2020年数学高考辽宁省朝阳市2020届高三第一次模拟考试 数学文 doc

朝阳市普通高中2020年高三第一次模拟考试

数学（供文科考生使用）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合word/media/image2_1.png ，word/media/image3_1.png ，则集合word/media/image4_1.png 不可能是（ ）

A．word/media/image5_1.png B．word/media/image6_1.png C．word/media/image7_1.png D．word/media/image8_1.png

2.设复数word/media/image9_1.png 满足word/media/image10_1.png （word/media/image11_1.png是虚数单位），则word/media/image12_1.png 等于（ ）

A．word/media/image13_1.png B．word/media/image14_1.png C．word/media/image15_1.png D．word/media/image16_1.png

3.按照程序框图（如图所示）执行，第word/media/image17_1.png 个输出的数是（ ）

A．word/media/image19_1.png B．word/media/image20_1.png Cword/media/image21_1.png． D．word/media/image22_1.png

4.命题“word/media/image23_1.png，word/media/image24_1.png”的否定是（ ）

A.word/media/image25_1.png，word/media/image26_1.png B.word/media/image27_1.png，word/media/image28_1.png

C.word/media/image23_1.png，word/media/image28_1.png D.不存在word/media/image29_1.png，word/media/image24_1.png

5.已知数列word/media/image30_1.png 的通项公式word/media/image31_1.png ，若使此数列的前word/media/image32_1.png 项和word/media/image33_1.png 最大，则word/media/image34_1.png 的值为（ ）

A．word/media/image35_1.png B．word/media/image36_1.png C.word/media/image37_1.png 或word/media/image38_1.png D．word/media/image39_1.png

6.将函数word/media/image40_1.png 的图象向右平移word/media/image41_1.png 个单位长度后，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标压缩到原来的word/media/image42_1.png 倍，最终所得图象对应的函数的最小正周期为（ ）

A．word/media/image43_1.png B．word/media/image44_1.png C.word/media/image45_1.png D．word/media/image46_1.png

7.《九章算术》是我国古代内容即为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍凳，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽word/media/image47_1.png 丈，长word/media/image48_1.png 丈，上棱长word/media/image49_1.png 丈，高word/media/image50_1.png 丈，问：它的体积是多少？”已知word/media/image51_1.png 丈为word/media/image52_1.png 尺，该锲体的三视图如图所示，在该锲体的体积为（ ）

A．word/media/image54_1.png 立方尺 B．word/media/image55_1.png 立方尺 C.word/media/image56_1.png 立方尺 D．word/media/image57_1.png 立方尺

8.设中心在原点、焦点在word/media/image58_1.png 轴上的双曲线的焦距为word/media/image59_1.png ，圆word/media/image60_1.png 与该双曲线的渐近线相切，点word/media/image61_1.png 在双曲线上，若点word/media/image62_1.png 到焦点word/media/image63_1.png 的距离是word/media/image64_1.png ，则点word/media/image65_1.png 到word/media/image66_1.png 的距离是（ ）

A．word/media/image67_1.png 或word/media/image68_1.png B．word/media/image69_1.png 或word/media/image70_1.png C.word/media/image71_1.png D．word/media/image72_1.png

9.在平面直角坐标系word/media/image73_1.png中，设word/media/image74_1.png，word/media/image75_1.png，向word/media/image76_1.png中随机投一点，则所投点在word/media/image77_1.png中的概率是（ ）

A.word/media/image79_1.png B.word/media/image80_1.png C.word/media/image81_1.png D.word/media/image82_1.png

10.方程word/media/image83_1.png在word/media/image84_1.png内根的个数为（ ）

A.word/media/image85_1.png个 B.word/media/image86_1.png个 C.word/media/image87_1.png个 D.word/media/image88_1.png个

11.一个含有word/media/image89_1.png 项的等比数列，其中每一项都是小于word/media/image90_1.png 的正整数，这word/media/image91_1.png 项的和为word/media/image92_1.png ，如果word/media/image93_1.png 是数列中奇数项之和，则word/media/image94_1.png 等于（ ）

A．word/media/image95_1.png B．word/media/image96_1.png C.word/media/image97_1.png D．word/media/image98_1.png

12.在word/media/image99_1.png中，word/media/image100_1.png为word/media/image101_1.png的重心，过word/media/image102_1.png点的直线分别交word/media/image103_1.png，word/media/image104_1.png于word/media/image105_1.png，word/media/image106_1.png两点，且word/media/image107_1.png，word/media/image108_1.png，则word/media/image109_1.png（ ）

A．word/media/image110_1.png B．word/media/image111_1.png C.word/media/image112_1.png D．word/media/image113_1.png

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设变量word/media/image114_1.png、word/media/image115_1.png满足约束条件word/media/image116_1.png，则word/media/image117_1.png最大值是 ．

14.抛物线word/media/image118_1.png：word/media/image119_1.png（word/media/image120_1.png）的准线与word/media/image121_1.png轴的交点为word/media/image122_1.png，过点word/media/image123_1.png作word/media/image124_1.png的两条切线，切点分别为word/media/image125_1.png，word/media/image126_1.png，则word/media/image127_1.png ．

15.矩形word/media/image128_1.png中，word/media/image129_1.png，word/media/image130_1.png，word/media/image131_1.png平面word/media/image132_1.png，word/media/image133_1.png，word/media/image134_1.png，word/media/image135_1.png分别是word/media/image136_1.png，word/media/image137_1.png的中点，则四棱锥word/media/image138_1.png的外接球表面积为 ．

16.若点word/media/image139_1.png是曲线word/media/image140_1.png上任意一点，则点word/media/image141_1.png到直线word/media/image142_1.png的最小距离为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 在word/media/image143_1.png中，已知word/media/image144_1.png，word/media/image145_1.png.

（1）求word/media/image146_1.png的值；

（2）若word/media/image147_1.png，word/media/image148_1.png为word/media/image149_1.png的中点，求word/media/image150_1.png的长.

18. 在如图所示的几何体word/media/image151_1.png中，平面word/media/image152_1.png平面word/media/image153_1.png，四边形word/media/image154_1.png和四边形word/media/image155_1.png都是正方形，且边长为word/media/image156_1.png，word/media/image157_1.png是word/media/image158_1.png的中点.

（1）求证：直线word/media/image160_1.png平面word/media/image161_1.png；

（2）求点word/media/image162_1.png到平面word/media/image163_1.png的距离.

19. 为了调查学生数学学习的质量情况，某校从高二年级学生（其中男生与女生的人数之比为word/media/image164_1.png）中，采用分层抽样的方法抽取word/media/image165_1.png名学生依期中考试的数学成绩进行统计.根据数学的分数取得了这word/media/image166_1.png名同学的数据，按照以下区间分为八组：

①word/media/image167_1.png，②word/media/image168_1.png，③word/media/image169_1.png，④word/media/image170_1.png，⑤word/media/image171_1.png，⑥word/media/image172_1.png，⑦word/media/image173_1.png，⑧word/media/image174_1.png

得到频率分布直方图如图所示.已知抽取的学生中数学成绩少于word/media/image175_1.png分的人数为word/media/image176_1.png人.

（1）求word/media/image178_1.png的值及频率分布直方图中第④组矩形条的高度；

（2）如果把“学生数学成绩不低于word/media/image179_1.png分”作为是否达标的标准，对抽取的word/media/image180_1.png名学生，完成下列word/media/image181_1.png列联表：

据此资料，你是否认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关？

（3）若从该校的高二年级学生中随机抽取word/media/image183_1.png人，记这word/media/image184_1.png人中成绩不低于word/media/image185_1.png分的学生人数为word/media/image186_1.png，求word/media/image187_1.png的分布列、数学期望和方差

附1：“word/media/image188_1.png列联表word/media/image189_1.png”的卡方统计量公式：word/media/image190_1.png

附2：卡方（word/media/image191_1.png）统计量的概率分布表：word/media/image192_1.png

20. 已知椭圆word/media/image193_1.png：word/media/image194_1.png（word/media/image195_1.png）的左右焦点分别为word/media/image196_1.png，word/media/image197_1.png且word/media/image198_1.png关于直线word/media/image199_1.png的对称点word/media/image200_1.png在直线word/media/image201_1.png上.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若word/media/image202_1.png的长轴长为word/media/image203_1.png且斜率为word/media/image204_1.png的直线word/media/image205_1.png交椭圆于word/media/image206_1.png，word/media/image207_1.png两点，问是否存在定点word/media/image208_1.png，使得word/media/image209_1.png，word/media/image210_1.png的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的word/media/image211_1.png点坐标；若不存在，说明理由.

21. 已知函数word/media/image212_1.png（常数word/media/image213_1.png）.

（1）讨论word/media/image214_1.png的单调性；

（2）设word/media/image215_1.png是word/media/image216_1.png的导函数，求证：word/media/image217_1.png.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.在直角坐标系word/media/image218_1.png中，以坐标原点为极点，word/media/image219_1.png轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆word/media/image220_1.png的极坐标方程为word/media/image221_1.png，直线word/media/image222_1.png的参数方程为word/media/image223_1.pngword/media/image224_1.png为参数，直线word/media/image225_1.png和圆word/media/image226_1.png交于word/media/image227_1.png，word/media/image228_1.png两点.

（1）求圆word/media/image229_1.png的直角坐标方程；

（2）设word/media/image230_1.png上一定点word/media/image231_1.png，求word/media/image232_1.png的值.

23.已知函数word/media/image233_1.png，且word/media/image234_1.png的解集为word/media/image235_1.png

（1）求word/media/image236_1.png的值；

（2）若word/media/image237_1.png，使得word/media/image238_1.png成立，求实数word/media/image239_1.png的取值范围.

朝阳市2020年普通高中高三第一次模拟考试

数学(文)参考答案及评分标准

一、选择题

1-5: ACCBC 6-10:BADB D 11、12：BA

二、填空题

13.word/media/image240_1.png 14.word/media/image241_1.png 15.word/media/image242_1.png 16.word/media/image243_1.png

三、解答题

17.（1）word/media/image244_1.png，且word/media/image245_1.png，∴word/media/image246_1.png．

word/media/image247_1.png

word/media/image248_1.pngword/media/image249_1.png．

（2）由（1）可得word/media/image250_1.png．

由正弦定理得word/media/image251_1.png，即word/media/image252_1.png，解得word/media/image253_1.png.

在word/media/image254_1.png中，word/media/image255_1.png，word/media/image256_1.png，所以word/media/image257_1.png．

18.证明：（1）∵四边形word/media/image258_1.png和四边形word/media/image259_1.png都是正方形

∴word/media/image260_1.png且word/media/image261_1.png

∴四边形word/media/image262_1.png是平行四边形

连结word/media/image263_1.png交word/media/image264_1.png于word/media/image265_1.png，连结word/media/image266_1.png，则word/media/image267_1.png是word/media/image268_1.png中点.

∵word/media/image271_1.png是word/media/image272_1.png的中点，∴word/media/image273_1.png是边word/media/image274_1.png的中位线，word/media/image275_1.png，

注意到word/media/image276_1.png在平面word/media/image277_1.png外，word/media/image278_1.png在平面word/media/image279_1.png内，∴直线word/media/image280_1.png平面word/media/image281_1.png

（2）由（1）知直线word/media/image280_1.png平面word/media/image281_1.png，故word/media/image282_1.png，word/media/image283_1.png到平面word/media/image284_1.png等距离

下面求word/media/image285_1.png到平面word/media/image286_1.png的距离，设这个距离是word/media/image287_1.png

由平面word/media/image288_1.pngword/media/image289_1.png平面word/media/image290_1.png，word/media/image291_1.png，知word/media/image292_1.png平面word/media/image293_1.png，考虑三棱锥word/media/image294_1.png的体积：word/media/image295_1.png

因正方形边长为word/media/image296_1.png，所以word/media/image297_1.png

在word/media/image298_1.png中求得word/media/image299_1.png；在word/media/image300_1.png中求得word/media/image301_1.png，在word/media/image302_1.png中求得word/media/image303_1.png

于是可得word/media/image304_1.png的面积为word/media/image305_1.png，∴由word/media/image306_1.png得，word/media/image307_1.png，解得word/media/image308_1.png

故点word/media/image309_1.png到平面word/media/image310_1.png的距离为word/media/image311_1.png

19.（1）“成绩少于word/media/image312_1.png分”的频率word/media/image313_1.png

④的高度word/media/image314_1.pngword/media/image315_1.png

（2）按照“男生”和“女生”分层抽样

在容量为word/media/image316_1.png的样本中，“男生”人数word/media/image317_1.png，“女生”人数word/media/image318_1.png

“达标”即“成绩不低于word/media/image319_1.png分”的频数word/media/image320_1.png

据此可填表如下：

据表可得卡方统计量word/media/image322_1.pngword/media/image323_1.png

故有不足word/media/image324_1.png的把握认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关

可以认为它们之间没有关联

（3）第①组的频数word/media/image325_1.png；第②组的频数word/media/image326_1.png

记第①组的学生为word/media/image327_1.png，第②组的学生分别为word/media/image328_1.png，word/media/image329_1.png，word/media/image330_1.png，word/media/image331_1.png

基本事件空间word/media/image332_1.png

设事件word/media/image333_1.png

故word/media/image334_1.png

20.（1）依题知word/media/image335_1.png，设word/media/image336_1.png，则word/media/image337_1.png且word/media/image338_1.png，解得word/media/image339_1.png，即word/media/image340_1.png

∵word/media/image341_1.png在直线word/media/image342_1.png上，∴word/media/image343_1.png，word/media/image344_1.png，∴word/media/image345_1.png

（2）由word/media/image346_1.png及word/media/image347_1.png得word/media/image348_1.png，word/media/image349_1.png，∴椭圆方程为word/media/image350_1.png

设直线word/media/image351_1.png方程为word/media/image352_1.png，代入椭圆方程消去word/media/image353_1.png整理得word/media/image354_1.png.依题word/media/image355_1.png，即word/media/image356_1.png

设word/media/image357_1.png，word/media/image358_1.png，则word/media/image359_1.png，word/media/image360_1.png

如果存在word/media/image361_1.png使得word/media/image362_1.png为定值，那么word/media/image363_1.png的取值将与word/media/image364_1.png无关

word/media/image365_1.pngword/media/image366_1.png，令word/media/image367_1.png

则word/media/image368_1.png为关于word/media/image369_1.png的恒等式

∴word/media/image370_1.png，解得word/media/image371_1.png或word/media/image372_1.png

综上可知，满足条件的定点word/media/image373_1.png是存在的，坐标为word/media/image374_1.png及word/media/image375_1.png

21.（1）word/media/image376_1.png（word/media/image377_1.png，word/media/image378_1.png）

画出word/media/image379_1.png（word/media/image380_1.png）及word/media/image381_1.png（word/media/image382_1.png）的图象，它们的零点分别为word/media/image383_1.png和word/media/image384_1.png

①当word/media/image385_1.png时，word/media/image386_1.png在word/media/image387_1.pngword/media/image388_1.png，word/media/image389_1.png，word/media/image390_1.png

②当word/media/image391_1.png时，word/media/image392_1.png在word/media/image390_1.png

③当word/media/image393_1.png时，word/media/image394_1.png在word/media/image395_1.png，word/media/image396_1.png，word/media/image397_1.png

（2）因word/media/image398_1.png

要证word/media/image399_1.png，需证word/media/image400_1.png（word/media/image401_1.png）

法1.即证word/media/image402_1.png（word/media/image403_1.png）

设word/media/image404_1.png（word/media/image405_1.png），word/media/image406_1.png（word/media/image407_1.png）

一方面word/media/image408_1.png（word/media/image409_1.png）word/media/image410_1.png在word/media/image411_1.png，word/media/image412_1.png

则word/media/image413_1.png①

另一方面，word/media/image414_1.png（word/media/image415_1.png）word/media/image416_1.png在word/media/image417_1.png，word/media/image418_1.png

则word/media/image419_1.png②

据①②word/media/image420_1.png

有因①的取等条件是word/media/image421_1.png，②的取等条件是word/media/image422_1.png

故word/media/image423_1.png，即word/media/image424_1.png（word/media/image425_1.png），即word/media/image426_1.png

法2先证word/media/image427_1.png（word/media/image428_1.png）（差函数）

进而word/media/image429_1.png（word/media/image430_1.png）

再证word/media/image431_1.png（差函数或商函数）

说明等号不成立

故word/media/image432_1.png（word/media/image433_1.png）成立.

22.解：（1）word/media/image434_1.png

word/media/image435_1.png

∴word/media/image436_1.png

∴word/media/image437_1.png

∴word/media/image438_1.png

（2）直线word/media/image439_1.png的参数方程可化为word/media/image440_1.pngword/media/image441_1.png为参数

代入word/media/image442_1.png，得word/media/image443_1.png

化简得：word/media/image444_1.png∴word/media/image445_1.png∴word/media/image446_1.png

23.解：（1）不等式word/media/image447_1.png的解集为word/media/image448_1.png

又∵word/media/image449_1.png的解集为word/media/image450_1.png

∴word/media/image451_1.png，word/media/image452_1.png∴word/media/image453_1.png

（2）∵word/media/image454_1.png，使得word/media/image455_1.png成立

∴word/media/image456_1.png，使得word/media/image457_1.png∴word/media/image458_1.png，word/media/image459_1.png

令word/media/image460_1.png

∴word/media/image461_1.png，word/media/image462_1.png

∴word/media/image463_1.png∴word/media/image464_1.png.

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