精品2019高中数学 第二章 平面向量 第二讲 向量的线性运算2 向量的数乘学案 苏教版必修1

向量的数乘

一、考点突破

二、重难点提示

重点：向量数乘的运算及其几何意义。

难点：两向量共线的含义及共线定理。

一、向量的数乘的定义

一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：

（1）|λa|＝|λ||a|；

（2）当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0。

实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘。

【要点诠释】向量数乘的几何意义

由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当|λ|＞1时，表示a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的|λ|倍；

当|λ|＜1时，表示a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩小为原来的|λ|倍。

二、向量数乘的运算律

（1）λ（μa）＝（λμ）a；

（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa；

（3）λ（a＋b）＝λa＋λb。

三、向量数乘的作图

已知word/media/image3_1.png，作word/media/image4_1.png。当word/media/image5_1.png时，把word/media/image3_1.png按原来方向变成原来的word/media/image6_1.png倍；当word/media/image7_1.png时，把word/media/image3_1.png按原来向量的相反方向变成原来的word/media/image8_1.png倍。

【要点诠释】

①注意数零及零向量：word/media/image9_1.png

②实数与向量求积有意义，结果是一个向量，不能进行加减运算，比如word/media/image10_1.png是没有意义的。

③式子word/media/image11_1.png时可以改写为word/media/image12_1.png，但一定不能改写成word/media/image13_1.png或者word/media/image14_1.png，两个向量不定义除法运算。

四、共线向量定理

如果有一个实数λ，使b＝λa（a≠0），那么b与a是共线向量；反之，如果b与a（a≠0）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa。

【要点诠释】

准确理解共线向量定理

共线向量定理为运用向量判定直线平行或三点共线等几何问题提供了理论依据。理解时应注意以下几点：

（1）定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b＝λa（a≠0），则a与b共线；反之，若a与b共线（a≠0），则必存在一个实数λ，使b＝λa。

（2）定理中，之所以限定a≠0是由于若a＝b＝0，虽然λ仍然存在，可是λ不唯一，定理的正反两个方面不成立。

（3）若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0。

【随堂练习】已知word/media/image15_1.png是平面上一定点，word/media/image16_1.png是平面上不共线的三个点，动点P满足word/media/image17_1.png，则P的轨迹一定通过word/media/image18_1.pngABC的___________。

① 外心 ② 内心 ③ 重心 ④ 垂心

思路分析：根据向量的减法和数乘以及几何意义解决。

答案：②

由word/media/image19_1.png得

word/media/image21_1.png

设word/media/image22_1.png，则word/media/image23_1.png

以AE，AD为邻边构造平行四边形AEFD，则word/media/image24_1.png

所以word/media/image25_1.png，所以word/media/image26_1.png共线。

所以P的轨迹一定通过word/media/image27_1.pngABC的内心

【重要提示】

注意：word/media/image28_1.png为与word/media/image29_1.png同向的单位向量。在判断图形情况时注意向量的运算以及向量运算的几何图形的应用。

例题1 （向量数乘的基本运算）

设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求（word/media/image31_1.pnga－b）－（a－word/media/image32_1.pngb）＋（2b－a）。

思路分析：去括号→合并共线向量→化简。

答案：原式＝word/media/image31_1.pnga－b－a＋word/media/image32_1.pngb＋2b－a

＝（word/media/image31_1.png－1－1）a＋（－1＋word/media/image32_1.png＋2）b

＝－word/media/image33_1.pnga＋word/media/image33_1.pngb＝－word/media/image33_1.png（3i＋2j）＋word/media/image33_1.png （2i－j）

＝（－5＋word/media/image34_1.png）i＋（－word/media/image34_1.png－word/media/image33_1.png）j＝－word/media/image33_1.pngi－5j。

技巧点拨：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看做是向量的系数。

例题2 （向量的表示）

如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，word/media/image35_1.png＝3a，word/media/image36_1.png＝2b，求word/media/image37_1.png，word/media/image38_1.png。

思路分析：由D，E为边AB的两个三等分点可知A，B，D，E四点共线，从而向量word/media/image40_1.png，word/media/image41_1.png均可以由向量word/media/image42_1.png表示，而向量word/media/image42_1.png可由向量word/media/image43_1.png，word/media/image44_1.png表示，从而问题可解。

答案：∵word/media/image43_1.png＝3a，word/media/image36_1.png＝2b，

∴word/media/image45_1.png＝word/media/image36_1.png－word/media/image43_1.png＝2b－3a，

又D，E为边AB的两个三等分点，

所以word/media/image46_1.png＝word/media/image47_1.pngword/media/image45_1.png＝word/media/image48_1.pngb－a，

所以word/media/image49_1.png＝word/media/image43_1.png＋word/media/image50_1.png＝3a＋word/media/image48_1.pngb－a＝2a＋word/media/image48_1.pngb，

word/media/image51_1.png＝word/media/image43_1.png＋word/media/image52_1.png＝3a＋word/media/image48_1.pngword/media/image45_1.png

＝3a＋word/media/image48_1.png （2b－3a）＝a＋word/media/image53_1.pngb。

技巧点拨：

用已知向量表示未知向量的求解思路：

（1）先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；

（2）然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量；

（3）求解过程体现了数学上的化归思想。

如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE到N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线。

思路分析：本题利用三角形法则转化到可证两向量共线，从而解决点共线的几何问题。

答案：在△AMC中，D为MC的中点，

∴2word/media/image50_1.png＝word/media/image57_1.png＋word/media/image58_1.png，

又∵D是AB的中点，∴2word/media/image50_1.png＝word/media/image59_1.png，

∴word/media/image59_1.png＝word/media/image57_1.png＋word/media/image58_1.png，∴word/media/image57_1.png＝word/media/image59_1.png－word/media/image58_1.png＝word/media/image60_1.png，

同理可证word/media/image61_1.png＝word/media/image58_1.png－word/media/image59_1.png＝word/media/image62_1.png，

∴word/media/image57_1.png＝－word/media/image61_1.png，∴word/media/image57_1.png，word/media/image61_1.png共线且有公共点A，

∴A，M，N三点共线。

技巧点拨：1. 用已知向量表示相关向量时，一般使用向量运算的三角形法则表示出相关向量，然后用相等向量、相反向量及数乘向量逐步替换为已知向量。

2. 解答本类问题除使用向量的线性运算外，还要灵活运用平面几何中的相关性质和结论。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/bea6384fba4cf7ec4afe04a1b0717fd5370cb270.html