目　　录

【内容摘要】行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文先阐述行列式的基本理论，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。

【关键词】行列式 ； 矩阵； 范德蒙行列式 ； 递推法

Abstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowledge on the links in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinant,on our learning will bring very useful help.

Keywords: Determinant；matrix；Vandermonde Determinant； recurrence method

引 言

行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题技巧进行总结归纳。

作为行列式本身而言，我们除了利用行列式的性质化三角行列式和按行或列展开公式使行列式降阶这些常用的手法外，要根据行列式不同的特点采用特殊的方法，如递推法，数学归纳法，加边法（ 升阶法），以及利用范德蒙行列式的结论等等。

1行列式的基本理论

1.1行列式定义

定义 行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数之和为偶数符号为正，逆序数之和为奇数符号为负。这一定义可以写成d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png,这里6c5e3237fd6058198cebae73f7fc49b0.png表示对所有7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png级排列求和.

1.2行列式的性质

1、行列式的行列互换，行列式不变；

8a0772e2dbae11522bceb0a00141738b.png

2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；

f7364fa32c5e5a3ff5b6df34ad10202b.png

3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；

00e0a4ade219aea840e9649db813cc3b.png

4、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；

c955caff2832261f12aaffc75d965d3a.png

5、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。

f4f88ce772ddafcbaa9712def31bff98.png 6、把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

7、行列式有两行（列）相同，则行列式为零。

1.3 基本理论

1．278045dcb16ecde39e93e205a6080e59.png其中6781228e0a0a6072d89c076e9a5ab4db.png为元素9a59294d35ec9247478796ffb89359eb.png代数余子式。

2．降阶定理8b66dc97237ee03f185343b7795fd1c7.png

3．11812ce0b44ef4c08869d130128ae96b.png

4．54abc9966590892cd1a49211f3037c24.png

5．非零矩阵k左乘行列式的某一行加到另一行上，则新的分块行列式与原来相等。

1.4几种特殊行列式的结果

1． 三角行列式

52db2a94dd966bec18e4cbabdfcd9dd8.png(上三角行列式)

ba75d826b4568e3b9cfd7862b01335ca.png(下三角行列式)

2． 对角行列式

ed91be8bf6f06def81b871e24df8c444.png

3．对称与反对称行列式

d7e8271b14027e1965a8498998101ec7.png满足86814275bf9cb46e32dbbbaf06a9002e.png，D称为对称行列式

b239351c63d6d2485cf08bfdda0cf39c.png满足d6bb032468f3e24041ed1df53adfe7c7.png，D称为反对称行列式。若阶数n为奇数时，则D=0

4．f4c5bda32e2c729754f1294ef70a9d50.png

2行列式的计算技巧

2.1定义法

例1：计算行列式43512c8bdc8573e34d3b3f133e628ac6.png

解：由行列式定义知9469be43e82f65087e7f9d589326caee.png，且26bff8872e1bf5972ce42af3560c7419.png， 所以D的非零项j，只能取2或3，同理由d04f2720c8c6d5191ad417d3692c78fe.png，因而52ee8bfa33e3b05a923a6ff587067c04.png只能取2或3，又因dcc75b1643915b9c2dac2ed9dc01dbd8.png要求各不相同，故b59ec5001d8084fdd52bb08dd53556cd.png项中至少有一个必须取零，所以D=0。

2.2化成三角形行列式法

将行列式化为上三角形行列式计算步骤，如果第一行第一个元素为零，首先将第一行(或第一列)与其它任一行(或列)交换，使第一行第一个元素不为零，然后把第一行分别乘以适当数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为零，再用同样的方法处理除去第一行加第一列余下的低阶行列式依次做下去，直至是它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。

例2 计算行列式8c026d9022704cd37e378679c36eac72.png

解：各行加到第一行中去

2d8b097e33c697358bbd96b464aa436b.png 880d4648b9cd4ae4993ddd94445a3c95.png

例3 计算行列式

040575b020ba63f278451e3844ad4c3b.png

解：从倒数第二行(-1)倍加到第n行

b45f1db22e12dc3b1d6bff25cc406398.png0f49a333ce4084fc907be23c35521de1.pngd79327391ffe2751b08abcf90d5ef8f1.png

b164db5d1ca5b057578ffc85921a8b19.png

2.3两条线型行列式的计算

除了较简单的行列式（如上、下三角行列式等）可以用定义直接计算，少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外，一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简，使行列式中出现较多的零元素，然后直接用特殊的行列式的值来计算（如上（下）三角行列式等）或利用按行（列）展开定理降低行列式的阶数。

例4 7834f0e3b4fdc041da18fc2b808a38de.png.

解： 按第1列展开得

7ed28fdfb151c43582994bb4d43c7fc4.png

fd8b1eb31ecb7035e59860ee7a2af0c5.png.

2.4箭型行列式的计算

对于形如d8bf4c32d104c120d0ce52691e5bc063.png12691840069c7b3f72cd11d6cbdbdcdf.pngc210612c2e0a6662b7c7ec01f5152bee.png79ebde00bf6177f5213ec7cf8fbb5f41.png的所谓箭型（或爪形）行列式，可以直接利用行列式性质化为三角或次三角形行列式来计算，即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零。

例5 计算行列式 dc1f4ab4d17637d048b5ec08ff6d3000.png.

解：7107122a58a8c14f1efefdf9e370cfba.png

2.5三对角行列式的计算

对于形如bb59a5e22f1b40ff6fac46df14d3a5e6.png的所谓三对角行列式，可直接展开得到两项递推关系69749b5f72f3d9cbd1a003d9b9fbf94a.png，然后采用如下的一些方法求解。

方法1 如果n比较小，则直接递推计算

方法2 用第二数学归纳法证明：即验证n=1时结论成立，设6a81e408cef225fc2cff9b04a74a9598.png 时结论也成立，若证明n=k+1时结论也成立，则对任意自然数相应的结论成立

方法3 将69749b5f72f3d9cbd1a003d9b9fbf94a.png变形为ff43375638e7f4aa465aa4036ad0f989.png，其中8e84457e9a40144b2623c4cca862be5b.png,5eaa5e7ed40892b37cfeb281f83126c4.png 由韦达定理知p和q是一元二次方程00ba1f0291018f0a76218433af57727f.png的两个根。确定p和q后，令0077cc47eb5e47801818173c04bad80b.png，则利用ed56eeae2f546a8f9e043bf571946a98.png递推求出f26f6d07a814b1213cda8a1cb90f7adc.png，再由f046e7fe5f77464706c28c5b907b7af6.png递推求出b3d306c74d1ca0a424841b3362d32361.png。

方法4 设d6cd6119a5bc1fdca0aa27f933e5f118.png，代入b0762ffbc396e47993e705432cad41da.png得8dc3cf9884bcc52a55d7fc542933197f.png（称之为特征方程），求出其根f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png和8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d.png（假设b3f7e10b4408ebf3a39cf02627d83adb.png），则7e13231d0d9bd81b024ade9e33b6bc9c.png，这里de83b4778b8582d6b501555da17bd8e7.png，565916fdc4f0364b33ce9c7f270984a2.png可通过n=1和n=2来确定。

例6 计算行列式 9a4ae03d7d265b9d08f71c91ec0d90e9.png.

解：87525a185af126dcfd447dd1d5fa509e.pngword/media/image71_1.png

0b5d8be3d9cd8e33fe8a0c23c7d09477.png

79bc817ee3fbc44a83d80ba1afacbd90.png

777fc658fac966ad77a1df7768192be3.png

得 2096744279f74b2beb6f5f5e553389ea.png

同理，得 cf9e07deca54c5a199c67d4f26cf3c98.png,

所以 d5500748131637040e5f1fd9bf9ad377.png

2.6利用范德蒙行列式

范德蒙行列式具有逐行元素递增的特点。因此遇到具有逐行（或列）元素方幂递增或递减的所谓范德蒙型的行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值

例7 计算行列式 1da75e66c9fbc69033d4779a00e8eb57.png.

解：把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此推直到把新的第47425da90092a0727c15c009fac9f866.png行的-1倍加到第7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png行，便得范德蒙行列式

ac5a715c7a21d07004ae6715697b944a.png.

2.7 Hessenberg 型行列式的计算

对于形如2fe291cd2f50f01d8a736480f30af4bd.png，f918192f8bb77934cb3c86c76f5885d3.pnge71e9f5b4161eceae518fd00ef3838b1.png8c117420b98f2899fa5d58a2965d68c7.png的所谓Hessenberg型行列式，可直接展开得到递推公式，也可利用行列式的性质化简并降阶。

例8 计算行列式 e73d8fc3530c65086da6bbeeeb2c5d79.png

解： 将第1，2··n-1 列加到第n列，得

eb71411e9037391848e52cb3f44b4612.png 43384f370fab9a51ceb4264a03cf505b.png8417b05cec907b16bbdc4afe4d915f90.png

2.8降阶法

将行列式的展开定理与行列式性质结合使用，即先利用性质将行列式的某一行(或某一列)化成仅含一个非零元素，然后按此行(列)展开，化成低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式直接计算出结果。

ecf4a762566250bca6f1cc6b067e4655.png

左边

bf9db6e9e8334927c6d1d76f20fc4504.pngebcd7c78548caebf4f2f9c672043303b.png

703ef26bd994970abfd37ea4216f8691.pngd10d54a4a594b5aaee7a04f04532b772.png

例9 计算行列式

d29e3746840ff647fce60c791dd6dbe3.png，其中a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png，3c3d931a2157f0fc0ae173d33d0549a9.png

解：

be6cb12dc2a36d0047e725ab9c2c2e4c.png

9a659bbf495a615a240e35a3c356cdc6.png

433f42e6306a0a42511d181376f822d5.png c54b7e74ef8e3a2dc50273377c564990.png

2.9加边法（升阶法）

行列式计算的一般方法是降阶，但对于某些特殊的n阶行列式，如除对角元（或次对角元）外，其余元素相同或成比例的行列式，有时加上一行一列变成n+1阶的行列式，特别是第1列为8d7a4c8bd8f5e51bab71af7c1ef4bbe1.png并适当选择第1行的元素，就可以使消零化简单方便，且化简后常变成箭型行列式，这一方法称为升阶法或加边法

例10 计算7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png阶行列式2c0657850b10e5dfd36acc587155876f.png.

解：a097f735cd242cf17f82db643a826534.png366f0c5c53d3ed0abd2a416b4738d969.png

b5d26f20cbb24ea8b3f3391590236cf9.png.

2.10计算行（列）和相等的行列式

对于各行（或各列）之和相等的行列式，将其各列（或各行）加到第1列（或行）或第n列（或行），然后再化简。

例11 计算n阶行列式662f6765317d9ba0f272f43e68f7fdb7.png

解： f32bfc00219da05bb404a8e97af58c3b.png

6e6952d9adf076a45e2fcde9189e857b.png dd7064e47ff7dc18b11a77864f9be6cc.pnga55eb6f22d5c7c72ec7191c194e8a870.png

以下不作要求

2.11 相邻行（列）元素差1的行列式计算

以数字1，2，··n为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素差1的n阶行列式可以如下计算：自第1行（列）开始，前行（列）减去后行（列）；或自第n行（列）开始，后行（列）减去前行（列），即可出现大量元素为1或—1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素。

对于相邻行（列）元素相差倍数k的行列式，采用前行（列）减去后行（列）的—k倍，或后行（列）减去前行（列）的—k倍的步骤，即可使行列式中出现大量的零元素。

例12 计算n阶行列式5d758e2b0b6bbf77951316fd3690a463.png

解310c3324c17c8dce78d3279f72096aaf.png

2.12线性因子法

例13 计算行列式(1)e49edfc47e14382eb6733def43646205.png (2)de6bbc3c5b0f28bc1dae8798516c58c7.png

解：(1)由各列加上第一列可见，行列式D可被1fefef4e73e239627356fc5754d0e513.png整除。由第二列加到第一列，并减去第三、四列可见，f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png可被84c5ad8d7e6a606883529ae2f776b420.png整除，由第三列加于第一列，并减去第二、四列可见，f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png被198781a4a6df240ca73dd675cec2fbc2.png整除。最后由第四列加于第一列，并减去第二、三列可见，f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png可被23bfdf8bd7b2ddc733514857c31435b8.png整除。我们把78b70da0fb6369f45abaccaaef4cabe9.png视为独立未知量，于是上述四个线性因子式是两两互素的，因此，f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png可被它们的乘积f0bb5596f92a4fbf44314205786c58db.png整除。

此乘积中含有一项：94e84b985ab7f1da6ec2017c24c3b73f.png，而f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png中含有一项：1bd8a05cbe811d7aebd468bab09bb2f4.png

所以1d71cffc6c6ed89e56ca54200354f84c.png

5d1d534dc090e672a841b468f1d4778d.png

(2)将行列式f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png的前两行和两列分别对换，得

2c761ea465c343912c264654c2c29599.png

如果以904abc369cef421885cb4be4a97ad863.png代替9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，又得原来形式的行列式。因此，如果f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png含有因式9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，必含有因式904abc369cef421885cb4be4a97ad863.png，由于当e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png时，f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png有两列相同，故f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png确有因式9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，从而f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png含有因式c66452631491acdbf8e5ed69dfd19681.png。同理f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png又含有因式7db5e3ec92f18b8e39aa043575959617.png，而f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png的展开式中有一项：9e19c74e32095bc682a96afa3c36d619.png，从而7580311ff959bcf62c8a796301c3adc2.png

例14 计算行列式：feb71ed7a39569a2ca78a29b922f2318.png

解：由7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png阶行列式定义知，b3d306c74d1ca0a424841b3362d32361.png的展开式是关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的首项系数为83240754e6c6b72838da60a055023a8f.png的2372ff9e6566b545ab1b777315fb53e7.png次多项式7b06f08ee4c451e08c600ef147755285.png当1916b75deb7524f206a5ca2b42eef007.png时，3cfd50aa3a89d0a0a6bbe90d6b8e8aae.png因此d05945d04ba77d742df3f1ea84253606.png有47425da90092a0727c15c009fac9f866.png个互异根0，1、2…205da659e754a0ecfc8b4c085250e7f0.png由因式定理得c308cd05fc40b0d9b8eba06d0f7e4b41.png

故 ee4afbef9c3be1905a602662f0f5d0af.png5036d9da0a9901fbe1a467dd69450fd1.png

2.13辅助行列式法

例15 计算行列式 9c3d3f6350357c777e9bb7758a6fc48c.png

其中5f31acd61e42f6a389bc588430176e17.png为次数≤205da659e754a0ecfc8b4c085250e7f0.png的数域F上多项式4d7969e265d6ca4eaa32e1f8a00855f6.png为F中任意7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png个数。

解：若4d7969e265d6ca4eaa32e1f8a00855f6.png中有两个数相等，则10f1e937c61346109828ed4d912723d7.png

若4d7969e265d6ca4eaa32e1f8a00855f6.png互异，则每个7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png阶行列式

14460b73fed42e635f903af3db527ce9.png 是a088b8f80f19919bcea82e9d80db04ed.png的线性组合，据题dbf15de827041721979b47fd33e1c9c5.png的次数≤a6b5b41b3ebf0779fce79bc8542cac50.png因而5d09697085e8b2d48446837da84789a3.png的次数≤4a55c26a30a9c93486fe216f2c9749c2.png但db676ffb2053fe0e0a6cedd0a40aa5de.png

这说明5d09697085e8b2d48446837da84789a3.png至少有2372ff9e6566b545ab1b777315fb53e7.png个不同的根，故26fda2e90598df700c1557f03d010732.png所以c4316139d6c794d666cc91e282cc94cd.png即3a8097a9d30a2f9e1c4aa5790e5f7f00.png

2.14 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png阶循环行列式算法

例16 计算行列式7034cf82ea477374f462d08cc1517d17.png其中f9b43111b0b562b96abaaea7e6a47938.png

解：设e32fe6213f1cfee21957d06bfdea1e8e.png且令72dc86657478c7a26c3da055219b60d6.png的7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png个根为8ff0df61ddc6207603b39e6fd64f5bea.png则cede6d7e035d092a1034086eaeb1d31e.png

由4da997fed0c7f7fc9561a857ad73d39b.png有

2e5e56063c797de75d2c9a92c506fc44.png

利用关系式7faf715b57e1669516cf05e4d27c954d.png

b1ac6f384af2acd99a57a6d145cc1c12.png

得62106fe65fdac8ac943bf339ea05df1a.png

fb324b267068c25187a197056e02c159.png

例17 设c10d8645ce708b1265413fafe47c4105.png都是9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的可微函数

证明：eb62c8bfcfac6c5237fec213cf4e6c3d.png

证明：

b020b40eda5acb7394b451793ecd939a.png

74cbe1b4aaf9f72e54e41a1aa12c24fa.png

c59c5227f83d162760917157985ee289.png 00c7f25068a963931754f67d3fb3ac3d.png

88f9cf955bdbce61afc668987a642b5d.png

e29fa28a38a41e0e9ce43a7f1688cd90.png

2.15有关矩阵的行列式计算

例18 设A与B为同阶方阵：

证明：2e28378ff86300b9604807f9cc5ae6aa.png

证明：141508c5b94fd518bfb35aa2fdad0a35.png

例19设A为7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png阶可逆方阵，ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png、dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png为两个7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png维列向量，则9ab52de8e8bc09a0fcb56366435b2347.png

证明：5838d78b7d8731a9381968e96299d464.png

例20 若7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png阶方阵A与B且第363b122c528f54df4a0446b6bab05515.png列不同。

证明：71110b32864f556ee9361c9d9ba1a4b3.png

证明：8b705c4eaa09e8beb249b92ccd6acd4a.png 43ec3e5dee6e706af7766fffea512721.png

0acff320119ae8d8c4b1db52fdfef93a.png b5fbc7938cedcc099a771e4909836e3c.png

∴71110b32864f556ee9361c9d9ba1a4b3.png

2.16用构造法解行列式

例21 设9ae67028ccb410317c899566d675f1b3.png

证明：34cd0cd1c3810b6c16aa5ea478507ca7.png

证明：构造出多项式：

bf7f0600670bbad9b719491f010c9491.png

6687ef817f8403c1cc0c99b74f2c1aae.png

84d1c1bf6f6a443f95fcfa0eaced4b48.png

7a3f83361ec2eed1554e9363b6068fa3.png

fd81f8e95048ae6498036200f7de358c.png 0be63fd7e3a730d814409851dca7cb28.png

2.17利用拉普拉斯展开

例22 证明：7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png级行列式6add6afc916398152680cd22a800b91e.png

证明：利用拉普拉斯展开定理，按第7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png行展开有：

d0cf45d68ccea8ff56e7682ac43fc8f8.png 以上等式右端的47425da90092a0727c15c009fac9f866.png级行列式均为“三角形行列式”。

计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算行列式的几种方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。

3 用多种方法解题

下面我们运用上面的介绍的各种方法，选用多种方法解题。

例23 计算：9b67dedf4a737963a0109f56570e5f07.png

法1：将第2,3,…，n行都加到第1行上去，得

1b7d84c5a1391240dce5a4f73a3eff5d.png

再将第一行通乘0c6c8d3650019a99420b795af7c378d4.png，然后分别加到第2,3,…,n行上，得

5b12ac77ae427c8e32643064b056363d.png

法2：将2,3,…,n行分别减去第1行得

dc3196bcd22b24aea089eb5caabd1905.png

再将第2,3,…,n列都加到第1列上去，

便有052f8dfe139128c8e125afd2561260b4.png

法3：将b3d306c74d1ca0a424841b3362d32361.png添加一行及一列，构成06fc1a78b9aaaee997b0adbfa5992f6c.png阶行列式

8e9a9701533eb0111cc046726c6cab18.png

再将第2,3,…,n+1行分别减去第1行，于是有

令c5c3f670ca6bc2a68d5f67347214fdea.png

在50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png时，显然10f1e937c61346109828ed4d912723d7.png，在4280a3062986afb9583603d9042e3193.png时，

则e476852a7e3eb88717d36c6996ca15fb.png

法4：令

91fea4f1f9090a009fd8d98566d8f888.png

将右式中第二个行列式的第2,3,…,n列全加到第1列上去，再利用Laplace展开，所以得3c56b9eda7486045bb06515cd9b15885.png

例24 求证ef9244c9d49514b9b272f93812dc2f1e.png

证：若记8f5ac4a8fb99cfe53bfe72f1c6598b91.png，73cf1b409745fa66ac33540be0acec88.png时，上述等式可简记为

f2a3696e75706a11322a8f685ba4ffd3.png

证法一：把第2行乘以1361ddb286c514710448450c3d730282.png，第3行乘以4435a3f5abf019305bcb9cdb96c56671.png，…，第40b85027598d87611b1c8d5d11e46812.png行乘以fc1ef89a82d23b09cbe48734d701d370.png，全部加到第一行，再对第1行利用拉普拉斯定理展开，注意各项的符号应为ac2d6f805f458e3149416ee75fef8dc6.png，得证。

证法二：对7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png用归纳法

当6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png时，5921c7b7ee6856569f571d076ab1928e.png，命题成立。

假设对于7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png时命题成立，那么，当左下角单位矩阵为40b85027598d87611b1c8d5d11e46812.png阶(即f7399cf440e4873eab272482b710d776.png)时，对最后一行展开，

762841d632041a6f45358fee002b0c69.png其中258d5dc10d86a43b9c4fe6eb8470830b.png，

而按归纳法假设

53448d185034c3ea8e96c29f31a317fb.png证毕。

证法三：利用分块矩阵的乘法

553f19e6e65094af45fcaa99c642921a.png

两边取行列式，得a24ad6614290b3837296723deb834874.png

在演算一个问题时，需要仔细分析已给的条件，灵活运用已经知道的性质和已经掌握的技巧，不要死套公式，这样就能很快求出答案。

参考文献：

［1］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编.高等代数.北京:高等教育出版社。

［2］刘学生,谭欣,王丽燕主编，高等数学学习指导与解题训练.大连:大连理工大学出版社。

[3] 徐帅，陆全，张凯院，吕全义，安晓虹主编.高等代数考研教案.西安:西北工业大学出版社。

［4］杨尚验,材家寿.高等代数重要习题详解，安徽:安徽省数学学会.1982,3:35—40。

［5］石福庆,陈凯,钱辉镜.线性代数辅导.北京:1985。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c228901474c66137ee06eff9aef8941ea76e4ba7.html