《分式的基本性质》典型例题
例1 下列分式的变形是否正确，为什么？
（1） （2）
例2 写出下列等式中的未知分子或未知分母。
（1） （2）
例3 不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数.
（1） （2）
例4 不改变分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次项系数为正数.
（1） （2）
例5 已知不论取什么数时，分式
（
）都是一个定值，求
、
应满足的关系式，并求出这个定值.
例6 已知一个圆台的下底面是上底面的4倍，将圆台放在桌面上，桌面承受压强为P牛顿/，若将圆台倒放，则桌面受到的压强为多少？
例7 不改变分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“－”号：
例8 不改变分式的值，使分式的分子、分母中的多项式的系数都是整数．
例9 判定下列分式的变形是不是约分变形，变形的结果是否正确，并说明理由：
（1）； （2）
；
（3）； （4）
．
例10 化简下列各式：
（1）； （2）
；
（3）
参考答案
例1 分析 分式恒等变形的根据是分式的基本性质，应该严格地用基本性质去衡量，是基本性质的生果组成部分，应特别注意.
解 （1）∵已知分式中已隐含了
，∴用
分别乘以分式的分子、分母，分式的值不变，故（1）是正确的.
（2）因为已知分式中，没限制
，
可以取任意数，当然也包括了
，当分式的分子、分母都乘以
时，分式没意义，故（2）是错误的.
例2 分析 （1）式中等号两边的分母都是已知的，所以从观察分母入手，显然，是由
乘以
得到的，由分式的基本性质，
也要乘以
，所以括号内应填
（2）式中等号两边分子都已知，所以先观察分子，除以
得到右边分子
，按照分式的基本性质，
，故括号内应填
解：（1）
（2）
例3 分析 要把分式的分子、分母中各项系数都化为整数，可根据分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数，怎样确定这个数呢？
（1）中分子、分母中的各项系数是小数，这个数应是各项系数的最小公倍数.
（2）中分子、分母中各项系数()是分数，这个数应该是各项系数的分母的最小公倍数，即5，2，4，3的最小公倍数60.
解：（1）法1：原式
法2：原式
（2）原式
说明 在将分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的数时，要遍乘分子分母的每一项，防止漏乘.
例4 分析 （1）式中分子要变号，分母也要变号，所以应该同时改变分子、分母的符号.
（2）式中分母需要变号，分子不需要变号，所以需要同时改变分母和分式本身的符号.
解：（1）
（2）
例5 分析 在研究某些有关特值的数学问题时，我们可以不考虑一般值，而是直接利用取符合条件特殊值代入研究解决，这就是所谓的特殊值法.
解：当时，
时，
∵不论取什么实数，
是一个定值
∴，∴
∵ ∴
把代入原式，得
∴、
的关系为
；定值为
例6 解：设圆台的压力为G牛顿，下底面积为，上底面积为
.
则,
∴
∴当圆台倒放时，桌面受到的压强为：
(牛顿/
)
答：桌面受到的压强为牛/
.
说明 运用分式知识，有助于解决物理中问题
（1）； （2）
； （3）
； （4）
．
例7 分析 根据“分式的变号法则：分子、分母、分式的符号中，同时改变其中任意两个，分式的值不变”．
解：（1）同时改变分子和分式的符号，得
；
（2）同时改变分母和分式的符号，得
；
（3）先确定是分母的符号，再变号，得
；
（4）先确定是分子的符号，然后变号，得
．
说明 1．分式中的分数线实际上起到了括号的作用．如果分式的分子或分母是多项式，要把它看成是一个整体，考虑这个整体的符号，如（3），（4）题，千万不可误解成或
；
2．对于（4）题，也可处理成的形式．
例8 分析 此分式分子中各系数的最小公倍数是6，分母中各系数的最小公倍数是10，而10和6的小公倍数是30．于是可利用分式的基本性质：分子、分母同时乘以30．
解：．
说明 1．利用分式基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理，提供了便利条件．
2．操作过程中，用数30的确定是问题的关键所在．因此不仅要考虑到分子、分母，还要考虑分式，使化成整系数一次到位．
例9 分析 约分变形的前提是分子、分母有公因式．
解：（1）、（2）、（3）题的变形都不是约分，结果都是错误的．
（1）分式的分子和分母分别是一个整式，利用分式的基本性质，“除以一个整式”是对分子、分母的整体进行的．而只对分子和分母中的某一项进行，就违背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的．
（2）分式的分母是个平方和的形式，不能分解．因此分子、分母没有公因式，它是最简分式．故此题的变形是毫无根据的．
（3）当分子、分母都是乘积的形式，才有约分的可能，而这里与
是和的形式，因此不能进行约分．正确的结果解法是：
（4）此题是约分变形．因此分母化成的形式，与分子约去公因式
可得．
说明 1．对于代数式的恒等变形形式多样，但每一种变形却是运用定义、定理，并根据法则规范操作，而绝不能随心所欲；
2．对（1）、（2）、（3）题的变形错误，实际上也可以举反例说明．如（1）题：当，
时，
．（2）、（3）题同理．
例10 分析 化简就是把分式的分子、分母中的公因式约去使其成为最简公式．因此对分子、分母是单项式时候，先分别化成与公因式的乘积形式；对于多项式仍然要先分解因式．
解： （1）；
（2）；
（3）．
说明 1．当分式中分子或分母的系数为负时，处理负号是首先要进行的．
2．约分是实现化简分式的一种手段．通过约分将分式化成最简才是目的．而最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件．
3．把分式的分子、分母因式分解是约分的需要，但也要根据分式的具体情况，而不可盲目进行分解．例如（2）题，分式已经是最简分式了，因此就没有必要将分子再继续分解了．
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