(完整word)九年级数学教学大纲

第二十一章 一元二次方程

1. 一元二次方程的定义及一般形式：

（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

（2） 一元二次方程的一般形式： de4b030325efaca33b0d61edccddad61.png。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

注意：三个要点，word/media/image2.gif只含有一个未知数；word/media/image3.gif所含未知数的最高次数是2；word/media/image4.gif是整式方程。

2. 一元二次方程的解法

（1）直接开平方法：

形如1b5c22f01d0f1344544ced25bdc96880.png的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得208898a24e3fab21bfb63bfcc14534d7.png或者9e54005617ba648ca6dfe5ebc4546c2c.png，95e029696a8e77db6f75665e6464c095.pnga940c14f332e77315a10900be3030138.png。

注意：若b<0，方程无解

（2）因式分解法：

一般步骤如下：

word/media/image2.gif将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；

word/media/image3.gif将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；

word/media/image4.gif令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

word/media/image10.gif解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

（3） 配方法:

用配方法解一元二次方程de4b030325efaca33b0d61edccddad61.png的一般步骤

word/media/image2.gif二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；

word/media/image3.gif移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；

word/media/image4.gif配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为

6a468c71aa08bb68acd9a4c02a615ce1.png的形式；

word/media/image10.gif用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当11510443f4c574c459afe9c2d35be0f1.png时，方程无解

（4） 公式法：

一元二次方程de4b030325efaca33b0d61edccddad61.png 根的判别式：20e48dd6a929bf5042abad743d6491ff.png

55572ad9aeddcc415b04fa3e0e1cc5eb.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png方程有两个不相等的实根:ef2de9c431f35d0ca9888db8b8133c1b.png（188a110eb3d1e2af311acb07b46f4a3c.png）ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的图像与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴有两个交点

1afea4af73213d645ca37914acb12a91.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png方程有两个相等的实根ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的图像与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴有一个交点

22b283f53d8b0d92b009962318a066af.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png方程无实根ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的图像与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴没有交点

3. 韦达定理（根与系数关系）

我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0之后，设它的两个根是f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png和8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d.png，则f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png和8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d.png与方程的系数a，b，c之间有如下关系：

f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png+8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d.png＝2cb6ab8d54f9bf6231fbd98fb5e17dc1.png； f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png53fe0881d8553a8d801dfb95b88f4e40.png8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d.png＝093f8a967400f274ba09d084a57ef1af.png

4.一元二次方程的应用

列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似

word/media/image2.gif “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；

word/media/image3.gif “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；

word/media/image4.gif “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。

word/media/image10.gif “解”就是求出说列方程的解；

word/media/image27.gif “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。

注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。

第二十二章  二次函数

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如85ac4123cd14f706f40f3750c82be7ac.png（901b880c0a524dd08badef17d935824a.png是常数，570f3094d1e4101e5fd2aee42ed7c589.png）的函数，叫做二次函数。

强调：和一元二次方程类似，二次项系数570f3094d1e4101e5fd2aee42ed7c589.png，而4861b906c6c0e8c17d49c04786cf8d36.png可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数85ac4123cd14f706f40f3750c82be7ac.png的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的二次式，9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的最高次数是2．

⑵ 901b880c0a524dd08badef17d935824a.png是常数，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png是二次项系数，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png是一次项系数，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png是常数项．

2、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：44adeadb899c4c7971a2d9238f6afb63.png的性质：

2. addd06219bcd54986a5d0ef8055a2d5c.png的性质：

上加下减。

3. 72f95aa6400a22859c641031ad883536.png的性质：

左加右减

word/media/image69_1.png

4. 49d31664ceabafbb1f9f272c5916d4ca.png的性质：

5．二次函数的图象与性质附图如下：

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式49d31664ceabafbb1f9f272c5916d4ca.png，确定其顶点坐标e1f0955f9a3a53a9a6d2543f3b42d328.png；

⑵ 保持抛物线44adeadb899c4c7971a2d9238f6afb63.png的形状不变，将其顶点平移到e1f0955f9a3a53a9a6d2543f3b42d328.png处，具体平移方法如下：

word/media/image83_1.png

2. 平移规律

在原有函数的基础上“2510c39011c5be704182423e3a695e91.png值正右移，负左移；8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

四、二次函数49d31664ceabafbb1f9f272c5916d4ca.png与85ac4123cd14f706f40f3750c82be7ac.png的比较

从解析式上看，49d31664ceabafbb1f9f272c5916d4ca.png与85ac4123cd14f706f40f3750c82be7ac.png是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即348d1159d68d45fffe7784a5cb2ea963.png，其中e2058ce3c0097735728012e2390a04e5.png．

五、二次函数85ac4123cd14f706f40f3750c82be7ac.png图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数85ac4123cd14f706f40f3750c82be7ac.png化为顶点式405dafea41b55ec5fcee9918e8d81e9a.png，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与415290769594460e2e485922904f345d.png轴的交点70f69dcfef82966f6e01179e2dda517a.png、以及70f69dcfef82966f6e01179e2dda517a.png关于对称轴对称的点c0467933bfe410f1ff64d649ce0d2112.png、与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的交点88840287e4cc0edcde3cec23078998a8.png，97c7dafba196b710f36bc7e78807c11c.png（若与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的交点，与415290769594460e2e485922904f345d.png轴的交点.

6、二次函数85ac4123cd14f706f40f3750c82be7ac.png的性质

1. 当323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png时，抛物线开口向上，对称轴为7e4d00683fb8b156188622da21b2fbf9.png，顶点坐标为96d21835dffa17999aac47d4af879fea.png．

当8b0b98c9e0109cd34c2c229e28175f84.png时，415290769594460e2e485922904f345d.png随9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的增大而减小；当db3789434dc557589a2ddd76bd1bb124.png时，415290769594460e2e485922904f345d.png随9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的增大而增大；

当7e4d00683fb8b156188622da21b2fbf9.png时，415290769594460e2e485922904f345d.png有最小值33be23f266b55151e721592541c15f43.png．

2. 当cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png时，抛物线开口向下，对称轴为7e4d00683fb8b156188622da21b2fbf9.png，顶点坐标为96d21835dffa17999aac47d4af879fea.png．

当8b0b98c9e0109cd34c2c229e28175f84.png时，415290769594460e2e485922904f345d.png随9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的增大而增大；当db3789434dc557589a2ddd76bd1bb124.png时，415290769594460e2e485922904f345d.png随9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的增大而减小；

当7e4d00683fb8b156188622da21b2fbf9.png时，415290769594460e2e485922904f345d.png有最大值33be23f266b55151e721592541c15f43.png．

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：85ac4123cd14f706f40f3750c82be7ac.png（0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png为常数，570f3094d1e4101e5fd2aee42ed7c589.png）；

2. 顶点式：405dafea41b55ec5fcee9918e8d81e9a.png（0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，2510c39011c5be704182423e3a695e91.png，8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为常数，570f3094d1e4101e5fd2aee42ed7c589.png）；

3. 两根式：c362363764b868bbcfe1fac23ce73bf3.png（570f3094d1e4101e5fd2aee42ed7c589.png，f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png，8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d.png是抛物线与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴有交点，即188a110eb3d1e2af311acb07b46f4a3c.png时，抛物线

的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png

二次函数85ac4123cd14f706f40f3750c82be7ac.png中，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png作为二次项系数，显然570f3094d1e4101e5fd2aee42ed7c589.png．

⑴ 当323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png时，抛物线开口向上，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值越大，开口越小，反之0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值越小，开口越大；

⑵ 当cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png时，抛物线开口向下，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值越小，开口越小，反之0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值越大，开口越大．

总结起来，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png决定了抛物线开口的大小和方向，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的正负决定开口方向，70d96dda12bf002dad3cd42ecf0544c7.png的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png

在二次项系数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png确定的前提下，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png决定了抛物线的对称轴．

⑴ 在323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png的前提下，

当539fa66a54d60fdbd6278ccebed13ddd.png时，0b61e2b8417291961dc5004b80232627.png，即抛物线的对称轴在415290769594460e2e485922904f345d.png轴左侧；

当f6d5eef5ee5e51fc839bb54201c62e3b.png时，576c4755bb92a02e08c4d1095b269268.png，即抛物线的对称轴就是415290769594460e2e485922904f345d.png轴；

当e117be13e3711019f9681197ed90f543.png时，22e1972e27c9027d9576e1b861221b1c.png，即抛物线对称轴在415290769594460e2e485922904f345d.png轴的右侧．

⑵ 在cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png的前提下，结论刚好与上述相反，即

当539fa66a54d60fdbd6278ccebed13ddd.png时，22e1972e27c9027d9576e1b861221b1c.png，即抛物线的对称轴在415290769594460e2e485922904f345d.png轴右侧；

当f6d5eef5ee5e51fc839bb54201c62e3b.png时，576c4755bb92a02e08c4d1095b269268.png，即抛物线的对称轴就是415290769594460e2e485922904f345d.png轴；

当e117be13e3711019f9681197ed90f543.png时，0b61e2b8417291961dc5004b80232627.png，即抛物线对称轴在415290769594460e2e485922904f345d.png轴的左侧．

总结起来，在0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png确定的前提下，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png决定了抛物线对称轴的位置．

3. 常数项4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png

⑴ 当96df96dd95bbf61a8224853c7a06c48c.png时，抛物线与415290769594460e2e485922904f345d.png轴的交点在9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴上方，即抛物线与415290769594460e2e485922904f345d.png轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当633bff1fa0b2fabb9e12f0f4285e42cb.png时，抛物线与415290769594460e2e485922904f345d.png轴的交点为坐标原点，即抛物线与415290769594460e2e485922904f345d.png轴交点的纵坐标为cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png；

⑶ 当856c4e8462b558de3cf5d0a1a657b672.png时，抛物线与415290769594460e2e485922904f345d.png轴的交点在9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴下方，即抛物线与415290769594460e2e485922904f345d.png轴交点的纵坐标为负．

总结起来，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png决定了抛物线与415290769594460e2e485922904f345d.png轴交点的位置．

总之，只要901b880c0a524dd08badef17d935824a.png都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．

用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．

一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1. 关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴对称

85ac4123cd14f706f40f3750c82be7ac.png关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴对称后，得到的解析式是c64226c467af29a69a86fd0f584fcac4.png；

49d31664ceabafbb1f9f272c5916d4ca.png关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴对称后，得到的解析式是f07c6c3a9055daabf6ef0c38875b9882.png；

2. 关于415290769594460e2e485922904f345d.png轴对称

85ac4123cd14f706f40f3750c82be7ac.png关于415290769594460e2e485922904f345d.png轴对称后，得到的解析式是d6fcc48de738e4a39e008300a43ad4f3.png；

49d31664ceabafbb1f9f272c5916d4ca.png关于415290769594460e2e485922904f345d.png轴对称后，得到的解析式是3e824ad2b9ea69ab1c15659ca6a63d29.png；

3. 关于原点对称

85ac4123cd14f706f40f3750c82be7ac.png关于原点对称后，得到的解析式是49fa790c6e19088d86efdf37a9f8cfd8.png；

49d31664ceabafbb1f9f272c5916d4ca.png关于原点对称后，得到的解析式是3a049b74fc07034e3ad427b2bebd7525.png；

4. 关于顶点对称

85ac4123cd14f706f40f3750c82be7ac.png关于顶点对称后，得到的解析式是3f4575c42b6afe358f9ec84a6c77a244.png；

49d31664ceabafbb1f9f272c5916d4ca.png关于顶点对称后，得到的解析式是b3096d2afa471fc95e6079a86d4bb563.png．

5. 关于点db20f2cf32365169feb82c7e177359f6.png对称

49d31664ceabafbb1f9f272c5916d4ca.png关于点db20f2cf32365169feb82c7e177359f6.png对称后，得到的解析式是e0e385cb06291441ecfbed67cd892fb7.png

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此70d96dda12bf002dad3cd42ecf0544c7.png永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴交点情况）：

一元二次方程0c4913db725b72609d4825124dda12aa.png是二次函数85ac4123cd14f706f40f3750c82be7ac.png当函数值fab37d6c4a697fe660387d3ff8e889a4.png时的特殊情况.

图象与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的交点个数：

① 当a531503b7f221f27f8f031cfb45d296e.png时，图象与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴交于两点b9dfb7ef0ef71e48842b47dcc33edd95.pngdce45ccc584f0584bf298d292b9589c3.png，其中的29ef71c19f1e051b020cd79bd96c9fe3.png是一元二次方程39313c836baf33226a376d53d70cafd0.png的两根．这两点间的距离23cd0c910c66ecc8f1ab8480aef16c32.png.

② 当1afea4af73213d645ca37914acb12a91.png时，图象与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴只有一个交点；

③ 当22b283f53d8b0d92b009962318a066af.png时，图象与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴没有交点.

09b701c3f9333d39307f32ff74014213.png 当323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png时，图象落在9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的上方，无论9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png为任何实数，都有34b506d4a8cb0a7bc03701bec2c7691c.png；

f4e18c72750d3cc1bea7ac84f6a63be6.png 当cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png时，图象落在9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的下方，无论9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png为任何实数，都有8beb86a64c6517890266fae9b3b68d4d.png．

2. 抛物线85ac4123cd14f706f40f3750c82be7ac.png的图象与415290769594460e2e485922904f345d.png轴一定相交，交点坐标为a71cb1cc81372a42a1c3bd0795acf39e.png，a1424c62a9dbd7b028970278937a0a79.png；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数85ac4123cd14f706f40f3750c82be7ac.png中0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png的符号，或由二次函

数中0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式de938a590630a3bf523e00456565ecbb.png本身就是所含字母9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的二次函数；下面以323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

11、实际问题与二次函数

1.利用二次函数求几何图形面积的最值问题

2.利用二次函数求最大利润问题

3.建立适当的坐标系解决实际问题

4.利用二次函数解决图形运动问题

第二十三章旋转

一、图形的旋转

1.图形旋转有关的概念

2.旋转的性质及其应用

3.图形旋转的作图步骤

4.旋转、平移和轴对称的异同点

5.利用旋转巧添辅助线解题

6.旋转问题中的常见图形

二、中心对称

1.中心对称的概念

2.中心对称的性质

3.中心对称的作图方法

4.中心对称图形

5.关于原点对称的点的坐标

6.中心对称和中心对称图形的区别与联系

7.对称图形在平面直角系中的综合应用

第二十四章圆

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

word/media/image248_1.png二、点与圆的位置关系

1、点在圆内 c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 51b1686930ec9c1906a0bcd78c2473e8.png c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 点0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png在圆内；

2、点在圆上 c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 7466be319e5591721ba646d86a2b18ab.png c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png在圆上；

3、点在圆外 c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 9d525a0859915a480022e0f7d8ce5034.png c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 9d525a0859915a480022e0f7d8ce5034.png c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 无交点；

2、直线与圆相切 c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 7466be319e5591721ba646d86a2b18ab.png c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 有一个交点；

3、直线与圆相交 c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 51b1686930ec9c1906a0bcd78c2473e8.png c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 有两个交点；

word/media/image261_1.pngword/media/image262_1.pngword/media/image263_1.png

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 无交点 c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 32613843fe9c069ca8e36429a13accb8.png；

外切（图2）c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 有一个交点 c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png b4ab970ba30c36b904b8a82180df3bb0.png；

相交（图3）c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 有两个交点 c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png f9f7e39ad01d0ad8bf2bb02b115fb2ff.png；

内切（图4）c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 有一个交点 c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png a1bc71662b176cc129b895b89a6f2f73.png；

内含（图5）c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 无交点 c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 9bfcea7ed161c8181a3020ff8586d92d.png；

word/media/image269_1.pngword/media/image270_1.png word/media/image271_1.png

word/media/image272.gif

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png是直径 ②248b33f82999360c311305e5385e903b.png ③cff40f032085587a20bc04b87b4a474b.png ④ 弧f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png43ec3e5dee6e706af7766fffea512721.png弧87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png ⑤ 弧4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png43ec3e5dee6e706af7766fffea512721.png弧e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png

word/media/image282.gif中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙f186217753c37b9b9f958d906208506e.png中，∵b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png∥4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png

∴弧4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png43ec3e5dee6e706af7766fffea512721.png弧87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png

六、圆心角定理

顶点到圆心的角，叫圆心角。

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

word/media/image287_1.png只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①1f2b6ec5d7a8823fbcd90e2d0d10120a.png；②65c795dd29d5a7729410b7352b27b30f.png；

③a07a7cff743fb26e11d8ecb2a67af994.png；④ 弧5fc810cf62601df84b7923b9964c53e6.png43ec3e5dee6e706af7766fffea512721.png弧87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png

word/media/image292_1.png七、圆周角定理

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵3d104279e688b561e0146e1d5bec4e43.png和ad08376ffc471de7186cb929c64de87a.png是弧b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png所对的圆心角和圆周角

∴f089689faeeae059e383773758675021.png

word/media/image297.emf2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙f186217753c37b9b9f958d906208506e.png中，∵7846ef36b35dc3fcb5148332cd0ca6f3.png、0f77635cd89fbcca08aedfce3f769a60.png都是所对的圆周角

∴34b73b310c6083e4abd24b29160d73f3.png

word/media/image302_1.png推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙f186217753c37b9b9f958d906208506e.png中，∵b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png是直径 或∵97d188985389d75a5eef275c57802914.png

∴97d188985389d75a5eef275c57802914.png ∴b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png是直径

word/media/image306_1.png推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png中，∵e1e8f7880fc559122e7f49cac5465fe5.png

∴△902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png是直角三角形或97d188985389d75a5eef275c57802914.png

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

word/media/image309_1.png 即：在⊙f186217753c37b9b9f958d906208506e.png中，

∵四边形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png是内接四边形

∴62857173f081e1e016e2b223207de890.png 848d2ec7f84061a782a105338804e4e4.png

a6533ce1437e3862282b976cb49f5b29.png

九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

word/media/image314_1.png 即：∵96004513392d33148ba56ada0e5b93cb.png且943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png过半径ffb4513f2a3a46ad17d19ff6b56f9a2d.png外端

∴943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png是⊙f186217753c37b9b9f958d906208506e.png的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理

切线长定理：

word/media/image318_1.png 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵06f6a489209115c5cef3f45036aad3ec.png、cd203ccd68b84de1c5df8fd890e104e0.png是的两条切线

∴aa7123ca3b5ed3bc8102cbc5a9d15bd4.png

b3918665ee674080bf505e1b2d862187.png平分336626b51b911194920e1ffd9513656c.png

word/media/image324_1.png十一、圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙f186217753c37b9b9f958d906208506e.png中，∵弦b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png、4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png相交于点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，

∴d745c1773a8f3bd849efe131c5bef706.png

word/media/image330_1.png（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙f186217753c37b9b9f958d906208506e.png中，∵直径248b33f82999360c311305e5385e903b.png，

∴c1c0cc846bd3763c6574d65df39fa93e.png

word/media/image333_1.png（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙f186217753c37b9b9f958d906208506e.png中，∵06f6a489209115c5cef3f45036aad3ec.png是切线，cd203ccd68b84de1c5df8fd890e104e0.png是割线

∴ 76767c6512733834cb3ff270b15a9404.png

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙f186217753c37b9b9f958d906208506e.png中，∵cd203ccd68b84de1c5df8fd890e104e0.png、3acf83834396fa1c878707132ead62b8.png是割线

∴a5aeb5e719ab1225adeeff08a7db390e.png

word/media/image340.emf十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：3a97ce93ca242f275a8e22ad56c83990.png垂直平分b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png。

即：∵⊙48f3e78fb1319ea1c2706c6dac1e9b9a.png、⊙612275025e7d8f5e663bf9355bd422b4.png相交于7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png两点

word/media/image347_1.png ∴3a97ce93ca242f275a8e22ad56c83990.png垂直平分b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png

十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：446ac706498b4f362c8c5131fb0acfb5.png中，63e7af4551aa4508742d0530a71404ba.png；

（2）外公切线长：6f8247a9b3f148deefbcd1976e311ca1.png是半径之差； 内公切线长：6f8247a9b3f148deefbcd1976e311ca1.png是半径之和 。

word/media/image352_1.png十四、圆内正多边形的计算

（1）正三角形

在⊙f186217753c37b9b9f958d906208506e.png中△902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png是正三角形，有关计算在04d2f39daaa620744838404bda334c86.png中进行：0e2ae8e8cb8e75616f530d509c660507.png；

word/media/image356_1.png

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在4b8fdb3688166cc1abbf6a20cc41cf3c.png中进行，aad03a5f4ffbf9d70d590d46418bd5db.png：

word/media/image359_1.png（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在71a9d233c4be6450be3c1d8987501411.png中进行，c787278881adc4a68bfc8ce6e4d09157.png.

word/media/image362_1.png十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：（1）弧长公式：fe0b812a942d1be4d6f9049e9a918419.png；

（2）扇形面积公式： e7565364cb8f94c8447297389c60d781.png

7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png：圆心角 e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png：扇形多对应的圆的半径 2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png：扇形弧长 5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png：扇形面积

word/media/image369_1.png2、圆柱：

（1）A圆柱侧面展开图

db20fe93ffb980f2b2f6b54e8afb6c7f.png=188ddc24f649cb3afc68d26488b01bc0.png

word/media/image372_1.pngB圆柱的体积：3525f85486b286a502f1fa015baceafc.png

（2）A圆锥侧面展开图

e70ecc5f19d99b9992d1c19e252ef85a.png=c56992e0afbe82ac4a66a70b2a7ea8b4.png

B圆锥的体积：f278d27fbf3856542ed0c9c9313b49da.png

第二十五章概率初步

一、概率

1.随机事件

（1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．

（2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．

（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：

2.可能性大小

（1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．

（2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．

3.概率的意义

（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．

（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．

（3）概率取值范围：0≤p≤1．

（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．

（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．

（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．

二、用列举法求概率

1.概率的公式

（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．

（2）P（必然事件）=1．

（3）P（不可能事件）=0．

2. 几何概型的概率问题 是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题度比，面积比，体积比等．

3.列举法和树状法

（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．

（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．

（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．

（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．

4.游戏公平性

（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．

（2）概率=所求情况数总情况数．

三、利用频率估计概率

1. 利用频率估计概率

（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．

（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．

2.模拟实验

（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟实验．

（2）模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．

（3）模拟实验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟实验即可． 

第二十六章反比例函数

1、定义与一般概念

1.一般地，形如bc4250140fa46f91db1735de39bfdada.png（8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为常数，9c428c8e44c663f630d275d197d6a034.png）的函数称为反比例函数。bc4250140fa46f91db1735de39bfdada.png还可以写成624990db4b5fbcc7ac4962dfff4592ee.png56cb2620366f4925e40545641d7b6f65.png

2.反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数415290769594460e2e485922904f345d.png，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png（也叫做比例系数8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png），分母中含有自变量9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，且指数为1.

⑵比例系数14ff79d0c269ab79b15dc3ac3a3544fd.png

⑶自变量9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的取值为一切非零实数。

⑷函数415290769594460e2e485922904f345d.png的取值是一切非零实数。

二、反比例函数的图像

⑴图像的画法：描点法

1 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）

2 描点（有小到大的顺序）

3 连线（从左到右光滑的曲线）

⑵反比例函数的图像是双曲线，bc4250140fa46f91db1735de39bfdada.png（8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为常数，14ff79d0c269ab79b15dc3ac3a3544fd.png）中自变量7f36509f20b76eba66f86f3316fd7d8e.png，函数值8c3810987f5dda52afbac270f401519c.png，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是5dbad057040ec6eb5aa5841786e25d33.png或9d41bad04520a29bdd62232e461f366c.png）。

⑷反比例函数bc4250140fa46f91db1735de39bfdada.png（14ff79d0c269ab79b15dc3ac3a3544fd.png）中比例系数8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png的几何意义是：过双曲线bc4250140fa46f91db1735de39bfdada.png （14ff79d0c269ab79b15dc3ac3a3544fd.png）上任意引9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴415290769594460e2e485922904f345d.png轴的垂线，所得矩形面积为b3142b2990f0d06e7431f1e424e10788.png。

三、反比例函数性质

四、待定系数法求解析式

反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png）

“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数bc4250140fa46f91db1735de39bfdada.png中的两个变量必成反比例关系。

五、反比例函数的应用

用反比例函数解决实际问题 反比例函数的应用须注意以下几点： 

①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。 

②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。

 ③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。

第二十七章相似

一、 相似

每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形。 相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． 若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．

二、相似三角形

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形

1.相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。

2.成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比

与另两条线段的长度的比相等，即d c ba （或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

3.黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割，分割点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。

三、相似三角形的判定方法:

<一>根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）

1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；

2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似； 3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似； 4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；

<二>直角三角形相似判定定理

1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

<三>一定相似的三角形

（1）两个全等的三角形一定相似。（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1）

（2）两个等腰直角三角形一定相似（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。）

（3）两个等边三角形一定相似。

<四>三角形相似的判定定理推论

推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

四、 相似三角形的性质

（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例。

（2）相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

（3）相似三角形周长的比等于相似比。

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

（5）相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方

（6）若a:c =c:b，即c2 =ab,则c叫做a,b的比例中项

（7）c/d=a/b 等同于ad=bc.

五、相似的应用：位似

（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．

（2）掌握位似图形概念，需注意：①位似是 一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．

（3）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．

（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．

（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。

第二十八章锐角三角函数

1、勾股定理

直角三角形两直角边0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的平方和等于斜边4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png的平方。

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

word/media/image437.gifword/media/image438.gif3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

6、正弦、余弦的增减性：

当0°≤ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png≤90°时，sinab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png随ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的增大而增大，cosab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png随ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：

当0°<ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png<90°时，tanab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png随ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的增大而增大，cotab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png随ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的增大而减小。

依据：①边的关系：dc2c1c55d1fd18bc0084c64f61dfbbb4.png；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)

9、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

word/media/image457_1.png word/media/image458.gif

(2)坡面的铅直高度2510c39011c5be704182423e3a695e91.png和水平宽度2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的比叫做坡度(坡比)。用字母865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png表示，即db6e1216a0d4410eafdea9cd59f8b9bb.png。坡度一般写成beb344e13d853fde15328b7551790911.png的形式，如247fee94e0d4f337b642ee4364f10c0c.png等。

把坡面与水平面的夹角记作ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png(叫做坡角)，那么5a772b0b08ca5cfeca77b476c86221d6.png。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向），

南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

第二十九章投影与视图

一、投影

1.投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。

2.平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。

3.中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。

二、视图

1.当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。

俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。

左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。

2.三视图包括：主视图、俯视图和左视图。

①三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视图要画在正视图的右边。

②视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。

③在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小的平面体（或曲面体）。

④在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。

物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影。

太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。

探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。

⑤区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。

眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区。

3.从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。

①点在一个平面上的投影仍是一个点；

②线段在一个面上的投影可分为三种情况：

线段垂直于投影面时，投影为一点；

线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；

线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。

③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：

平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；

平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；

平面图形和投影面倾斜的情况下 ，其投影小于实际的形状。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c7dc3a683e1ec5da50e2524de518964bce84d245.html