2017-2018年浙江省金华市兰溪市聚仁教育集团九年级（上）期中数学试卷和答案

2017-2018学年浙江省金华市兰溪市聚仁教育集团九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（　　）

A．开口向下 B．对称轴是y轴

C．都有最高点 D．y随x的增大而增大

2．（3分）在二次函数y=x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（　　）

A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0

3．（3分）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（　　）

A． B． C． D．

4．（3分）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（　　）

A．22° B．26° C．32° D．68°

5．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）

A．2 B．4 C．4 D．8

6．（3分）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B． C． D．

7．（3分）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（　　）

A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2

8．（3分）如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．1.2

9．（3分）如图，某数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面上的影长为2.6m，请你帮她算一下，这棵树的高度是（　　）

A．3.25 m B．4.25 m C．4.45 m D．4.75 m

10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（每小题4分，共24分）

11．（4分）把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a（x﹣h）2+k的形式　 　．

12．（4分）如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于　 　度．

13．（4分）已知正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，点E是弧AD的中点，连结BE，CE，CE交AD于H点，则=　 　．

14．（4分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒，则t=　 　秒时，S1=2S2．

15．（4分）在平面直角坐标系中，已知点 A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为　 　．

16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，

（1）当DF⊥BC时，则DE的长　 　；

（2）线段AF的长取最小值时，BF的长为　 　．

三、解答题（本大题有8小题，共66分）

17．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）．

（1）按下列要求作图：

①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1；

②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2．

（2）求点C1在旋转过程中所经过的路径长．

18．（6分）如图，反比例函数y=的图象经过点A（﹣1，4），直线y=﹣x+b（b≠0）与双曲线y=在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．

（1）求k的值；

（2）当b=﹣2时，求△OCD的面积；

（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．

19．（8分）自主学习，请阅读下列解题过程．

解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．

解：设x2﹣5x=0，解得：x1=0，x2=5，则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0，或x＞5．

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的　 　和　 　．（只填序号）

①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想

（2）一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为　 　．

（3）用类似的方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．

20．（8分）如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．

（1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．

21．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．

（1）求证：BE=CE；

（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．

22．（8分）课本中有一道作业题：

有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？

小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．

（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．

（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

23．（10分）如图1，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC，CD于点E，F．

（1）如图2，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；

（2）知识探究：①如图3，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC，CF与BC的数量关系；

②在顶点G的运动过程中，若=t，请直接写出线段EC，CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；

（3）问题解决：如图4，已知菱形边长为8，BG=7，CF=，当t＞2时，求EC的长度．

24．（12分）如图，抛物线y=x2﹣3x交x轴的正半轴于点A，点B（，a）在抛物线上，点C是抛物线对称轴上的一点，连接AB、BC，以AB、BC为邻边作□ABCD，记点C纵坐标为n，

（1）求a的值及点A的坐标；

（2）当点D恰好落在抛物线上时，求n的值；

（3）记CD与抛物线的交点为E，连接AE，BE，当△AEB的面积为7时，n=　 　．（直接写出答案）

2017-2018学年浙江省金华市兰溪市聚仁教育集团九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（　　）

A．开口向下 B．对称轴是y轴

C．都有最高点 D．y随x的增大而增大

【解答】解：（1）y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；

（2）y=﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；

（3）y=x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点．

故选：B．

2．（3分）在二次函数y=x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（　　）

A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0

【解答】解：抛物线的对称轴是x=1，

则当x=1时，y=1﹣2﹣3=﹣4，是最小值；

当x=3时，y=9﹣6﹣3=0是最大值．

故选：A．

3．（3分）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵点A（﹣1，m），B（1，m），

∴A与B关于y轴对称，故A，B错误；

∵B（1，m），C（2，m+1），

∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，D错误．

故选：C．

4．（3分）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（　　）

A．22° B．26° C．32° D．68°

【解答】解：∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A=68°，

∴∠BOC=2∠A=136°．

∵OB=OC，

∴∠OBC==22°．

故选：A．

5．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）

A．2 B．4 C．4 D．8

【解答】解：∵∠A=22.5°，

∴∠BOC=2∠A=45°，

∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，

∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，

∴CE=OC=2，

∴CD=2CE=4．

故选：C．

6．（3分）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；

D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．

故选：C．

7．（3分）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（　　）

A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2

【解答】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，

∴△DEF∽△BCF，

∴=，

∵点E是边AD的中点，

∴AE=DE=AD，

∴=．

故选：D．

8．（3分）如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．1.2

【解答】解：∵等腰Rt△ABC，BC=4，

∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4，

∴∠D=90°，

在Rt△ABD中，AD=，AB=4，

∴BD=，

∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，

∴△ADE∽△BCE，

∵AD：BC=：4=1：5，

∴相似比为1：5，

设AE=x，

∴BE=5x，

∴DE=﹣5x，

∴CE=28﹣25x，

∵AC=4，

∴x+28﹣25x=4，

解得：x=1．

故选：C．

9．（3分）如图，某数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面上的影长为2.6m，请你帮她算一下，这棵树的高度是（　　）

A．3.25 m B．4.25 m C．4.45 m D．4.75 m

【解答】解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，

根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得=，

则=，

解得：BD=0.96，

∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56（m），

再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得：

=，

∴解得：x=4.45，

∴树高是4.45m．

故选：C．

10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=5，

根据折叠的性质可知AC=CD，∠A=∠CDE，CE⊥AB，

∴B′D=BC﹣CD=4﹣3=1，

∵∠B′DF=∠CDE，

∴∠A=∠B′DF，

∵∠B=∠B′，

∴△ABC∽△DB′F，

∴=

=，

∴B′F=，

故选：B．

二、填空题（每小题4分，共24分）

11．（4分）把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a（x﹣h）2+k的形式　y=（x﹣6）2﹣36　．

【解答】解：y=x2﹣12x=（x2﹣12x+36）﹣36=（x﹣6）2﹣36，即y=（x﹣6）2﹣36．

故答案为y=（x﹣6）2﹣36．

12．（4分）如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于　60　度．

【解答】解：∵A（0，1），B（0，﹣1），

∴AB=2，OA=1，

∴AC=2，

在Rt△AOC中，cos∠BAC==，

∴∠BAC=60°，

故答案为60．

13．（4分）已知正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，点E是弧AD的中点，连结BE，CE，CE交AD于H点，则=　　．

【解答】解：过点E作EN⊥BC，交AD于点M，连接OA，如图所示．

∵四边形ABCD为正方形，⊙O的半径为3，

∴△OAM为等腰直角三角形，OA=3，

∴OM=ON=AM=OA=3，

∴EM=OE﹣OM=3﹣3，MN=OM+ON=6．

∵MH∥CN，

∴△EMH∽△ENC，

∴==．

故答案为：．

14．（4分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒，则t=　6　秒时，S1=2S2．

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，

∴AD=BD=CD=8cm，

又∵AP=t，

则S1=AP•BD=×8×t=8t，PD=8﹣t，

∵PE∥BC，

∴∠AEP=∠C=45°，∠APE=∠ADC=90°，

∴∠PAE=∠PEA=45°

∴PE=AP=t，

∴S2=PD•PE=（8﹣t）•t，

∵S1=2S2，

∴8t=2（8﹣t）•t，

解得：t=6或0（舍弃）

故答案是：6．

15．（4分）在平面直角坐标系中，已知点 A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为　y=﹣x+4　．

【解答】解：∵△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，

∴△BOA≌△CDA，

∴AB=AC，OA=AD，

∵B、D、C共线，AD⊥BC，

∴BD=CD=OB，

∵OA=AD，BO=CD=BD，

∴OD⊥AB，

设直线AB解析式为y=kx+b，

把A与B坐标代入得：，

解得：，

∴直线AB解析式为y=﹣x+4，

∴直线OD解析式为y=x，

联立得：，

解得：，即M（，），

∵M为线段OD的中点，

∴D（，），

设直线CD解析式为y=mx+n，

把B与D坐标代入得：，

解得：m=﹣，n=4，

则直线CD解析式为y=﹣x+4．

故答案为：y=﹣．

16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，

（1）当DF⊥BC时，则DE的长　　；

（2）线段AF的长取最小值时，BF的长为　　．

【解答】解：（1）如图，当DF⊥BC时，过E作EG⊥BC于G，

由折叠可得，∠BDE=∠BDF=45°，

∴△DEG是等腰直角三角形，

设DG=EG=x，则BG=3﹣x，

∵∠C=∠EGB=90°，∠B=∠B，

∴△BEG∽△BAC，

∴，即，

解得x=，

∴Rt△DEG中，DE=x=；

故答案为：；

（2）由题意得：DF=DB=3，点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D；

连接AD交⊙D于点F，此时AF的长最小，

∵点D是边BC的中点，

∴CD=BD=3，而AC=4，

由勾股定理得：AD=5，而FD=3，

∴FA=5﹣3=2，即线段AF长的最小值是2，

如图，连接BF，过F作FH⊥BC于H，

∵∠ACB=90°，

∴FH∥AC，

∴△FDH∽△ADC，

∴==，即==，

∴HF=，DH=，

∴BH=，

∴BF==，

故答案为：．

三、解答题（本大题有8小题，共66分）

17．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）．

（1）按下列要求作图：

①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1；

②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2．

（2）求点C1在旋转过程中所经过的路径长．

【解答】解：（1）①如图，△A1B1C1为所作；

②如图，△A2B2C2为所作；

（2）点C1在旋转过程中所经过的路径长==2π．

18．（6分）如图，反比例函数y=的图象经过点A（﹣1，4），直线y=﹣x+b（b≠0）与双曲线y=在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．

（1）求k的值；

（2）当b=﹣2时，求△OCD的面积；

（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点A（﹣1，4），

∴k=﹣1×4=﹣4；

（2）当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，

∵y=0时，﹣x﹣2=0，解得x=﹣2，

∴C（﹣2，0），

∵当x=0时，y=﹣x﹣2=﹣2，

∴D（0，﹣2），

∴S△OCD=×2×2=2；

（3）存在．

当y=0时，﹣x+b=0，解得x=b，则C（b，0），

∵S△ODQ=S△OCD，

∴点Q和点C到OD的距离相等，

而Q点在第四象限，

∴Q的横坐标为﹣b，

当x=﹣b时，y=﹣x+b=2b，则Q（﹣b，2b），

∵点Q在反比例函数y=﹣的图象上，

∴﹣b•2b=﹣4，解得b=﹣或b=（舍去），

∴b的值为﹣．

19．（8分）自主学习，请阅读下列解题过程．

解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．

解：设x2﹣5x=0，解得：x1=0，x2=5，则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0，或x＞5．

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的　①　和　③　．（只填序号）

①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想

（2）一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为　0＜x＜5　．

（3）用类似的方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．

【解答】解：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；

故答案为：①，③；

（2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，

此时y＜0，即x2﹣5x＜0，

∴一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为：0＜x＜5；

故答案为：0＜x＜5．

（3）设x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=3，x2=﹣1，

∴抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．

画出二次函数y=x2﹣2x﹣3的大致图象（如图所示），

由图象可知：当x＜﹣1，或x＞3时函数图象位于x轴上方，

此时y＞0，即x2﹣2x﹣3＞0，

∴一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为：x＜﹣1，或x＞3．

20．（8分）如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．

（1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．

【解答】（1）证明：∵∠ABC=∠APC，∠BAC=∠BPC，∠APC=∠CPB=60°，

∴∠ABC=∠BAC=60°，

∴△ABC是等边三角形．

（2）解：∵△ABC是等边三角形，AB=2，

∴AC=BC=AB=2，∠ACB=60°．

在Rt△PAC中，∠PAC=90°，∠APC=60°，AC=2，

∴AP==2．

在Rt△DAC中，∠DAC=90°，AC=2，∠ACD=60°，

∴AD=AC•tan∠ACD=6．

∴PD=AD﹣AP=6﹣2=4．

21．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．

（1）求证：BE=CE；

（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．

【解答】（1）证明：连结AE，如图，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠AEC=90°，

∴AE⊥BC，

而AB=AC，

∴BE=CE；

（2）连结DE，如图，

∵BE=CE=3，

∴BC=6，

∵∠BED=∠BAC，

而∠DBE=∠CBA，

∴△BED∽△BAC，

∴=，即=，

∴BA=9，

∴AC=BA=9．

22．（8分）课本中有一道作业题：

有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？

小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．

（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．

（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

【解答】解：（1）设矩形的边长PN=2y（mm），则PQ=y（mm），由条件可得△APN∽△ABC，

∴=，

即=，

解得y=，

∴PN=×2=（mm），

答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；

（2）设PN=x（mm），矩形PQMN的面积为S（mm2），

由条件可得△APN∽△ABC，

∴=，

即=，

解得PQ=80﹣x．

∴S=PN•PQ=x（80﹣x）=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+2400，

∴S的最大值为2400mm2，此时PN=60mm，PQ=80﹣×60=40（mm）．

23．（10分）如图1，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC，CD于点E，F．

（1）如图2，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；

（2）知识探究：①如图3，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC，CF与BC的数量关系；

②在顶点G的运动过程中，若=t，请直接写出线段EC，CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；

（3）问题解决：如图4，已知菱形边长为8，BG=7，CF=，当t＞2时，求EC的长度．

【解答】（1）证明：如图2中，在CA上取一点M，使得CM=CE，连接EM．

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，

∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

∴∠AB=AC，∠BAC=∠EAF=60°，∠B=∠ACF=60°，

∴∠BAE=∠CAF，

在△BAE和△CAF中，，

∴△ABE≌△ACF，

∴AE=AF，∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∵CE=CM，∠ECM=60°，

∴△ECM是等边三角形，

∴∠AEF=∠MEC=60°，AE=EF，EM=EC，

∴∠AEM=∠FEC，

在△AEM和△FEC中，

，

∴△AEM≌△FEC，

∴AM=CF，

∴BC=AC=AM+CM=EC+CF．

（2）①结论：EC+CF=BC．

理由：如图3中，取BC中点P，CD中点Q，连接PG、GQ．

∵AG=GC，CP=BP，CQ=DQ，

∴PG∥AB，GQ∥QD，

∴∠CPG=∠B=60°，∠CGP=∠CAB=60°，

∴△CPG是等边三角形，同理可证△CQG是等边三角形，

由（1）可知，CE+CF=PC=BC．

②结论：CE+CF=．

理由：如图4中，作GP∥AB交BC于P，GQ∥AD交CD于Q．

∴PG∥AB，GQ∥QD，

∴∠CPG=∠B=60°，∠CGP=∠CAB=60°，

∴△CPG是等边三角形，同理可证△CQG是等边三角形，

由（1）可知，CE+CF=PC=CG，

∵AC=BC=t•CG，

∴CE+CF=．

（3）如图4中，作BM⊥AC于M．

∵t＞2，

∴点G在线段CM上，

在Rt△ABM中，∵∠BMC=90°，BM=×8=4，BG=7，

∴MG===1，

∵CM=MA=4，

∴CG=CM﹣MG=3，

由（1）可知，CG=CE+CF，

∴CE=CG﹣CF=3﹣=．

24．（12分）如图，抛物线y=x2﹣3x交x轴的正半轴于点A，点B（，a）在抛物线上，点C是抛物线对称轴上的一点，连接AB、BC，以AB、BC为邻边作□ABCD，记点C纵坐标为n，

（1）求a的值及点A的坐标；

（2）当点D恰好落在抛物线上时，求n的值；

（3）记CD与抛物线的交点为E，连接AE，BE，当△AEB的面积为7时，n=　　．（直接写出答案）

【解答】解：（1）当x=﹣时，a=（﹣）2﹣3×（﹣）=．

∴B（﹣，）．

由x2﹣3x=0，得x1=0（舍去），x2=3．

∴A（3，0）．

（2）如图1所示：过D作DG⊥y轴于G，BH⊥x轴于H．

∵ABCD为平行四边形，

∴CD∥AB，CD=AB．

∴∠DCG=∠AEF．

∵BH∥EF，

∴∠HBA=∠FEA．

∴∠HBA=∠DCG．

在△ABH和△DCG中，

∴△ABH≌△DCG．

∴CG=BH=，DG=AH=+3=．

∴xD=OF+DG=+=5．

将x=5代入抛物线的解析式得：y=10．

∴n=10+=．

（3）如图2所示：连结AC，过点B作BH⊥OA，垂足为H．

∵DC∥BA，

∴S△ABE=S△BAC．

由（2）可知：AG=，AH=，BH=．

∵GF∥BH，

∴△AFG∽△ABH．

∴=，即=，解得：GF=．

∴CF=n﹣．

∵S△ABE=S△ABC=FC•AH，

∴×（n﹣）×=7，解得n=．

故答案为：．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c7c7164ea66e58fafab069dc5022aaea998f41de.html