二次函数解析式的8种求法
二次函数的解析式的求法是数学教学的难点,学不易掌握.他的基本思想方法是待定系数法,根据题目给出的具体条件,设出不同形式的解析式,找出满足解析式的点,求出相应的系数.下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下,和大家共勉:
一、定义型:
此类题目是根据二次函数的定义来解题,必须满足二个条件:1、a ≠0; 2、x的最高次数为2次.
例1、若 y =( m2+ m )xm2 – 2m -1是二次函数,则m = .
解:由m2+ m≠0得:m ≠0,且 m ≠- 1
由m2–2m –1 = 2得m =-1 或m =3
∴ m = 3 .
二、开放型
此类题目只给出一个条件,只需写出满足此条件的解析式,所以他的答案并不唯一.
例2、(1)经过点A(0,3)的抛物线的解析式是 .
分析:根据给出的条件,点A在y轴上,所以这道题只需满足b6afd8a3e890031af21ae0da5f7fc5ff.png
三、平移型:
将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线.要借此类题目,应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k,当图像向左(右)平移n个单位时,就在x – h上加上(减去)n;当图像向上(下)平移m个单位时,就在k上加上(减去)m.其平移的规律是:h值正、负,右、左移;k值正负,上下移.由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变,所以a得值不变.
例3、二次函数 6de68d9436375468d70769affa3eb2f1.png
解:f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png
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这两类题目多出现在选择题或是填空题目中
四、一般式
当题目给出函数图像上的三个点时,设为一般式b6afd8a3e890031af21ae0da5f7fc5ff.png
五、顶点式
若已知抛物线的顶点或对称轴、极值,则设为顶点式49d31664ceabafbb1f9f272c5916d4ca.png
六、两根式
已知图像与 x轴交于不同的两点1e4a276db24403225912417829a410a3.png
例4、根据下面的条件,求二次函数的解析式:
1.图像经过(1,-4),(-1,0),(-2,5)
2.图象顶点是(-2,3),且过(-1,5)
3.图像与x轴交于(-2,0),(4,0)两点,且过(1,-fe6726f46f877a9be45ab402ebb5889b.png
解:1、设二次函数的解析式为:3ecb9e6e9b782f104f1a68ce4d44b009.png
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2、设二次函数解析式为:y = a( x – h)2 + k,f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png
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3、设二次函数解析式为:y = a( x – 5580b09677756ec5ad96af48959a6a5e.png
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依题意得:-fe6726f46f877a9be45ab402ebb5889b.png
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七、翻折型(对称性):
已知一个二次函数3ecb9e6e9b782f104f1a68ce4d44b009.png
(1)关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称,两个图象的开口方向相反,即互为相反数.
(2)关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称,两个图象的形状大小不变,即相同.
(3)关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变,开口方向相反,即互为相反数.
例6 已知二次函数,求满足下列条件的二次函数的解析式:(1)图象关于轴对称;(2)图象关于轴对称;(3)图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称.
解:可转化为,据对称式可知
①图象关于轴对称的图象的解析式为,
即:.
②图象关于轴对称的图象的解析式为:
,即:;
③图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的图象的解析式为
,即.
八、数形结合
数形结合式的二次函数的解析式的求法,此种情况是融代数与几何为一体,把代数问题转化为几何问题,充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题,只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数,以达到目的.
例7、如图,已知抛物线157398528e6719c0961e5071d7593d53.png
word/media/image56.gif y
M A B
O x
P
解: 设P的坐标为(-1,y), ∵P点在第三象限∴y<0,
过点P作PM⊥X轴于点M. 点M的坐标为(-1,0)
|BM| = |BA|+ |AM|
∵∠PAO=45148505318eba0d256fbe897a083a3da9.png
∴ |PM | = |AM| = |y | =-y
∵f6d379a15e9749319992b207fa9bf85b.png
∴y = -3
∴P的坐标为(-1,-3)
∴A的坐标为(2,0)
将点A、点P的坐标代如函数解析式
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解得:5773244bd83c58f69a015c973d73c400.png
∴抛物线的解析式为:3ac6bf0de9dd810d9991da2e3438e552.png
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/bb61e50279563c1ec5da71e7.html
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