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2012新北市数理资优复试甄选_数学科_几何之五大模型及其应用0331

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幾何之五大模型及其應用
模型1．等高三角形中，相對應面積與對應底邊的正比關係；
△ABD面積(S1︰△ACD面積(S2=BD(a︰CD(b
即︰
S△ABDS1BDa
S△ACDS2CDb

①推論1:平行線間同底的三角形面積相等。如圖：S△ABC=S△ABD=S△ABE
（因為它們同底等高）
CDE
②推論2:長方形中以一條邊為底，頂點在對邊的三角形的
面積是此長方形面積的一半。
1
如圖：S△ABC=S△BEC=S△BFC=S△BDC=SABDC
2
AB
（因為每個三角形的面積相當於是長乘寬除2）
③推論3:ABC中，AM是BC邊的中線（BMCM），
則SABMSACM.
換言之，若
BMS
1SABMSACM.即ABM1.CMSACM
BM
1,即BMCMCM
反之，若SABMSACM,則
④推論4:“鳥頭定理”如右圖所示
A
E
DB
C
SADEADAE
SABCABAC
證明：連結BE，則有：
SADEADSAE
，ABE
SABCACSABEAB
兩個式子相乘得到：
SADESABEADAESADAE
；即：ADESABESABCABACSABCABAC
P1


模型2．任意凸四邊形ABCD的比例關係（“蝴蝶定理”）
S1S3

①S2S4或者S1×S4=S2×S3AE（S1S2）
CE（S3S4）②
模型3．梯形中比例關係（“梯形蝴蝶定理”）①S1︰S4=a2︰b2②S2=S3
梯形中由對角線分成的左右兩個三角形面積相等。S1︰S2(或S3︰S4=a2︰ab︰b2;③S的對應份數為（a+b）2
模型4．
相似三角形性質：平行線分線段成比例(“金字塔”和“沙漏”

①
ABBCCAAD
;AEEFFAAH
2
2
2
s△ABCABBCCA②
s△AEFAE2EF2HA2
③三角形中位線定理：三角形的中位線長等於它所對應的
底邊長的一半．
P2


模型五：燕尾定理（共邊定理）
①模型五_1︰兩個有公共邊的△ABD和△ABC，ABC與DC交於點M，則
s△ABCCM
,
s△ABDDM
即△ABC的面積︰△ABD的面積=CM︰DM。（定理描述對下圖所示四種圖形都成立）
②模型五_2︰
s△AGBs△BGDBD
；
s△AGCs△CGDCD

s△AGBs△AGEAE
；
s△BGCs△CGECE

s△AGCs△AGFAF

s△BGCs△BGFBF

P3


例題講解
例1．E是AB三等分點，D是AC四等分點，如圖，三角形AED
占三角形ABC面積的______。
例2．右圖的大三角形被分成5個小三角形，其中4個的面積
已經標在圖中，那麼，陰影三角形的面積是。

例3．任意凸四邊形ABCD的比例關係（“蝴蝶定理”）證明：
SAODSBOCSAOBSCOD

例4．三角形ABC的面積為36平方公分，D上分別為BC、AC
邊上的三等分點(如圖。則三角形ADE的面積為_____平方公分。
例5．如圖，正方形ABCD的邊長為6，AE1.5，CF2．
長方形EFGH的面積為．
BDC
E
A
P4



例6．如圖所示，正方形ABCD的邊長為8公分，長方形EBGF的長BG為10公分，那麼長方形的寬為幾公分？

例7．長方形ABCD的面積為36cm2，E、F、G為各邊中點，H為AD邊上任意一點，問
陰影部分面積是多少？

例8．
在邊長為6公分的正方形ABCD內任取一點P，將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊三等分，分別與P點連接,求陰影部分面積．

例9．如圖所示，長方形ABCD內的陰影部分的面積之和為70，AB8，AD15，四邊形EFGO
的面積為．
P5




例10．如圖，長方形ABCD的面積是36，E是AD的三等分點，
AE2ED，則陰影部分的面積為．
例11．如圖中A、B兩點分別是長方形長和寬的中點，那麼
陰影部分的面積是長方形面積的________(填幾分之幾。

例12．如圖，△ABC中，CD=3AD，EC=3BE，那△ABO
的面積占△ABC面積的_____分之_____；

B
A
EOD
C
例13．右圖中ABCD是個直角梯形（DABABC90）.以AD為一邊向外作長方形
ADEF，其面積為6.36平方公分.連結BE交AD於P，連結PC.求圖中陰影部分的面積是多少平方公分？

P6


例14．如圖，正六邊形的面積為6，那麼陰影部分的面積是多少？

例15．三角形ABC的面積為15平方公分，D、E、F分別
為AB、AC、BC中點，求陰影部分的面積。

例16．如圖，M為AB中點，N是BC上一點，CN=2BN．連結
AN交MC於0點，若四邊形BMON的面積為14cm2，則△ABC的面積是_________cm2


例17．兩條線段把三角形分為三個三角形和一個四邊形，如圖所示，三個三角形的面積分別
是3，7，7，則陰影四邊形的面積是多少？

例18．如下圖：已知CD:DM3:2，ΔABC的面積為10，那麼ΔABD的面積為多少？

例19．已知ABCD是平行四邊形﹐BC：CE=3：2﹐三角形ODE的面積為6平方公分。則梯形
ABCO的面積是平方公分。
P7



例20．如圖，在梯形ABCD中，AD︰BE=4︰3，BE︰EC=2︰3，
且△BOE的面積比△AOD的面積小10平方公分。梯形ABCD的面積是平方公分。
例21．如圖，BD是梯形ABCD的一條對角線，線段AE與梯
形的一條腰DC平行，AE與BD相交於O點.已知三角形
2
BOE的面積比三角形AOD的面積大4平方米，並且EC=
5
B
O
C
A
D
E
BC.求梯形ABCD的面積.

A
H
例22．在正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、
DA邊的中點(如圖，連接線段AF、BG、CH、DE，由這四條線段在正方形中圍成的小正方形的面積與大正方形面積的比？
B
F
E
D
G
C
例23．如圖所示，在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是
ABCD各邊的中點，求陰影部分與四邊形PQRS的面積之比。
例24．如圖，已知長方形ADEF的面積是16，三角形ADB的面
積是3，三角形ACF的面積是4，那麼三角形ABC的面積是____．
A
F
C
D
B
E
P8




A
例25．設正方形的面積為1．右圖中E、F分別為AB、AD的中
1
點．GC=FC，則陰影部分的面積為____．
3
F
D
E
G
B
C
A

13
14
例26．如右圖BE=BC，CD=AC，那麼三角形AED的
面積是三角形ABC面積的______.
B
E
DC


例27．如圖ABCD是梯形，BD是對角線，E為BD上一點，
EF是三角形AED的高，EG是三角形BCE的高。如果三角形ABE和三角形BCE的面積分別為6和10，EF：EG=7:4,那麼求梯形ABCD的面積。
例28．如圖，直角梯形ABCD中，AB=12，CD=9，三角形BEF
的面積是40／9，且三角形AED、三角形FCD和四邊形EBFD的面積相等，BC長是多少？
例29．如圖，正方形ABCD的邊長為4公分，EF和BC平行，
三角形ECH的面積是7平方公分，求EG的長。
EA
D
B
F
C
P9



例30．如圖﹐正方形ABCD的邊長為l﹐E﹑F分別是BC﹑DC的中點﹐求四邊形MECN的面積為多
少？


過關遊戲
1.情況：一個人帶著一匹狼、一箱青菜、一頭羊要過河，小船一次只能載一個物品。
規則：狼會吃羊，羊會吃青菜請問要如何運送才能不損失任何一種，順利將這三種東西
運到對岸去呢？！

P10



2.情況：河的一邊有三個和尚和三個土著
規則：任何一個岸邊，和尚不能比土著少，否則和尚生命即垂危。
請問要如何運送才能不損失任何一個和尚，順利將這三個和尚運到對岸去呢？！

3.情況：河的一邊有一個家庭共有5個人，希望能順利到達對岸~
規則：一次最多兩個人過橋，總共過程不得超過30秒，分別有1、3、6、8、12等秒數的人要過橋，同一組中的秒數計算，以秒數多的人為準。請問要如何運送才能在30秒內，讓所有的人都過橋，順利到達另一邊呢？不然燈就熄滅了，全部的人生命就危險了。

P11



4.將右圖分成4塊，使它們的形狀、大小都
相同並且每塊內都有一個小圓圈“○”


5.如右圖所示.請將這個正方形切成四塊，使
得它們彼此之間的形狀和大小都相同，而且每塊當中都含有A、B、C、D四個字母.
6.有五位小姐排成一排；請問哪位小姐養
狗？(1小姐的姓氏也不同、穿的衣服顏色都不
一樣
(2都養不同的寵物、喝不同的飲料、吃不
P12


同的水果
(3錢小姐穿紅衣
(4翁小姐養了一隻兔子(5陳小姐喝茶
(6綠衣小姐站在白衣的左邊(7吃西瓜的小姐養鸚鵡(8黃衣小姐吃蓮霧
(9站在中間的小姐喝牛奶
(10趙小姐站在最左邊(11(12(13(14(15(16(17
吃橘子的小姐站在養貓的隔壁養魚的小姐隔壁吃蓮霧吃蘋果的小姐喝香檳綠衣小姐喝咖啡江小姐吃香蕉
趙小姐站在藍衣小姐的隔壁
只喝開水的小姐站在吃橘子的隔壁

P13


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/cabb8b34b90d6c85ec3ac6b5.html

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