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2017-2018学年
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
合题目要求的。
（1）若复数满足
，其中
为虚数单位，则在复平面上复数
对应的点的坐标为（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
【答案】D
【解析】
试题分析：z=，故选D.
考点：复数的几何意义．
（2）已知全集word/media/image10_1.png，集合
word/media/image11_1.png，
word/media/image12_1.png，
则（ ）
（A）word/media/image14_1.png （B）
word/media/image15_1.png （C）
word/media/image16_1.png （D）
word/media/image17_1.png
【答案】A
【解析】
考点：集合的运算．
（3）如图，在正方形中，点
是
的中点，点
是
的一个三等分点，那么
＝（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【解析】
试题分析：在△CEF中，＝
＋
.因为点E为DC的中点，所以
＝
.因为点F为BC的一个三等分点，所以
＝
.所以
＝
＋
＝
＋
＝
－
，故选D.
考点：平面向量基本定理．
（4）已知为等比数列，
，
，则
（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
【答案】B
【解析】
试题分析：由得
，所以
，所以
，所以
，故选B.
考点：等比数列的性质．
（5）已知随机变量服从正态分布
，若
，
则（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】
考点：正态分布
（6）已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
（
为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
【答案】D
【解析】
考点：双曲线的几何性质．
（7）设是等差数列
的前
项和，若
，则
＝（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
【答案】A
【解析】
试题分析：因为，由等差数列前
项和公式得，
，故选A．
考点：等差数列的前项和．
（8）如图给出了计算的值的程序框图，其中①②分别是（ ）
（A），
（B）
，
（C），
（D）
，
【答案】C
【解析】
试题分析：因为2,4,6,8，…，60构成等差数列，首项为2，公差为2，所以2＋2(n－1)＝60，解得n＝30，所以该程序循环了30次，即i>30，n＝n＋2，故选C．
考点：程序框图．
（9）已知函数的最小正周期是
，将函数
图象向左平移
个单位长度后所得的函数图象过点
，则函数
（ ）
（A）在区间上单调递减 （B）在区间
上单调递增
（C）在区间上单调递减 （D）在区间
上单调递增
【答案】B
【解析】
考点：三角函数
的图象与性质．
（10）若的展开式中含有常数项，则
的最小值等于（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】
试题分析：由展开式的通项公式，
得即
有符合条件
的解，∴ 当
时，
的最小值等于5，故选C．
考点：二项式定理的应用．
（11）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（ ）
（A）外接球的半径为 （B）表面积为
（C）体积为 （D）外接球的表面积为
【答案】B
【解析】
考点：三视图，表面积．
【名师点睛】三视图问题，关键是由三视图画出原几何体的直观图，为此我们要掌握基本几何体的三视图，棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的三视图，由这些简单几何体的三视图可以直接想象题中几何体的形状，再由“长对正，高平齐，宽相等”的原则确定几何体中的长度，线面的关系等等，有时由于大多数几何体是从正方体或长方体中切割、组合所得，因此在画原几何体时，可以先画出正方体（或长方体），在此基础上取点、连线得原图．
（12）已知定义在上的函数
满足：函数
的图象关于直线
对称，且当
成立(
是函数
的导函数), 若
，
，
, 则
的大小关系是（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
【答案】A
【解析】
考点：导数的综合应用．
【名师点睛】本题是比较实数的大小，解题的关键是构造新函数，它的导数
可利用已知不等式确定正负，从而确定出单调性，利用对数函数的性质可比较出
的大小，从而得出
的大小，即
的大小，此类问题我们要根据已知及要求的结论构造出恰当的新函数，如
，
，
，
等等．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题和第23题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）若直线（
，
）经过圆
的圆心，则
的最小值为___________．
【答案】4
【解析】
试题分析：圆心坐标为，
．
考点：基本不等式．
（14）已知直线与曲线
相切，则
的值为___________．
【答案】2
【解析】
试题分析：根据题意，求得
，从而求得切点为
，该点在切线上，从而求得
，即
.
考点：导数的几何意义．
（15）已知、
满足不等式组
，则
的最大值是 ．
【答案】6
【解析】
考点：简单的线性规划．
【名师点睛】简单的线性规划问题，首先要作出可行域，作直线，把
中转化为
，易知
是直线的纵截距，因此当
时，直线向上平移，
增大，在
时，直线向下平移，
增大，这样我们把
的值与直线纵截距联系起来，可容易求得最优解．
（16）在正四棱锥中，
，直线
与平面
所成角为
，
为
的中点，则异面直线
与
所成角的大小为___________．
【答案】
【解析】
考点：异面直线所成的角．
【名师点睛】求异面直线所成的角，可根据定义，作平行线，即把异面直线平移到相交位置，求出相交直线所夹的锐角即为异面直线所成角，一般通过解三角形求得角，因此要考虑异面直线所成角的范围为；立体几何中的另两个角直线与平面所成的角，二面角常常用空间向量法求解．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
在中，角
,
,
所对的边分别为
,
,
，已知
．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）如果，
，求
的面积．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）三角形中求角问题，已知是三边的关系，可用余弦定理求解；（Ⅱ）有两角和一角对边，可用正弦定理求得另一角的对边，这时可再结合已知求出第三边，选用公式得面积．
试题解析：（Ⅰ）∵∴
…………3分
∵………4分
∴……5分
（Ⅱ）由正弦定理得：……6分∴
………8分
∵∴
………9分解得：
∵
∴……10分∴
的面积
……12分
考点：余弦定理，正弦定理，三角形面积．
（18）（本小题满分12分）
一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为
，
，
，
，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）.
（Ⅰ）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（Ⅱ）从盒子中随机抽取个小球，其中重量在
内的小球个数为
，求
的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).
【答案】（Ⅰ），众数20，平均数24.6；（Ⅱ）分布列见解析，期望为
．
【解析】
（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为
， …………6分
则.
的可能取值为
、
、
、
， …………7分
，
，
，
. …………9分
的分布列为：
…………10分
.（或者
）………12分
考点：频率分布直方图，用样本估计总体，随机变量分布列，数学期望．
（19）（本小题满分12分）
如图，四边形是矩形，
，
是
的中点，
与
交于点
，
平面
.
word/media/image235_1.png
（Ⅰ）求证：面
；
（Ⅱ）若，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【解析】
证法2：（坐标法）证明
，得
，往下同证法1．
证法3：（向量法）以为基底， ∵
，
∴
∴，往下同证法1．
另法：由（1）得两两垂直,以点
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，…………6分
则，
，
，
，
，
，
， …………8分
考点：线面垂直的判定，直线与平面所成的角．
（20）（本小题满分12分）
已知点，点
是圆
上的任意一点，线段
的垂直平分线与直线
交于点
．
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线与点
的轨迹有两个不同的交点
和
，且原点
总在以
为直径的圆的内部，求实数
的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅱ）设
，
，则将直线与椭圆的方程联立得：
，消去
，得：
，
，
………
，
…………………6分
原点
总在以
为直径的圆的内部
即
……7分
而……9分
即，且满足
式
的取值范围是
…12分
考点：动点轨迹方程（椭圆的标准方程），直线与椭圆的位置关系．
【名师点睛】求轨迹方程时，常用的有三种方法，一是直接法，即直接设动点坐标为，代入已知求出
的方程，二是定义法，即确定出动点的轨迹，如椭圆、双曲线、抛物线、圆等，再由它们的标准方程求出结论，三是代入法（动点转移法），动点P是由点Q在曲线C上运动引起的，可设
，
，把
用
表示出来，再把
代入曲线
的方程即得．本题是用定义法求得的轨迹方程．
（21）（本小题满分12分）
已知函数，
.
（Ⅰ）函数的图象与
的图象无公共点，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意的
，都有函数
的图象在
的图象的下方？若存在，请求出整数
的最大值；若不存在，请说理由.
（参考数据：，
,
）.
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）1
【解析】
试题解析：（Ⅰ）函数
与
无公共点，
等价于方程在
无解 ............. 2分
令，则
令
得
因为是唯一的极大值点，故
……………4分
故要使方程在
无解，
当且仅当，故实数
的取值范围为
….......…5分
（Ⅱ）假设存在实数满足题意，则不等式
对
恒成立.
即对
恒成立.………………6分
令，则
，
令，则
，………………7分
∵在
上单调递增，
，
，
且的图象在
上连续，
考点：转化与化归思想．导数的综合应用．
【名师点睛】命题“对任意的，都有函数
的图象在
的图象的下方”等价于不等式“不等式
对
恒成立”，从而转化为“
对
恒成立”，最终转化为“求函数
的最小值”．容易出错的地方是误认为函数
的最大值小于或等于函数
的最小值，解题时要注意．
请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知过点的直线
的参数方程是
（
为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程式为
.
（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线
交于两点
，且
，求实数
的值．
【答案】（Ⅰ）：
，C：
．（Ⅱ）
或1．
（Ⅱ）把
（
为参数），代入
，
得，……………………
分
由，解得
．
∴．
∵，∴
，
解得或1．又满足
．∴实数
或1．……………………
分
考点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化．
(23) （本小题满分10分）选修 4-5：不等式选讲
设函数
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若存在使不等式
成立，求实数
的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅱ）存在
使不等式
成立
…………7分
由（Ⅰ）知，时，
时，
……………………8分
…………………9分
∴实数的取值范围为
…………………10分
考点：绝对值不等式．
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