2．1.2& 2.1.3 系统抽样 分层抽样
(1)系统抽样适用于怎样的总体？
(2)分层抽样有何特点？
(3)分层抽样的步骤是什么？
(4)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是否相同？
1．系统抽样的概念
要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法．
2．系统抽样的特点
(1)系统抽样适用于总体容量较大，且分布均衡(即个体间无明显的差异)的情况；
(2)系统抽样的本质是“等距抽样”，要取多少个样本就把总体分成多少组，每组中取一个；
(3)系统抽样是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是.
[点睛] 系统抽样需注意的问题
(1)如果总体中个体数N正好被样本容量n整除，则每个个体被入样的可能性是，若N不能被n整除，需要随机剔除m个个体，m＝N－n·
（这里
表示不超过
的最大整数），此时每个个体入样的可能性仍是
，而不是
.
(2)剔除个体后需要对剩余的个体重新进行编号．
(3)剔除个体及第一段抽样都用简单随机抽样．
3．分层抽样的概念
在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样.
4．分层抽样的适用条件
分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
5．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的联系和区别
1．在10 000个有机会中奖的号码(编号为0 000～9 999)中，有关部门按照随机抽样的方式确定后两位数字是68的号码为中奖号码．这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的( )
A．抽签法 B．系统抽样法
C．随机数表法 D．其他抽样方法
解析：选B 由题意，中奖号码分别为0 068,0 168,0 268，…，9 968.显然这是将10 000个中奖号码平均分成100组，从第一组号码中抽取出0 068号，其余号码是在此基础上加上100的整数倍得到的，可见，这是用的系统抽样法．
2．某地区为了了解居民家庭生活状况，先把居民按所在行业分为几类，然后每个行业抽的居民家庭进行调查，这种抽样是( )
A．简单随机抽样 B．系统抽样
C．分层抽样 D．分类抽样
解析：选C 由于居民按行业可分为不同的几类，符合分层抽样的特点．
3．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
A．12,24,15,9 B．9,12,12,7
C．8,15,12,5 D．8,16,10,6
解析：选D 抽样比例为＝
，故各层中依次抽取的人数为160×
＝8(人)，320×
＝16(人)，200×
＝10(人)，120×
＝6(人)．故选D.
4．某单位有职工160人，其中业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员有( )
A．3人 B．4人
C．7人 D．12人
解析：选B 由＝
，设管理人员x人，则
＝
，得x＝4.
[典例] (1)某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是( )
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法 D．以上都不对
(2)为了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k＝________.
[解析] (1)上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n∈N*)号，符合系统抽样的特点．
(2)根据样本容量为30，将1 200名学生分为30段，每段人数即间隔k＝＝40.
[答案] (1)C (2)40
系统抽样的判断方法
(1)首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多少个个体．
(2)再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样．
(3)最后看是否等距抽样．
[活学活用]
某影院有40排座位，每排有46个座位，一个报告会上坐满了听众，会后留下座号为20的所有听众进行座谈，这是运用了( )
A．抽签法 B．随机数表法
C．系统抽样法 D．放回抽样法
解析：选C 此抽样方法将座位分成40组，每组46个个体，会后留下座号为20的相当于第一组抽20号，以后各组抽取20＋46n，符合系统抽样特点.
[典例] (1)某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k＝＝16，即每16人抽取一人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是________．
(2)某装订厂平均每小时大约装订图书360册，要求检验员每小时抽取40册图书，检验其质量状况，请你设计一个抽样方案．
[解析] (1)因为采用系统抽样方法，每16人抽取一人，1～16中随机抽取一个数抽到的是7，所以在第k组抽到的是7＋16(k－1)，所以从33～48这16个数中应取的数是7＋16×2＝39.
答案：39
(2)解：第一步：把这些图书分成40个组，由于＝9，所以每个小组有9册书；
第二步：对这些图书进行编号，编号分别为0,1，…，359；
第三步：从第一组(编号为0,1，…，8)的书中用简单随机抽样的方法，抽取1册书．比如说，其编号为k；
第四步：按顺序抽取编号分别为下面的数字的图书：k，k＋9，k＋18，k＋27，…，k＋39×9.这样总共就抽取了40个样本．
系统抽样的4个步骤
(1)编号(在保证编号的随机性的前提下，可以直接利用个体所带有的号码)．
(2)分段(确定分段间隔k，注意剔除部分个体时要保证剔除的随机性和客观性)．
(3)确定起始个体编号l(在第1段采用简单随机抽样来确定)．
(4)按照事先确定的规则抽取样本(通常是将l加上k，得到第2个个体编号l＋k，再将l＋k加上k，得到第3个个体编号l＋2k，这样继续下去，直到获取整个样本)．
[活学活用]
某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．
解：(1)先把这253名学生编号000,001，…，252；
(2)用随机数表法任取出3个号，从总体中剔除与这3个号对应的学生；
(3)把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250；
(4)分段．取分段间隔k＝5，将总体均分成50段，每段含5名学生；
(5)以第一段即1～5号中随机抽取一个号作为起始号，如l.
(6)从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．
这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本.
[典例] (1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适( )
A．系统抽样法 B．简单随机抽样法
C．分层抽样法 D．随机数法
(2)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行( )
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽个体数量相同
[解析] (1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层抽样．
(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．
[答案] (1)C (2)C
1．使用分层抽样的前提
分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．
2．使用分层抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
[活学活用]
下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
解析：选B A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样.
[典例] 某网站针对“2016年法定节假日调体安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：
(1)从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值；
(2)从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？
[解] (1)由题意得
＝
，
解得n＝40.
(2)35岁以下的人数为×400＝4，
35岁以上(含35岁)的人数为5－4＝1.
分层抽样的步骤
(1)计算样本容量与总体的个体数之比．
(2)将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数．
(3)用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体．
(4)将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本．
[活学活用]
一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法．
具体过程如下：
(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．
(2)按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．
(3)按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．
(4)将300人合到一起，即得到一个样本．
[层级一 学业水平达标]
1．某机构为了了解参加某次公务员考试的12 612名考生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为200的样本，那么从总体中随机剔除个体的数目是( )
A．2 B．12
C．612 D．2 612
解析：选B 因为12 612＝200×63＋12，系统抽样时分为200组，每组63名，所以从总体中随机剔除个体的数目是12.
2．下列抽样不是系统抽样的是( )
A．体育老师让同学们随机站好，然后按1～5报数，并规定报2的同学向前一步走
B．为了调查“地沟油事件”，质检人员从传送带上每隔五分钟抽一桶油进行检验
C．五一期间麦当劳的工作人员在门口发放50份优惠券
D．《唐山大地震》试映会上，影院经理通知每排(每排人数相等)28号观众留下来座谈
解析：选C C中，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的规则入样，所以不是系统抽样．
3．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为( )
A．7,5,8 B．9,5,6
C．7,5,9 D．8,5,7
解析：选B 由于样本容量与总体个体数之比为＝
，故各年龄段抽取的人数依次为45×
＝9(人)，25×
＝5(人)，20－9－5＝6(人)．
4．在抽样过程中，每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样，那么分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中，为不放回抽样的有________个．
解析：这三种抽样都是不放回抽样．
答案：3
[层级二 应试能力达标]
1．下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是( )
A．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样
B．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样
C．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样
D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样
解析：选C A总体有明显层次，不适宜用系统抽样法；B样本容量很小，适宜用随机数法；D总体容量很小，适宜用抽签法．
2．为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况，若用系统抽样方法，则抽样间隔和随机剔除的个数分别为( )
A．3,2 B．2,3
C．2,30 D．30,2
解析：选A ∵92＝30×3＋2，
∴剔除2个个体，间隔为3.
3．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为( )
A．60 B．80
C．120 D．180
解析：选C 11～12岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则抽样比为.
∵从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，
∴从四个年龄段回收的问卷总数为＝900(份)，则15～16岁回收问卷份数为：x＝900－120－180－240＝360(份)．
∴在15～16岁学生中抽取的问卷份数为360×＝120(份)，故选C.
4．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101 B．808
C．1 212 D．2 012
解析：选B 甲社区驾驶员的抽样比例为＝
，四个社区驾驶员总人数的抽样比例为
＝
，由
＝
，得N＝808.
5．一个总体中有100个个体，随机编号0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个组，组号依次为1,2,3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为t，则在第k组中抽取的号码个位数字与t＋k的个位数字相同，若t＝7，则在第8组中抽取的号码应该是________．
解析：∵k＝8，t＝7，t＋k＝15，
∴在第8组中抽取的号码是75.
答案：75
6．已知标有1～20号的小球20个，若我们的目的是估计总体号码的平均值，即20个小球号码的平均数．试验者从中抽取4个小球，以这4个小球号码的平均数估计总体号码的平均值，按下面方法抽样(按小号到大号排序)：
(1)以编号2为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________；
(2)以编号3为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________．
解析：20个小球分4组，每组5个．
(1)若以2号为起点，则另外三个球的编号依次为7,12,17,4球编号平均值为＝9.5.
(2)若以3号为起点，则另外三个球的编号依次为8,13,18,4球编号平均值为＝10.5.
答案：(1)9.5 (2)10.5
7．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求得样本容量为________．
解析：总体容量N＝36.
当样本容量为n时，系统抽样间隔为∈N*，所以n是36的约数；
分层抽样的抽样比为，求得工程师、技术员、技工的抽样人数分别为
，
，
，所以n应是6的倍数，所以n＝6或12或18或36.
当样本容量为n＋1时，总体中先剔除1人时还有35人，系统抽样间隔为∈N*，所以n只能是6.
答案：6
8．某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.18.
(1)问高二年级有多少名女生？
(2)现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，问应在高三年级抽取多少名学生？
解：(1)由＝0.18，得x＝540，
所以高二年级有540名女生．
(2)高三年级人数为：
y＋z＝3 000－(487＋513＋540＋560)＝900.
∴×300＝90，故应在高三年级抽取90名学生．
9．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
解：(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，
则有＝47.5%，
＝10%.
解得b＝50%，c＝10%.
故a＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200××40%＝60；
抽取的中年人人数为200××50%＝75；
抽取的老年人人数为200××10%＝15.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c9926f14bdd126fff705cc1755270722192e5902.html
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