2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题讲义专题6 解析几何 知识整合 Word版含解析

专题解析几何

一、直线和圆

.如何判断两条直线平行与垂直?

()两条直线平行

对于两条不重合的直线,其斜率分别为,则有⇔∥.特别地,当直线的斜率都不存在时与平行.

()两条直线垂直

若两条直线的斜率都存在,分别为,则·⇔⊥,当一条直线的斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直.

.如何判断直线与圆的位置关系?

设圆的半径为,圆心到直线的距离为.

.如何判断圆与圆的位置关系?

设两个圆的半径分别为>,圆心距为,则两圆的位置关系可用下表来表示:

.如何求直线与圆相交得到的弦长?

()几何法,直线被圆截得的半弦长,弦心距和圆的半径构成直角三角形,即;

()代数法,联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于或的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长·或··.

二、圆锥曲线

.椭圆的标准方程怎么求?几何性质有哪些?

.双曲线的标准方程怎么求?几何性质有哪些?

.抛物线的标准方程是什么?几何性质有哪些?

三、直线与圆锥曲线的位置关系

.怎样判断直线与圆锥曲线的位置关系?

判断直线与圆锥曲线的位置关系时,通常将直线的方程(不同时为)代入圆锥曲线的方程(),消去(也可以消去)得到一个关于变量(或变量)的方程,即消去,得.

()当≠时,设一元二次方程的判别式为Δ,则Δ>⇔直线与圆锥曲线相交;

Δ⇔直线与圆锥曲线相切;

Δ<⇔直线与圆锥曲线相离.

()当≠时,即得到一个一次方程,则直线与圆锥曲线相交,且只有一个交点,此时,若为双曲线,则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若为抛物线,则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.

.如何求圆锥曲线的弦长?

设斜率为(≠)的直线与圆锥曲线相交于两点()(),则····.

.直线与圆锥曲线相交时,弦中点坐标与直线的斜率是什么关系?试用点差法进行推导.

椭圆:设直线斜率为,直线与椭圆交于()()两点中点为().

则,两式相减整理得:

,即.

同理:双曲线中有.

.直线与圆的方程问题在近几年的高考中考查强度有所下降,其中两条直线的平行与垂直,点到直线的距离,两点间的距离是命题的热点.圆与直线相结合命题,着重考查待定系数法求圆的方程,直线与圆的位置关系,特别是直线与圆相切、相交.

.圆锥曲线主要考查的问题

()圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质,这部分是每年必考内容,虽然大纲降低了对双曲线的要求,但在选择题中仍然会考查双曲线.圆锥曲线可单独考查,也可与向量、数列、不等式等其他知识结合起来考查,突出考查学生的运算能力和转化思想.

()直线与圆锥曲线的位置关系:此类问题命题背景宽,涉及知识点多,综合性强,通常从圆锥曲线的概念入手,从不同角度考查,或探究平分面积的线、平分线段的点(线),或探究使其解析式成立的参数是否存在.

()圆锥曲线的参数范围、最值问题:该考向多以直线与圆锥曲线为背景,常与函数、方程、不等式、向量等知识交汇,形成轨迹、范围、弦长、面积等问题.

从近几年高考情形来看,该类专题在高考中占的比例大约为,一般是一个解答题和两个小题,难度比例适当.

一、选择题和填空题的命题特点

(一)考查直线与圆的方程,难度中等,主要考查圆的方程、直线与圆相交形成的弦长、直线与圆相切或相交的有关问题.

.(·全国Ⅰ卷·文改编)直线与圆交于两点,当时. 

解析▶圆的标准方程为(),其圆心为(),半径为,设圆心到直线的距离为,则.因为,所以,所以,所以±.

答案▶±

.(·全国Ⅲ卷·文改编)已知()(),则圆()上一点到所在直线距离的取值范围是().

.[].[]

.[] .[]

解析▶根据题意得所在的直线方程为,则圆心()到直线的距离.又因为半径,所以点到直线的距离的最大值为,最小值为,故选.

答案▶

(二)考查圆锥曲线的概念与标准方程,难度中等,主要考查圆锥曲线的定义、代入法求轨迹方程以及待定系数法求标准方程.

.(·北京卷·文改编)若双曲线(>)的渐近线方程为±,则. 

解析▶因为>,根据题意,双曲线的渐近线方程为±±,所以.

答案▶

.(·天津卷·文改编)已知双曲线(>>) 的渐近线方程为±,过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为,且,则双曲线的方程为().

解析▶由题意可得图象,如图是双曲线的一条渐近线,即,右焦点为(),且⊥⊥⊥,所以四边形是梯形.又因为是的中点,所以,得,所以.又,所以,故双曲线的方程为,故选.

答案▶

(三)考查圆锥曲线的几何性质,属中等偏难题目,主要包含离心率、范围、对称性、渐近线、准线等性质.

.(·全国Ⅰ卷·文改编)已知椭圆(>>)的一个焦点为(),离心率为,则的标准方程为().

解析▶因为椭圆焦点在轴上,且,离心率,解得,所以,故的标准方程为,故选.

答案▶

.(·全国Ⅲ卷·文改编)已知点()到双曲线(>>)的渐近线的距离为,则的离心率为().

.

.

解析▶由题意可知双曲线的一条渐近线为,即,故点()到的渐近线的距离,整理可得,故双曲线(>>)的离心率,故选.

答案▶

(四)考查圆锥曲线中的最值和范围问题,属偏难题目,主要考查以直线和圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求最值与取值范围问题.

.(·全国Ⅰ卷·文改编)已知椭圆离心率的取值范围为,则的取值范围为().

.(]∪[∞) .(,]∪[∞)

.(]∪[∞) .(,]∪[∞)

解析▶当<<时,焦点在轴上,则≥,∴≤,即≤,得<≤;当>时,焦点在轴上,则≥,∴≤,即≤,得≥.故的取值范围为(]∪[∞),故选.

答案▶

.(·全国Ⅱ卷·文改编)已知双曲线(>>)的虚轴长为,实轴长大于,则双曲线的离心率的取值范围是().

.(∞) .()

.(,) .()

解析▶由题意知>,则.因为>,所以<<,则<<,故选.

答案▶

二、解答题的命题特点

圆锥曲线的综合试题一般为第题,是全国卷中的压轴题,难度较大,综合性强,题型变化灵活,能考查学生的数学综合能力,是出活题、考能力的代表.由于向量、导数等内容的充实,圆锥曲线试题逐渐向多元化、交汇型发展,试题既保证突出运用坐标法研究图形几何性质,考查解析几何的基本能力的同时,又聚焦于轨迹、参数的取值范围、定值、定点和最值问题的动态变化探究,考查解析几何的核心素养.主要题型有点的轨迹与曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的最值与取值范围、定点与定值问题等.

主要命题方向:

(一)用坐标法判断图形的几何性质

.(·全国Ⅱ卷·文)设抛物线的焦点为,过且斜率为(>)的直线与交于两点.

()求的方程;

()求过点且与的准线相切的圆的方程.

解析▶()由题意得()的方程为()(>).

设()().

由得().

Δ>,故.

所以()().

由题设知,解得(舍去)或.

因此的方程为.

()由()得的中点坐标为(),所以的垂直平分线方程为(),即.

设所求圆的圆心坐标为(),

则

解得或

因此所求圆的方程为()()或()().

.(·全国Ⅱ卷·)设为坐标原点,动点在椭圆上,过作轴的垂线,垂足为,点满足.

()求点的轨迹方程;

()设点在直线上,且·,证明:过点且垂直于的直线过的左焦点.

解析▶()设()(),则()()().

由得.

因为()在上,所以.

因此点的轨迹方程为.

()由题意知().

设()(),

则()(),·()().

由·得.

又由()知,故.

所以·,即⊥.

又过点存在唯一直线垂直于,

所以过点且垂直于的直线过的左焦点.

(二)已知图形的几何性质,求有关参数的值(或取值范围)

.(·北京卷·文)已知椭圆(>>)的离心率为,焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点.

()求椭圆的方程;

()若,求的最大值;

()设(),直线与椭圆的另一个交点为,直线与椭圆的另一个交点为,若和点共线,求.

解析▶()由题意得解得

所以椭圆的方程为.

()设直线的方程为()().

由得,

所以.

所以

.

当,即直线过原点时最大,最大值为.

()设()(),

由题意得.

直线的方程为().

由

得[()]().

设(),

所以.

所以.

所以().

设(),

同理得.

记直线的斜率分别为,

则

().

因为三点共线,

所以.

故.

所以直线的斜率.

(三)求证图形的几何性质中一些几何量的相等问题

.(·全国Ⅲ卷·文)已知斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为()(>).

()证明<.

()设为的右焦点为上一点,且.证明.

解析▶()设()(),则.

两式相减得,

由得·.

由题设知,

于是.

由题设可知点在椭圆内部,所以<,解得<<,故<.

()由题意得(),设(),

则()()()().

由()及题设得()()<.

又点在上,所以,从而.

于是

.

同理.

所以(),

故.

.(·全国Ⅰ卷·文)设抛物线,点()(),过点的直线与交于两点.

()当与轴垂直时,求直线的方程;

()证明:∠∠.

解析▶()当与轴垂直时的方程为,代入抛物线方程可得的坐标为()或(),所以直线的方程为或.

()当与轴垂直时为的垂直平分线,

所以∠∠.

当与轴不垂直时,设的方程为()(≠),

()(),则>>.

由得,可知.

直线的斜率之和为.①

将及的表达式代入①式分子,可得().

所以,可知的倾斜角互补,所以∠∠.

综上,∠∠.

.圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题,常涉及不等式、函数的值域等,综合性比较强,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何方法,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法,即把要求的几何量或代数表达式表示为某些参数的函数解析式,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.

.圆锥曲线的几何性质主要包括离心率、范围、对称性、渐近线、准线等.这些性质问题往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何量结合在一起,主要考查利用几何量的关系求椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线方程.对于圆锥曲线的最值问题,正确把握圆锥曲线的几何性质并灵活应用,是解题的关键.

.圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题,常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题,综合性比较强.解决此类问题常用几何法和判别式法.

.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

()求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值.

()求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的关系式,再利用题设条件化简、变形求得定值.

()求某条线段长度为定值.利用长度公式求得关系式,再依据条件对关系式进行化简、变形即可求得定值.

.()解决是否存在常数(或定点)的问题时,应首先假设存在,看是否能求出符合条件的参数值,如果推出矛盾就不存在,否则就存在.

()解决是否存在直线的问题时,可依据条件寻找适合条件的直线方程,联立方程消元得出一元二次方程,利用判别式得出是否有解.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c12195aea9114431b90d6c85ec3a87c240288ab3.html