2019-2020学年人教版高中数学必修5同步单元测试卷全套打包下载含答案

2019-2020学年必修5第一章训练卷

解三角形（一）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在中，下列等式中一定成立的等式是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由正弦定理，得．

2．在中，，，，则最短的边的长度是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由三角形内角和定理，

根据“大角对大边”以及角最小可知最短的边是．

由正弦定理，解得．

3．在中，若，则的形状是（ ）

A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定

【答案】A

【解析】由正弦定理得，所以，

所以是钝角，故是钝角三角形．

4．在中，，，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由正弦定理得，

又由余弦定理知，

所以．

5．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得，∴，

故，即，

因为，，由，得，所以，

又因为，所以，所以．

6．已知，，分别为的三个内角、、的对边，且满足，向量，，若，则角为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，由正弦定理可知，

即，所以，于是，

由，可得，解得∴，∴．

7．在锐角中，角，，的对边分别为，，．若，

则为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，得，即，

∴

．

8．在中，，，，则的外接圆直径为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵，∴，

∴，∴，

∴的外接圆直径．

9．在中，已知，给出下列结论：

①由已知条件，这个三角形被唯一确定；

②一定是钝角三角形；

③；

④若，则的面积是．

其中正确结论的序号为（ ）

A．③④ B．②③ C．①④ D．②④

【答案】B

【解析】由已知可设，，（），

则，，，∴，

∴，∴③正确；

同时由于边长不确定，故①错；

又，

∴为钝角三角形，∴②正确；

若，则，∴，，

又，∴，故④错．

综上②③正确，故选B．

10．如图，一艘船上午在处测得灯塔在它的北偏东处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东处，且与它相距，此时船的速度为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设船的航速为，在中，，，，

由正弦定理得，∴，∴此船的航速为．

11．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，，则为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，得，

所以的面积为，解得．

又，所以

，故．

12．在中，，，是边上一点，，的面积为，则边的长为（ ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】C

【答案】如图，

设，由得，∴．

在中，由余弦定理，，

解得或．

当时，由，得，

又由，得；

当时，同理得．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）

13．在中，，，，则 ．

【答案】

【解析】由正弦定理，得，

又，∴为锐角，∴．

14．的内角，，所对的边的长度分别为，，，设向量，，若，则的大小为 ．

【答案】

【解析】∵，∴，即，

，

又∵，则．

15．在中，，，的对边分别为，，，若，则角的值为 ．

【答案】或

【解析】由及已知条件，可得，即，则或．

16．在不等边中，角，，所对的边分别为，，，其中为最长的边，如果，则角的取值范围为 ．

【答案】

【解析】由题意得，，再由正弦定理得，

即，则，

∵，∴，

又为最长边，∴，因此得角的取值范围是．

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．（10分）在中，，为锐角，角，，所对的边分别为，，，

且，．

（1）求的值；

（2）若，求，，的值．

【答案】（1）；（2），，．

【解析】（1）∵，为锐角，，∴，

又，∴，，

∴，

∵，∴．

（2）由（1）知，∴，

由正弦定理，得，即，，

∵，∴，∴，∴，．

18．（12分）设的内角，，所对的边分别为，，，已知，，．

（1）求的周长；

（2）求的值．

【答案】（1）5；（2）．

【解析】（1）∵，∴；

∴得周长为．

（2）∵，∴，

∴，∵，∴，故为锐角，

∴，

∴．

19．（12分）在中，已知，，．

（1）求的长；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由余弦定理知，，

∴．

（2）由正弦定理知，∴，

∵，所以为锐角，则，

因此．

20．（12分）设函数，其中向量，．

（1）求的最小正周期与单调递减区间；

（2）在中，，，分别是，，的对边，已知，，的面积为，求的值．

【答案】（1），；（2）2．

【解析】（1），

∴函数的最小正周期．

令，∴，

∴函数的单调递减区间为．

（2）由，得，∴．

∵，∴，∴，∴．

∵，∴．

在中，由余弦定理，当，

∴．

由，得，，

∴．

21．（12分）如图，公园内有一块边长为的等边三角形形状的三角地如题，现将其修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上．

（1）设，，试用表示的函数关系式；

（2）如果是灌溉水管，为节约成本希望它最短，的位置应该在哪里？如果是参观线路，则希望它最长，的位置又在哪里？请给予证明．

【答案】（1）；（2）见解析．

【解析】（1）在中，在上，点在上，∴．

∵，∴，∴．

在中，由余弦定理得，

∴．

（2）令，则，则，

令，．

任取，．

∵，∴，，，即，．

∴在上是减函数；同理在上是增函数，

又，，，

∴，即时，有最小值，此时，且；

当或，即或时，有最大值，此时为的边长上的中线或边上的中线．

22．（12分）如图①，在中，，是角的角平分线，且．

（1）求的取值范围；

（2）若，问为何值时，最短？

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由是角的角平分线可得，．

在中，由正弦定理得，

在中，由正弦定理得，

两式相除，整理得，因为，故．

（2）如图②，以的中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

设，，，其中．

由，得，整理得．

因为，则，即，

又，则，即．

因为，

因为，且，

整理得，即，

则，

整理得．

故当，即时，取得最大值，此时取得最小值，即最短为．

2019-2020学年必修5第一章训练卷

解三角形（二）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若锐角的面积为，且，，则等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵的面积，∴，

解得．

∵角为锐角，∴，根据余弦定理，

得

，∴．

2．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵，，∴，，

从而．

由正弦定理，得，故选D．

3．在中，，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵，∴，∴，∴．

又必为锐角，∴，

∵，∴．∴，∴，∴．

4．在中，，，的角平分线，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图，在中，由正弦定理，

得．

由题意知，所以，

则，所以，

所以，所以，

于是由余弦定理，得

．

5．的内角，，的对边分别为，，若，则的值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由正弦定理，得，

展开得到

，

化简得，

即．

由三角形内角和定理，得，故．

6．在中，已知，，，则为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图，作，则，，

设，则，

在中，由余弦定理可得，解得，

所以，所以，所以，

所以，

故答案为．

7．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则角为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由及正弦定理，得，①

将代入①得，

又，故，∴．

8．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，，所以，

即，

化简并整理得，

∴，，结合正弦定理有，

所以，则，所以．

9．已知中，角，，的对边分别为，，，，若，则为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由及正弦定理知，，则，

则，得．

10．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为中，，所以，

所以．

因为，所以由正弦定理得，所以，

所以．

因为，所以，所以，故选B．

11．已知的内角，，的对边分别是，，，

且，若，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由及正弦定理，

可知，则由，

得，

由余弦定理可得，则，．

由正弦定理，得，

又，所以，

即，

因为，所以，，则．

12．如图，平面上有四个点，其中为定点，且，为动点，满足关系，若和的面积分别为，

则的最大值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，则，

∴，∴，，，

∴，

∴，

令，则，，

∴．

∵函数的图象的对称轴方程为，且，

∴当时，取得最大值，此时．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）

13．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则 ．

【答案】

【解析】由余弦定理得，

∴，∴，即，

又，∴．

14．在中，，，，则 ．

【答案】

【解析】∵，∴由余弦定理，

得，

∴．

15．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积 ．

【答案】

【解析】在中，∵，

又，∴，

由正弦定理，得，解得，

故的面积．

16．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为 ．

【答案】

【解析】由，得，

∴的面积为，解得，

又，

∴

，

故．

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．（10分）的内角，，的对边分别为，，，已知．

（1）求；

（2）若，的面积为，求．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题设及，得，故，

将上式两边平方，整理得，

解得（舍去）或．

（2）由得，故，

又，则，

由余弦定理及，得

，

所以．

18．（12分）在中，．

（1）求的大小；

（2）求的最大值．

【答案】（1）；（2）最大值为．

【解析】（1）由余弦定理及题设得，

又，所以．

（2）由（1）知，

则

，

∵，∴当时，取得最大值．

19．（12分）在中，角，，的所对的边分别是，，，

且．

（1）证明：；

（2）若，求．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）根据正弦定理，可设，则，，，代入中，

有，

变形可得，

在中，由，有，

∴．

（2）由已知，得，根据余弦定理，得，

所以，由（1）知，

所以，故．

20．（12分）在中，角，，的对边分别是，，．

（1）若，且为锐角三角形，，，求的值；

（2）若，，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵，∴，

又为锐角，∴，

而，即，解得（负值舍去），

∴．

（2）由正弦定理可得，

∵，∴，∴，

∴．

21．（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．

（1）求角的大小；

（2）若的面积，且，求．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵，∴，

∵，∴，

由正弦定理可得，

即，∵，

∴，即．

∵，∵，∴．∵，∴．

（2）∵，∴，

∵，∴，

∴，即（或求出）．

∴．

22．（12分）在中，角，，的对边分别是，，，．

（1）求证：；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：在中，，，∴，，，

由正弦定理，得，即．

（2）由正弦定理，得，∴，

由余弦定理，得，

即，∴或，当时，

又，∴．

又，，明显不符合题意，∴，

又，

∴的面积．

2019-2020学年必修5第二章训练卷

数列（一）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．数列的通项公式等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，，，，，，

∴．

2．已知等差数列中，，，则的值是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵为等差数列，设首项为，公差为，

∴①，②，

由①-②得，即．

3．在单调递减的等比数列中，若，，则等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，，∴，

∵数列为递减数列，∴，即．

4．已知数列的前项和为，且，则等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，，解得；

令，，解得．

5．若正数，，成公差不为零的等差数列，则（ ）

A．成等差数列 B．成等比数列

C．成等差数列 D．成等比数列

【答案】D

【解析】∵正数，，成公差不为零的等差数列，

设公差为，则，

∴，，即，

故，，成等比数列．

6．等差数列中，，，则此数列前20项和等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，，

∴，解得，

即．

7．设等比数列的前项和为，若，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意知，公比，根据等比数列的前项和公式可得

，，

即，解得，

则，

代入得．

8．等比数列中，是方程的两个根，则等于（ ）

A． B．

C． D．以上都不对

【答案】A

【解析】∵是方程的两个根，

∴，，

∵数列是等比数列，

∵，即，

又∵与的符号相同，∴．

9．若数列是等比数列，其公比是，且成等差数列，则等于（ ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】C

【解析】∵，，成等差数列，∴，∴，

∴，∴，∴或．

10．已知等差数列的公差，且成等比数列，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵，，成等比数列，且数列为等差数列，

∴，∴，∴．

11．已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设的公差为，

∵，即，解得，

∴，

故当时，达到最大值．

12．已知是等差数列的前项和，且，有下列四个命题：①；②；③； ．其中正确命题的序号是（ ）

A．②③ B．①④ C．①③ D．①②

【答案】D

【解析】∵是等差数列的前项和，且，

∴，，∴，，

∴①；②；③；

④，故正确的命题的序号是①②．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）

13．与的等比中项是 ．

【答案】

【解析】设A为与两数的等比中项，则，

故．

14．等比数列中，，则的前4项和是 ．

【答案】

【解析】设公比为，∵，，∴，解得，，

即．

15．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是 秒．

【答案】

【解析】设每一秒钟通过的路程依次为，，，，，则数列是首项，公差的等差数列，

由求和公式有，即，解得．

16．在等比数列中，，若数列满足，则数列的前项和 ．

【答案】

【解析】∵，求得，∴，

又∵，∴，

即．

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．（10分）已知为等差数列，且，．

（1）求的通项公式；

（2）若等比数列满足，，求的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设等差数列的公差为，

∵，∴，解得，即．

（2）设等比数列的公比为，

∵，∴，

又∵，∴，即．

18．（12分）设是公比为正数的等比数列，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设等比数列的公比为，则由，，

得，

即，解得或（舍去），因此，

故的通项为．

（2）由已知可得，∴，

∴．

19．（12分）已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足．

（1）求的通项公式；

（2）设，数列的前项和，求的最小值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵①，∴②，

由②—①得，整理得．

∵数列各项均为正数，∴，即，

故数列是等差数列，公差为，

又，解得，故有．

（2）由（1）可得，

，

由其形式可以看出，关于递增，故其最小值为．

20．（12分）某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付元；第二种，第一天付元，第二天付元，第三天付元，以此类推；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）．你会选择哪种方式领取报酬呢？

【答案】见解析．

【解析】设该同学到商场勤工俭学的天数为，

则第一种方案领取的报酬为；

第二种方案领取的报酬为；

第三种方案领取的报酬为．

令，即，解得，即小于或等于天时，第一种方案报酬高；

令，即，解得，即小于或等于天时，第一种方案报酬高；

即当工作时间小于天时，选用第一种付费方案；

∵当时，可以记算得，，∴当工作时间大于或等于天时，选用第三种付费方案，

综合可知当工作时间小于天时，选用第一种付费方案；当工作时间大于或等于天时，选用第三种付费方案．

21．（12分）在数列中，，．

（1）设，证明：数列是等差数列；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：∵，∴，∴．

∴数列是等差数列，首项为，公差为．

（2）由（1）可得，∴，∴，

∴数列的前项和，①

则，②

∴①—②得，

即．

22．（12分）已知数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足：，求数列的通项公式；

（3）令，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）当时，，

当时，，可知满足该式，

即数列的通项公式为．

（2）∵，①

∴，②

由②-①得：，，故．

（3），

∴，

令，③

则，④

③-④得：，

∴，

∴数列的前项和．

2019-2020学年必修5第二章训练卷

数列（二）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．等差数列中，，，则数列的公差为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，解得，

又∵，∴．

2．在等比数列中，，是方程的两根，则等于（ ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】B

【解析】∵，是方程的两根，

∴，，即，，可得．

又∵，∴．

3．等差数列中，若，且，为数列前项和，则中

最大的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设等差数列的公差为，

∵，∴，解得，

又∵，∴，即，

∵，

∴为对称轴，即时，有最大值．

4．在等比数列中，，则其前项的和的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设等比数列公比为，

∵等比数列中，，

∴，

当时，，当且仅当是时，取等号；

当时，，当且仅当时，取等号．

综上可知的取值范围是．

5．已知数列，，，，，，，，，，，则是数列中的（ ）

A．第项 B．第项 C．第项 D．第项

【答案】C

【解析】将数列分为第组个，第组个，…，第组个，

即，，，，，

则这组中，每一组中的数的分子，分母的和为，所以是第组中的第个数，在数列中的项数为．故选C．

6．数列中，，数列满足，（且），若为常数，则满足条件的值（ ）

A．唯一存在，且为 B．唯一存在，且为

C．存在且不唯一 D．不一定存在

【答案】B

【解析】∵数列满足，（且），

∴数列为首项，公比为的等比数列，即，

即，

∵为常数，∴，解得，

即满足条件的值唯一存在，且为．

7．设数列的前项和为，若，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵ ①，∴ ②，

由得，即，

又∵，，可得，

∴从第二项起是公比为的等比数列，即，

即．

8．正项等比数列满足，，，则数列的前项和是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵是正项等比数列，∴且，即．

又∵，∴，解得或（舍去），

即，∴，

故数列的前项和为．

9．将数列按“第组有个数”的规则分组如下：、、、，则第组中的第一个数是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由“第组有个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以为首项，公差为的等差数列，前组数的个数共有个，

故第组中的第个数是．

10．已知数列满足，，则的通项公式为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】∵，

∴，…，，．

叠加可得，

∴，当时，，符合上式，

故数列的通项公式为．

11．数列的首项为，为等差数列且．若，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵为等差数列，，，

∴公差，首项，

又∵，

∴，

∵数列的前项和为，

∴．

12．已知数列的前项和为，对任意，，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵对任意，，

∴当时，，解得；

当时，，

化简可得，

此时当时，，即，；

当时，，即，，

又∵恒成立，

∴①当时，，

可得，即；

②当时，，

可得，即．

综合①②两种情况，有．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）

13．已知是等比数列的前项和，，，则 ．

【答案】

【解析】∵为等比数列，∴，即，解得．

又∵，即，解得，

∴．

14．在数列中，，，且，

则 ．

【答案】

【解析】∵数列中，，，且，

∴，，，，∴；

由，得，

同理可得，，，；

∴

．

15．等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论：

①；

②；

③的值是中最大的；

④使成立的最大自然数等于．

其中正确的结论是 ．（填写所有正确的序号）

【答案】①②④

【解析】∵，，，∴．

对于①项，显然成立，故①项正确；

对于②项，∵，∴，故②项正确；

对于③项，∵，∴，故③项错误；

对于④项，因为，，所以使成立的最大自然数等于，故④项错误．

综上所述：正确的结论是①②④．

16．数列满足，且，

则 ．

【答案】

【解析】∵，∴，可得，

即数列是以为公比的等比数列，

又∵，

∴，

即．

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．（10分）已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列是等差数列，且，求非零常数的值．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）设等差数列的公比为，则，

∵，，解得，，

∴，解得，即，．

（2）由（1）知，，∴．

∴，，，

又∵是等差数列，

∴，∴，解得（舍去）．

经检验，符合题意，∴．

18．（12分）已知数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求证：数列的前项和为．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）∵ ①，∴ ②，

由得，即．

∵当时，，，∴，

即当时，数列是等比数列，首项为，公比为，可得，

∴．

（2）证明：∵，∴，

即数列的前项和，

故数列的前项和，．

19．（12分）已知数列是各项均为正数的等比数列，是等差数列，

且，，．

（1）求和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1），，，；（2），．

【解析】（1）设数列的公比为，数列的公差为，则，

由题意得，解得，，

即数列的通项公式为，；

数列的通项公式为，．

（2）由（1）知，

则 ①， ②，

由①—②得

，

即，．

20．（12分）已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和

满足，并且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，为数列的前项和，求．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）∵对任意的，有 ①，

∴当时，有，解得或．

当时，有 ②，

由①②并整理得，

∵数列的各项均为正数，∴，

即当时，，此时成立；

当时，，此时不成立，舍去．

故，．

（2）

．

21．（12分）如图所示，某市年新建住房万平方米，其中万平方米

是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加万平方米．

（1）试问到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积（以年累计的第一年）将首次不少于万平方米？

（2）试问到哪一年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于？

【答案】（1）年；（2）年．

【解析】（1）设中低价房面积构成数列，由题意可知是等差数列，其中，，则，

令，即，而是正整数，解得，

即到年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于万平方米．

（2）设新建住房面积构成数列，

由题意可知是等比数列，其中，，则，

∵，∴，

即 满足上述不等式的最小正整数，

故到年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于．

22．（12分）已知单调递增的等比数列满足，且是

的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，，对任意正整数，恒成立，试求的取值范围．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为，

由题意知，可得，

即，解得或，

又∵单调递增，∴，，即，．

（2）由（1）知，

∵，

∴ ①，

②，

由①—②得，，

∵对任意正整数，恒成立，

∴对任意正整数，恒成立，

即对任意正整数，恒成立，

又∵，∴，即的取值范围是．

2019-2020学年必修5第三章训练卷

不等式（一）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设，，则下列不等式成立的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】若，，则A，B，C不成立；

无论，，，取何值，D均成立，故选D．

2．已知，是正数，且，则（ ）

A．有最小值 B．有最小值

C．有最大值 D．有最大值

【答案】B