：
b2＋c2－a2222＋6＋22－2321cosA＝2bc＝＝2，
2×22×6＋2

4

∴A＝60°.
a2＋c2－b2232＋6＋22－2222cosB＝2ac＝＝2，
2×23×6＋2∴B＝45°，∴C＝180°－A－B＝75°.
(2∵c>a，c>b，∴C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即37＝9＋16－24cosC，1∴cosC＝－，
2∵0°<C<180°，∴C＝120°.
∴△ABC的最大内角为120°.

已知三角形的三边解三角形的方法
1．先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
2．利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．


2．在△ABC中，已知(a＋b＋c(b＋c－a＝3bc，则角A等于(A．30°C．120°
B．60°D．150°
B[∵(b＋c2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，
b2＋c2－a21∴cosA＝2bc＝2，∴A＝60°.]

5


[探究问题]
正、余弦定理的综合应用
1．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之，说法正确吗？为什么？
[提示]设△ABC的外接圆半径为R.
由正弦定理的变形，将a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C.反之，将sinA＝
abc
，sinB＝，sinC＝代入sin2A2R2R2R
＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．
ππ
2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝2成立吗？反之，若C＝2，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？
[提示]因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cosC＝a2＋b2－c2a2＋b2－c2ππ
即cosC＝0，所以C＝2，反之，若C＝2，则cosC＝0，即2ab
2ab＝0，＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.
【例3】在△ABC中，若(a－c·cosBsinB＝(b－c·cosAsinA，判断△ABC的形状．
[思路探究]角边转化．
[解]法一：∵(a－c·cosBsinB＝(b－c·cosA·sinA，∴由正、余弦定理可得：
a2＋c2－b2b2＋c2－a2a－c···b＝b－c·a，
2ac2bc整理得：(a2＋b2－c2b2＝(a2＋b2－c2a2，即(a2－b2(a2＋b2－c2＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
6

∴a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC为直角三角形、等腰三角形或等腰直角三角形．法二：根据正弦定理，原等式可化为：
(sinA－sinCcosBsinB＝(sinB－sinCcosAsinA，即sinCcosBsinB＝sinCcosAsinA．∵sinC≠0，∴sinBcosB＝sinAcosA，∴sin2B＝sin2A．∴2B＝2A或2B＋2A＝π，π
即A＝B或A＋B＝2.
故△ABC是等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形．

正、余弦定理判断三角形形状
1．法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段．
2．一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．


3．在△ABC中，若2B＝A＋C，b2＝ac，试判断△ABC的形状为________．等边三角形[∵2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
7

又b2＝ac，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos60°＝a2＋c2－ac，
∴a2＋c2－ac＝ac，从而(a－c2＝0，∴a＝c，可知△ABC为等边三角形．]

1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题(1已知两边和夹角，解三角形．(2已知三边求三角形的任意一角．
2．已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．
3．对所给条件进行变形，主要有两种途径(1化边为角．
(2化角为边，并常用正弦(余弦定理进行边、角转换．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”
(1在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解．

(
(2余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形．

(((
(3利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题．(4在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．
[详细分析](1×.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．
(2√.余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．(3√.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．
8

(4√.余弦定理可以看作勾股定理的推广．[答案](1×(2√(3√(4√
2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是(A．等腰直角三角形C．等腰三角形
C[∵2cosBsinA＝sinC，a2＋c2－b2
∴2×a＝c，
2ac·
∴a＝b.故△ABC为等腰三角形．]
3．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝________.219[根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6cos120°＝76，c＝219.]
4．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，c＝4(3＋1，解此三角形．[解]由余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2accosB＝82＋[4(3＋1]2－2×8×4(3＋1·cos60°1
＝64＋16(4＋23－64(3＋1×2＝96，∴b＝46.
b2＋c2－a2
法一：由cosA＝2bc＝
96＋163＋12－642
＝2，
2×46×43＋1
B．直角三角形D．等边三角形
∵0°<A<180°，∴A＝45°.
故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.ab
法二：由正弦定理sinA＝sinB，
9

8462∴sinA＝sin60°，∴sinA＝2，∵b>a，c>a，∴a最小，即A为锐角．因此A＝45°.
故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.

10

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/cdf14a6fd05abe23482fb4daa58da0116d171f79.html

《新教材2020人教B版数学必修第四册教师用书：第9章 9.1 9.1.2 余弦定理.doc》
将本文的Word文档下载到电脑，方便收藏和打印
推荐度：
点击下载文档

文档为doc格式
相
关
案
例

相关推荐

推荐内容

山东省潍坊市中考地理真题及答案- 河南省信阳市息县2020-2021学年七年级下学期期中数学试题 我的校园生活800字作文- 退伍军人入党申请书8月 小班主题活动教案《可爱的小蚂蚁》 电子商务创业心得(精选多篇) 关于梨花的情感散文佳作 马克思主义世界交往理论观下的“一带一路”战略 【六年级】难忘她对我的帮助 对我影响最深的一个人作文600字 纪检监察工作座谈会发言材料
网站内容来自网络，如有侵权请联系我们，立即删除！ Copyright © 范文写作网京ICP备16605803号