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2019年山东省青岛市市南区中考数学二模试卷-

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2019 年山东省青岛市市南区中考数学二模试卷
、选择题（本题满分 24 分，共有 8道小题，每题 3 分）
1．（3 分）下列各组数中，互为倒数的是（ A ．﹣ 0.15和
B．﹣3和
）
C．0.01和
100 1 D．1 和﹣
2．（3 分）下列图形中既不是轴对称也不是中心对称图形的是（
）


D．
3．（3 分）下列代数式运算正确的是（
2 6 8
）
A ．（﹣ a ） ?a ＝﹣ a
2 3 6
B．（﹣2b ） ＝﹣ 6b C．3+ 2 2 3 3 D ．（ m﹣ n）（ m +mn+n ）＝ m ﹣
n 4．（3 分）如图，圆内接四边形 ABCD 是由四个全等的等腰梯形组成， AD 是 ⊙O 的直径，
A ． 15 °

B．30° C． 45° D． 60 5．（ 3分）如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点都在方格线的格点上，将△ ABC 绕点
P 顺时针方向旋转 90°，得到△ A′ B′ C′，则点 P 的坐标为（

A ．（0，4）

B．（1，1） C．（ 1， 2） D．（2，1）
第1 页（共 32页）


6．（ 3 分）如图，△ ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB，AC 于 D，E，S△ADE＝
2S△DCE，则
＝（ ）

7．（3 分）为选拔一名选手参加全国中学生男子百米比赛，我市四名中学生参加了训练，他 B．乙
们成绩的平均数 及其方差 s2 如表所示：


A ．甲 C．丙 D．丁
甲

乙
15″29 1.6
丙
10″26 1.3
丁
10″26 1.1
12″33
2 S

1.1
如果从中选拔一名学生去参赛，应派（
）去．8．（ 3分）如图，点 A（﹣2，0），B（0，1），以线段 AB 为边在第二象限作矩形 ABCD ，双
曲线 y＝ （k<0）过点 D，连接 BD，若四边形 OADB 的面积为 6，则 k 的值是（

C．﹣
16 、填空题（本小题满分 18 分，共有 6道小题，每题 3 分）
D ．﹣
18 9．（ 3分） PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 0.0000025m的颗粒物，将 0.0000025 用科学第2 页（共 32页）


记数法表示为
10．（ 3 分）在一个暗箱里放有 a 个除颜色外完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3 个．每
次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色后，再放回暗箱，通过大量的重复试验 后发现，摸到红球的频率稳定在 25%．那么估计 a 大约有 个．
11．（3 分）如图，△ ABC 是等腰直角三角形，∠ ACB＝ 90°， BC＝ AC，把△ ABC 绕点
A 按顺时针方向旋转 45°后得到△ AB′ C′，若 AB＝ 2，则线段 BC 在上述旋转过程中所 扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留 π）．

2
12．（3 分）二次函数 y＝ax2﹣12ax+36a﹣5 的图象在 4< x<5 这一段位于 x 轴下方，在 8< x< 9 这一段位于 x 轴上方，则 a 的值为
13．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，将△ BCE 沿 BE 折叠后得到△ BEF、
且点 F 在矩形 ABCD 的内部，将 BF 延长交 AD 于点 G．若 ＝ ，则 ＝
点 P 在 E1F1 上，且 E1P＝ E1F1， 14．（ 3 分）棱长分别为 7cm，6cm 两个正方体如图放置，
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 P，需要爬行的最短距离是

第 3 页（共 32 页）


三、作图题（本题满分 4 分）第 4 页（共 32 页）


15．（4 分）用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹
如图， OA 、OB 表示两条道路，在 OB 上有一车站（用点 P 表示）．现在要在两条道路形 成的∠ AOB 的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且在过点 的道路上．请在图中作出报亭的位置．
P 与 AO平行
共有 9 道小题）


16．（8 分）（1）计算：（1﹣ ）
2）解不等式组


，并求其最小整数解．
17．（ 6 分）春节期间某商场搞促销活动，方案是：在一个不透明的箱子里放 4 个完全相同
的小球，球上分别标“ 0元”、“20 元”、“ 30元”、“50 元”，顾客每300 元，就可 消费满
从箱子里同时摸出两个球，根据这两个小球所标金额之和可获相应价格的礼品；
1）若某顾客在甲商商场消费 320 元，至少可得价值
元的礼品，至多可得价值
元的礼品；
2）请用画树状图或列表的方法，求该顾客去商场消费，获得礼品的总价值不低于
50 元的概率．
18．（6 分）某公园的人工湖边上有一座假山， 假山顶上有一竖起的建筑物 CD，高为 10米，
数学小组为了测量假山的高度 DE，在公园找了一水平地面， 在 A 处测得建筑物点 D（即 山顶）的仰角为 35°，沿水平方向前进 20 米到达 B 点，测得建筑物顶部 C 点的仰角为
45°，求假山的高度 DE ．（结果精确到 1 米，参考数据： sin35°≈ ， cos35°≈ ， tan35°≈ ）

第5 页（共 32页）


19．（ 6 分）某工厂的甲、乙两个车间各生400 个新款产品，为了检验甲、乙两车间生 165≤x<180 为合格），分别从甲、乙两个产了
产的同一款新产品的合格情况（尺寸范围车
间生产的产品中随机各抽取了 20 个样品进行检测，获得了它们的数据（尺寸） ，并对数 据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．甲车间产品尺寸的扇形统计图如下 （数据分为 6 组： 165≤ x< 170，170≤ x< 175，175
≤x< 180， 180≤ x< 185≤x<190，190≤x≤195）： 185，
b．甲车间生产的产品尺寸在
175 176 176 177 177 178 178 179 179 175≤x< 180 这一组的是：
c．甲、乙两车间生产产品尺寸的平均数、中位数、众数如下：
车间 甲车间 乙车间
平均数
178 177
中位数
m 182
众数
183 184
根据以上信息，回答下列问题：

1）表中 m 的值为
2）此次检测中， 甲、乙两车间生产的产品合格率更高的是
（填“甲”或“乙”）， 理由是
3）如果假设这个工厂生产的所有产品都参加了检测， 那么估计甲车间生产该款新产品
第6 页（共 32页）


中合格产品有 个．

第7 页（共 32页）


20．（8 分）某果品超市经销一种水果，已知该水果的进价为每千克 15元，通过一段时间的
销售情况发现， 该种水果每周的销售总额相同，且每周的销售量 y（千克）与每千克售价
x（元）的关系如表所示
每千克售价 x（元） 每周销售量 y（千克）
25 240
30 200
40 150
（ 1）写出每周销售量 y（千克）与每千克售价 x（元）的函数关系式；
（2）由于销售淡季即将来临，超市要完成每周销售量不低于 300 千克的任务，则该种水 果每千克售价最多定为多少元？
（3）在（ 2）的基础上，超市销售该种水果能否到达每周获利 1200元？说明理由．
21．（8分）已知：如图，在矩形 ABCD 中，点 E在边 AD 上，点 F 在边 BC 上，且 AE＝CF， 作 EG∥FH ，分别与对角线 BD 交于点 G、H，连接 EH，FG ．
（ 1）求证：△ BFH≌△ DEG；
（2）连接 DF ，若 BF ＝DF ，则四边形 EGFH 是什么特殊四边形？证明你的结论．
22．（ 10 分）如图，斜坡 AB 长 10 米，按图中的直角坐标系可用 y＝

x+5 表示，点 A，
B 处，

B 分别在 x 轴和 y 轴上．在坡上的 A 处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到
1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围） 2）求水柱离坡面 AB 的最大高度；
3）在斜坡上距离 A点 2米的 C 处有一颗 3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？ 23．（ 10 分）【探究】第8 页（共 32页）


（ 1）观察下列算式，并完成填空：
1＝1 2 2 1+3＝ 4＝
2 ；
1+3+5＝ 9＝ 3 ； 1+3+5+7＝16＝ 4 ； 1+3+5+⋯+（2n﹣1）＝
2 2 ．（n 是正整数）
（2）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是 一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括 6 块正 方形和 6 块正三角形地板砖； 第二层包括 6块正方形和 18块正三角形地板砖； 以此递推． ① 第 3 层中分别含有 块正方形和 块正三角形地板砖； ② 第 n 层中含有 块正三角形地板砖（用含 n 的代数式表示） 【应用】
该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有 1 块正六边形、 150 块正方形和 420 块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，最多能铺多少层？请说明理 由．

24．（12 分）菱形 ABCD 中，对角线 AC＝6cm，BD＝8cm，动点 P、Q 分别从点 C、O 同时
出发，运动速度都是 1cm/s，点 P 由 C 向 D 运动； 点 Q 由 O 向 B 运动，当 Q 到达 B 时，
P、Q 两点运动停止，设时间为 t 妙（ 0<t<4）．连接 AP，AQ，PQ．
（ 1）当 t 为何值时， PQ⊥AB；
2
（ 2）设△ APQ 的面积为 y（cm2），请写出 y 与 t 的函数关系式； （ 3）当 t 为何值时，△ APQ 的面积是四边形 AQPD 面积的 ？
（4）是否存在 t 值，使得线段 PQ 经过 CO 的中点 M ？若存在，求出 t 值；若不存在， 请说明理由．

第 9 页（共 32页）


第10 页（共 32页）


2019 年山东省青岛市市南区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分 24 分，共有 8道小题，每题 3 分）
1．（3 分）下列各组数中，互为倒数的是（ A ．﹣ 0.15和
B．﹣3和
）
C．0.01和
100 D．1和﹣1 【分析】 根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为 1，即可解答． 【解答】 解： A、﹣ 0.15× ＝﹣ 1，故本选项错误，
B 、﹣ 3× ＝﹣ 1，本选项错误， C、0.01×100＝1，故本选项正确， D 、1×（﹣ 1）＝﹣ 1，故本选项错误，
故选： C ．
【点评】 此题主要考查倒数的概念及性质． 倒数的定义： 若两个数的乘积是 1，我们就称
这两个数互为倒数．
2．（3 分）下列图形中既不是轴对称也不是中心对称图形的是（
）
【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】 解： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合题意． 故选： C ．
【点评】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分 重合．
3．（3 分）下列代数式运算正确的是（ A ．（﹣ a ） ?a ＝﹣ a B．（﹣2b ） ＝﹣ 6b2 3 6 2 6 8 ）
第11 页（共 32页）


C．3+ 2 2 3 3 D ．（ m﹣ n）（ m +mn+n ）＝ m ﹣
n 【分析】 根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】 解：（A）原式＝ a8，故 A 错误； （B）原式＝﹣ 8b6，故 B 错误； （ C ）原式＝ 3+ ，故 C 错误； 故选： D ．
【点评】 本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础 题型．
4．（ 3分）如图，圆内接四边形 ABCD 是由四个全等的等腰梯形组成， AD 是⊙O的直径，

A ．15° B．30° C． 45° D． 60°
【分析】 根据等腰梯形的性质可求得较小的底角的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆 周角的二倍从而求得∠ BEC 的度数．
【解答】 解：设等腰梯形的较小的底角为 x，则 3x＝ 180°， ∴x＝ 60°，
依题意，延长 BF、 CG必交于点 O（△ ABO ，△ CDO 为等边三角形） ， ∴△BOC 为等边三角形， ∴∠ BOC＝ 60°，
∴∠ BEC＝ ∠ BOC＝30°． 故选： B ．

点评】 此题考查了学生对等腰梯形的性质，圆周角定理等知识点的理解及运用．
5．（ 3分）如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点都在方格线的格点上，将△ ABC 绕点
第 10 页（共 32 页）

P 顺时针方向旋转 90°，得到△ A′ B′ C′，则点 P 的坐标为（
C．（1， 2）

D．（2，1）
分析】 选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点 P． 解答】 解：由图知，旋转中心 P 的坐标为（ 1，2），

点评】 本题主要考查坐标与图形的变化﹣旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
6．（ 3 分）如图，△ ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB，AC 于 D，E，S△ADE＝
2S△DCE，则
＝（ ）
C．

D．
分析】 根据 S△ADE ＝2S△DCE，可求出 AE：CE，从而求出 AE：AC，再利用相似三角形第 13 页（共 32 页）


面积比等于相似比的平方，即可求．
【解答】 解：∵ S△ADE ＝2S△DCE，△ ADE 与△ DCE 的高相同 ∴△ ADE 与△ DCE 中， ＝ 2 ∴＝ ∴＝ ∵DE∥ BC ∴△ ADE∽△ DCE ，相似比等于 ＝
则＝
故选： D ．
【点评】 本题主要考查了相似三角形的性质，面积的比等于相似比的平方，由
2S△DCE 得到 ＝ 是解决本题的关键．
△S△ADE＝

7．（3 分）为选拔一名选手参加全国中学生男子百米比赛，我市四名中学生参加了训练，他
们成绩的平均数 及其方差 s2 如表所示：

甲

乙
15″29 1.6
丙
10″26 1.3
丁
10″26 1.1
12″33
2 S
1.1
如果从中选拔一名学生去参赛，应派（ ）去．
A ．甲
B ．乙
C．丙
D．丁
【分析】 方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越 大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【解答】 解：因为丙丁的平均成绩最好， 丁的方差最小， 即丁最稳定， 所以选丁最合适． 故选： D ．
【点评】 本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．
8．（ 3分）如图，点 A（﹣2，0），B（0，1），以线段 AB 为边在第二象限作矩形 ABCD ，双
曲线 y＝ （k<0）过点 D，连接 BD，若四边形 OADB 的面积为 6，则 k 的值是（
）第 14 页（共 32 页）


C．﹣
16
D ．﹣
18 分析】 过 D 作 DM ⊥x 轴于 M，根据相似三角形的性质和判定求出 DM ＝2AM，根据三

角形的面积求出 x，即可求出 DM 和 OM ，得出答案即可．
解答】

∵点 A（﹣ 2，0），B（0，1）， ∴OA＝ 2，OB＝1，
过D作 DM⊥x轴于 M，则∠ DMA ＝90°， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ DAB＝ 90°，
∴∠ DMA ＝∠ DAB＝∠ AOB ＝ 90°，
∴∠ DAM +∠BAO＝90°，∠ DAM +∠ ADM ＝ 90°， ∴∠ ADM ＝∠ BAO， ∴△ DMA ∽△ AOB， ∴ ＝ ＝ ＝2， 即 DM ＝ 2MA，
设 AM＝x，则 DM ＝2x， ∵四边形 OADB 的面积为 6， ∴S 梯形DMOB ﹣S△DMA ＝ 6，

第 15 页（共 32 页）


∴ （ 1+2x）（ x+2）﹣ ?2x?x＝ 6， 解得： x＝ 2，
则 AM＝2，OM＝4，DM ＝4， 即 D 点的坐标为（﹣ 4， 4）， ∴ k＝﹣ 4× 4 ＝﹣ 16， 故选： C ．
【点评】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数
k 的几何意义、
三角形的面积、 相似三角形的性质和判定等知识点， 能求出 DM ＝2AM 是解此题的关键．
、填空题（本小题满分 18 分，共有 6道小题，每题 3 分）
9．（ 3分） PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 0.0000025m的颗粒物，将 0.0000025 用科学 记数法表示为 2.5× 106 ．
﹣【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示， 一般形式为 a×10n，与较﹣大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数
字前面的 0 的个数所决定． 解答】 解： 0.0000025＝2.5×10 故答案为： 2.5×10
﹣6，
﹣6
点评】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为
a× 10n，其中 1≤|a|<10，
﹣n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
10．（ 3 分）在一个暗箱里放有 a 个除颜色外完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3 个．每
次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色后，再放回暗箱，通过大量的重复试验 后发现，摸到红球的频率稳定在 25%．那么估计 a 大约有 12 个．
【分析】 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近， 可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】 解：由题意可得， ×100%＝ 25%， 解得， a＝12 个． 估计 a 大约有 12 个． 故答案为： 12．
点评】 本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频
率得到相应的等量关系．第 16 页（共 32 页）


11．（3 分）如图，△ ABC 是等腰直角三角形，∠ ACB＝ 90°， BC＝ AC，把△ ABC 绕点 A
按顺时针方向旋转 45°后得到△ AB′ C′，若 AB＝ 2，则线段 BC 在上述旋转过程中所 扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留 π）．

【分析】 根据等腰直角三角形的性质得到 AC＝ BC＝ ，再根据旋转的性质得到 AC′ ＝AC＝ ，AB′＝ AB＝ 2，∠ BAB′＝ 45°，∠ B′AC′＝ 45°，而 S阴影部分＝ S扇形ABB′ +S△AB′C′﹣S△ABC﹣S扇形 ACC′＝ S扇形ABB′﹣ S扇形 ACC′，根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】 解：∵∠ ACB＝90°， CB＝AC，AB＝ 2， ∴ AC ＝ BC ＝ ，
∵△ABC 绕点 A按顺时针方向旋转 45°后得到△ AB′C′，
∴AC′＝ AC＝ ，AB′＝ AB＝2，∠ BAB′＝ 45°，∠ B′ AC′＝ 45°， ∴S 阴影部分＝S扇形 ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC﹣S 扇形ACC′＝ S扇形 ABB′﹣ S扇形 ACC′ ＝﹣ ＝﹣
＝． ＝． 故答案为 ．
【点评】 本题考查了扇形的面积公式： S＝
2
．也考查了等腰直角三角形的性质．
12．（3 分）二次函数 y＝ax2﹣12ax+36a﹣5 的图象在 4< x< 5这一段位于 x 轴下方，在 8< x< 9 这一段位于 x 轴上方，则 a 的值为
【分析】 先求出抛物线的对称轴为直线 x＝6，利用抛物线的对称性得到 x＝4 和 x＝8 对 应的函数值相等， 则可判断抛物线与 x 轴的交点坐标为 （4，0），（8，0），然后把 （4，0） 代入解析式可求出 a 的值．


【解答】 解：∵抛物线的对称轴为直线 x＝﹣ ∴x＝4和 x＝8 对应的函数值相等，
＝ 6，
∵在 4<x<5 这一段位于 x轴下方，在 8<x<9这一段位于 x 轴上方，
第 15 页（共 32 页）

∴抛物线与 x 轴的交点坐标为（ 4， 0），（8，0），
把（ 4， 0）代入 y＝ax2﹣12ax+36a﹣5 得 16 a﹣ 48a+36 a﹣ 5＝ 0，解得 a＝ ． 故答案为 ．
【点评】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点： 把求二次函数 y＝ ax2+bx+c（a，b，c 是常数， a≠0）与 x 轴的交点坐标问题转化解．关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．
13．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，将△ BCE 沿 BE 折叠后得到△ BEF、 且点 F 在矩形 ABCD 的内部，将 BF 延长交 AD 于点 G．若 ＝ ，则 ＝ ．

【分析】 由中点定义可得 DE＝ CE，再由翻折的性质得出 DE＝ EF，BF＝BC，∠BFE＝ ∠D＝90°，从而得到 DE＝EF，连接 EG，利用“ HL”证明 Rt△ EDG ≌Rt△EFG，得出
DG＝ FG，设 DG＝ a，求出 GA、 AD，再由矩形的对边相等得出 AD＝BC，求出 BF，再
求出 BG ，由勾股定理得出 AB，再求比值即可． 【解答】 解：连接 GE ， ∵点 E 是 CD 的中点， ∴EC＝ DE，
∵将△ BCE 沿 BE 折叠后得到△ BEF、且点 F 在矩形 ABCD 的内部， ∴EF＝DE，∠ BFE＝ 90°， 在 Rt△EDG 和 Rt△ EFG 中
，，

∴Rt△EDG ≌Rt△EFG（HL）， ∴FG＝ DG， ∵ ＝ ， ∵ ＝ ，
∴设 DG＝FG ＝ a，则 AG＝7a，
第 19 页（共 32 页）


故 AD＝BC＝ 8a，

第 20 页（共 32 页）


则 BG＝BF+FG ＝ 9a， ∴ AB＝ 故 ＝ ＝ ． 故答案为： ．
＝4 a，

点评】 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、以及翻 折变换的性质；熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
14．（3 分）棱长分别为 7cm，6cm 两个正方体如图放置， 点 P 在 E1F1上，且 E1P＝ E1F1，
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 P，需要爬行的最短距离是

【分析】 求出两种展开图 PA 的值，比较即可判断． 【解答】 解：如图，有两种展开方法： 方法一： PA＝
＝
cm，

第 21 页（共 32 页）


故需要爬行的最短距离是 故答案为： ．
cm．
【点评】 本题考查平面展开﹣最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属 于中考常考题型．
三、作图题（本题满分 4 分）
15．（4 分）用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹
如图， OA 、OB 表示两条道路，在 OB 上有一车站（用点 P 表示）．现在要在两条道路形 成的∠ AOB 的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且在过点 P 与 AO 平行 的道路上．请在图中作出报亭的位置．
作 PN∥ OA 交 OM 于点 T，点 T 即为所求．


本题考查作图﹣应用与设计，平行线的性质，角平分线的性质等知识，解题的
关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．

16．（8 分）（ 1）计算：（ 1﹣ ）
点评】

2）解不等式组

，并求其最小整数解．
四、解答题（本题满分 74 分，共有 9 道小题）
分析】（1）根据分式的减法和除法可以解答本题；
2）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题
解答】 解：（1）（ 1﹣ ）
＝
＝
＝；
第 22 页（共 32 页）



由不等式 ① ，得
x≤3 由不等式 ② ，得
x>﹣ 2，
故原不等式组的解集是﹣ 2< x≤ 3， 故该最小整数解是 x＝﹣ 1．
【点评】 本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们 各自的计算方法．
17．（ 6 分）春节期间某商场搞促销活动，方案是：在一个不透明的箱子里放 4 个完全相同
的小球，球上分别标“ 0元”、“20 元”、“ 30元”、“50 元”，顾客每消费满 300元，就可 从箱子里同时摸出两个球，根据这两个小球所标金额之和可获相应价格的礼品； （1）若某顾客在甲商商场消费 320 元，至少可得价值 20 元的礼品，至多可得价值 80 元的礼品；
（ 2）请用画树状图或列表的方法，求该顾客去商场消费，获得礼品的总价值不低于 元的概率．
【分析】（1）根据题意即可求得该顾客至少可得的金额，至多可得的礼品的金额； （ 2）首先根据题意列出表格， 然后由表格求得所有等可能的结果与该顾客所获礼品的金 额不低于 50 元的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】 解：（1）根据题意得：该顾客至少可得 0+20＝20（元），至多可得 30+50＝ 80 （元）．
故答案为： 20，80．
50
2）列表如下：

0
﹣20 20
30 30
50 50

0
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﹣20 30
20 30

50
﹣70 80
﹣50

50 50 70 ∴ P （不低于 50 元）＝ ＝ ．
（不低于 元）

80

【点评】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重 复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或 两步以上完成的事件．
18．（6 分）某公园的人工湖边上有一座假山， 假山顶上有一竖起的建筑物 CD，高为 10米，
数学小组为了测量假山的高度 DE，在公园找了一水平地面， 在 A 处测得建筑物点 D（即 山顶）的仰角为 35°，沿水平方向前进 20 米到达 B 点，测得建筑物顶部 C 点的仰角为
45°，求假山的高度 DE ．（结果精确到 1 米，参考数据： sin35°≈ ， cos35°≈ ， tan35°≈ ）
【分析】 过点 D 作水平线的垂线，利用直角三角形中的三角函数解答即可．
【解答】 解：过点 D 作水平线的垂线，即（ DE⊥ AB），垂足为 E，则 C、D、E 在一条直 线上，
设 DE 的长为 x 米，
在 Rt△BCE 中，∠ CBE ＝45°， ∴ CE＝ BE＝ CD +DE ＝（ 10+ x）米， 在 Rt△ADE 中，∠ A＝ 35°，
AE＝AB+BE＝20+10+ x＝30+x，

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tanA＝ ，
∴ tan35°＝
≈ ，
解得： x≈ 70，
答：假山的高度 DE 约为 70 米．
【点评】 此题是解直角三角形的应用﹣﹣﹣仰角和俯角，解本题的关键是利用三角函数 解答．
19．（ 6 分）某工厂的甲、乙两个车间各生产了 400 个新款产品，为了检验甲、乙两车间生
产的同一款新产品的合格情况（尺寸范围在 165≤x<180 为合格），分别从甲、乙两个车 间生产的产品中随机各抽取了 20 个样品进行检测，获得了它们的数据（尺寸） ，并对数 据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．甲车间产品尺寸的扇形统计图如下 （数据分为 6 组： 165≤ x< 170，170≤ x< 175，175
≤x< 180，180≤x<185，185≤x<190，190≤x≤195）：
b．甲车间生产的产品尺寸175≤x< 180 这一组的是：
在
175 176 176 177 177 178 178 179 179 c．甲、乙两车间生产产品尺寸的平均数、中位数、众数如下：
车间 甲车间 乙车间
平均数
178 177
中位数
m 182
众数
183 184
根据以上信息，回答下列问题：

（1）表中 m 的值为 177.5 ；
（ 2）此次检测中， 甲、乙两车间生产的产品合格率更高的是 甲 （填“甲”或“乙”）， 理由是 甲车间生产的产品合格率为 70% ，乙车间生产的产品合格率< 50% ；第 25 页（共 32 页）


（ 3）如果假设这个工厂生产的所有产品都参加了检测， 那么估计甲车间生产该款新产品 中合格产品有 280 个．
【分析】（1）根据扇形图给出的各组产品的百分比、中位数的概念计算； （2）求出甲、乙两车间生产的产品合格率，比较得到答案； （ 3）根据甲车间生产的产品合格率为 70%计算．
【解答】 解：（ 1）由扇形统计图可知， A 组数据的个数： 5%× 20＝ 1，
B 组数据的个数： 20%× 20＝ 4， C 组数据的个数： 45%×20＝ 9，
∴m＝ ×（ 177+178）＝ 177.5， 故答案为： 177.5；
（ 2）甲、乙两车间生产的产品合格率更高的是甲， 理由如下：甲车间生产的产品合格率为：
×100%＝ 70%，
∵乙车间生产的产品的中位数是 182， ∴乙车间生产的产品合格率＜ 50%， 故答案为：甲；甲车间生产的产品合格率为
（ 3）∵甲车间生产的产品合格率为 70%，
∴估计甲车间生产该款新产品中合格产品有： 400× 70%＝280， 故答案为： 280．
【点评】 本题考查频数分布表、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题 的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（8 分）某果品超市经销一种水果，已知该水果的进价为每千克 15元，通过一段时间的
70%，乙车间生产的产品合格率＜ 50%；
销售情况发现， 该种水果每周的销售总额相同，且每周的销售量 y（千克）与每千克售价
x（元）的关系如表所示
每千克售价 x（元） 每周销售量 y（千克）
25 240
30 200
40 150

（ 1）写出每周销售量 y（千克）与每千克售价 x（元）的函数关系式；
（2）由于销售淡季即将来临，超市要完成每周销售量不低于 300 千克的任务，则该种水 果每千克售价最多定为多少元？
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式求法得出答案；
（3）在（ 2）的基础上，超市销售该种水果能否到达每周获利 1200元？说明理由．
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（ 2）直接利用 y＝ 300 代入求出答案； （ 3）利用 w＝1200 进而得出答案．
【解答】 解：（ 1）由表格中数据可得： y＝ ， 把（ 30，200）代入得：
y＝
；
（2）当 y＝300时， 300＝ ，
解得： x＝ 20，即该种水果每千克售价最多定为 20 元；
（ 3）由题意可得： w＝y（x﹣15）＝ 解得： x＝
经检验： x＝ 是原方程的根，
（x﹣15）＝ 1200，
答：超市销售该种水果能到达每周获利 1200 元．
【点评】 此题主要考查了反比例函数的应用以及分式方程的应用，正确得出 y 与 x 的函 数的关系式是解题关键．
21．（8分）已知：如图，在矩形 ABCD 中，点 E在边 AD 上，点 F在边 BC 上，且 AE＝CF， 作 EG∥FH ，分别与对角线 BD 交于点 G、H，连接 EH，FG ．
（ 1）求证：△ BFH≌△ DEG；
（2）连接 DF ，若 BF ＝DF ，则四边形 EGFH 是什么特殊四边形？证明你的结论．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出 AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD ，由平行线的性质 得出∠ FBH ＝∠ EDG ，∠ OHF ＝∠ OGE ，得出∠ BHF＝∠ DGE，求出 BF＝DE，由
AAS 即可得出结论；出四边形 EGFH 是菱形．
【解答】（ 1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
（2）先证明四边形 EGFH 是平行四边形， 再由等腰三角形的性质得出 EF⊥ GH，即可得
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∴AD∥ BC，AD＝BC， ∴∠ FBH ＝∠ EDG， ∵AE＝CF， ∴BF＝DE， ∵EG∥ FH， ∴∠ OHF＝∠ OGE， ∴∠ BHF ＝∠ DGE， 在△ BFH 和△ DEG 中，
，
∴BFH≌△ DEG （ AAS）；
（ 2）解：四边形 EGFH 是菱形；理由如下： 连接 DF ，设 EF 交 BD 于 O．如图所示： 由（ 1）得： BFH ≌△ DEG， ∴FH＝ EG， 又∵ EG∥FH ，
∴四边形 EGFH 是平行四边形，
∵ DE＝ BF，∠ EOD ＝∠ BOF，∠ EDO ＝∠ FBO ∴△ EDO≌△ FBO ， ∴OB＝ OD， ∵BF＝DF ，OB＝OD， ∴EF⊥BD， ∴EF⊥GH，
∴四边形 EGFH 是菱形．

第 28 页（共 32 页）
，


【点评】 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，菱形的判定，等腰三角 形的性质，平行四边形的性质和判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明 三角形全等是解决问题的关键．
22．（ 10 分）如图，斜坡 AB 长 10 米，按图中的直角坐标系可用 y＝
x+5 表示，点 A，
B 分别在 x 轴和 y 轴上．在坡上的 A 处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到 B 处，
抛物线可用 y＝ x2+bx+c 表示．

1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围） 2）求水柱离坡面 AB 的最大高度；
3）在斜坡上距离 A点2米的 C处有一颗 3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出点 A、B 的坐标，再利用待定系数法求解可得； （ 2）水柱离坡面的距离 d＝﹣ x + x+5 ﹣（﹣ x+5 ），整理成一般式，再配方成 顶点式即可得；
（ 3）先求出点 C 的坐标为（ 4 ，1），再求出 x＝4 时的函数值 y，与 1+3.5 比较大小 即可得．
【解答】 解：（1）∵ AB＝10、∠OAB＝30°， ∴OB＝ AB＝5、OA＝ ABcos∠OAB＝10× 则 A（ 5 ，0）、 B（0，5）， 将 A、B 坐标代入 y＝﹣ x2+bx+c，得： 将A、B坐标代入 y＝﹣ x +bx+c，得：
， ，
＝5 ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 y＝﹣ x2+ x+5；

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（ 2）水柱离坡面的距离 d＝﹣ x2+ ＝﹣ x2+ x
x+5﹣（﹣ x+5 ）
＝﹣ （ x2﹣5 x） ＝﹣ （x﹣ ∴当 x＝
）2+ ，
时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为 ；

∵ AC＝ 2、∠ OAB ＝ 30°， ∴CD ＝1、AD＝ ， 则 OD ＝4 ，
当 x＝4 时，y＝﹣ ×（ 4 ）2+ 所以水柱能越过树．
【点评】 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析 式、直角三角形的性质、二次函数的图象与性质及其平移规律等知识点．
23．（ 10 分）【探究】
1）观察下列算式，并完成填空：
1＝
12×4 +5＝5>1+3.5，

2 ；1+3＝ 4＝
2
1+3+5＝9＝32； 1+3+5+7 ＝ 16＝ 42；
2
1+3+5+⋯+（2n﹣1）＝ n2 ．（n 是正整数）
2）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是
一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6 块正
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方形和 6 块正三角形地板砖； 第二层包括 6块正方形和 18块正三角形地板砖； 以此递推．
① 第 3 层中分别含有 6 块正方形和 30 块正三角形地板砖；
②第 n层中含有 6（2n﹣1）或 12n﹣6 块正三角形地板砖（用含 n的代数式表示） ． 【应用】
该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有 1 块正六边形、 150 块正方形和 420 块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，最多能铺多少层？请说明理 由．
【分析】【探究】（1）观察算式规律， 1+3+5+ ⋯ +（ 2n﹣ 1）＝ n2；
（2）① 第一层 6 块正方形和 6 块正三角形地板砖，第二层 6块正方形和 6+12 ＝ 18块正 三角形地板砖，第三层 6块正方形和 18+12＝30 块正三角形地板砖； ② 第一层 6＝6×1＝6×（ 2×1﹣1）块正三角形地板砖，第二层
18＝ 6× 3＝ 6×（ 2× 2
n
﹣ 1）块正三角形地板砖，第三层 30＝6×5＝6×（ 2× 3﹣ 1）块正三角形地板砖，第 层 6＝6× 1＝6（2n﹣ 1）块正三角形地板砖， 【应用】
150 块正方形地板砖可以铺设这样的图案 150÷6＝25（层），铺设 n 层需要正三角形地板
砖的数量为： 6[1+3+5+ ⋯+（2n﹣1）]＝6n2，6n2＝420，n2＝70，n＝
，8<n<9，所
以 420 块正三角形地板砖最多可以铺设这样的图案 8 层．因此铺设这样的图案，最多能 铺
8 层．
【解答】 解：【探究】
2
（1）观察算式规律， 1+3+5+⋯ +（2n﹣ 1）＝ n2， 故答案为 n2；
（ 2 ）① ∵第一层包括 6 块正方形和 6 块正三角形地板砖，
第二层包括 6 块正方形和 6+12＝18 块正三角形地板砖，
∴第三层包括 6块正方形和 18+12＝30 块正三角形地板砖， 故答案为 6， 30；
② ∵第一层 6＝6×1＝6×（ 2× 1﹣ 1）块正三角形地板砖，
第 27 页（共 32 页）

第二层 18＝6×3＝6×（ 2× 2﹣ 1）块正三角形地板砖， 第三层 30＝ 6×5＝6×（ 2×3﹣ 1）块正三角形地板砖，
∴第 n 层 6＝6×1＝6（ 2n﹣ 1）块正三角形地板砖， 故答案为 6（2n﹣ 1）或 12n﹣6． 【应用】
铺设这样的图案，最多能铺 8 层． 理由如下：
∵150÷6＝ 25（层），
∴150 块正方形地板砖可以铺设这样的图案 25层；
∵铺设 n 层需要正三角形地板砖的数量为： 6[1+3+5+ ⋯+（2n﹣1）]＝6n2， ∴6n2＝420， n2＝70，n＝ 又∵ 8< <9，即 8<n< 9，
．
∴ 420块正三角形地板砖最多可以铺设这样的图案 8 层． ∴铺设这样的图案，最多能铺 8 层．
【点评】 本题考查了图形的变化规律列代数式，正确找出图形变化规律是解题的关键．
24．（12 分）菱形 ABCD 中，对角线 AC＝6cm，BD＝8cm，动点 P、Q分别从点 C、O同时
出发，运动速度都是 1cm/s，点P由 C向 D运动；点Q 由O 向B运动，当 Q到达 B时，
P、Q 两点运动停止，设时间为 t 妙（ 0<t<4）．连接 AP，AQ，PQ．
（ 1）当 t 为何值时， PQ⊥AB；
2
（ 2）设△ APQ 的面积为 y（cm2），请写出 y 与 t 的函数关系式； （ 3）当 t 为何值时，△ APQ 的面积是四边形 AQPD 面积的 ？
（4）是否存在 t值，使得线段 PQ 经过 CO 的中点 M ？若存在，求出 t 值；若不存在， 请说明理由．


分析】（1）如图 3中，作 CH⊥AB于 H交 BD 于 M．由
PQ∥CM
此构建方程即可解决问题；
第 32 页（共 32 页）


（2）如图 1中，作 AM⊥CD 于 M，PH⊥BD 于 H．根据 y＝S△ADQ+S△PDQ﹣S△ADP，计 算即可解决问题；
（ 3）由△ APQ 的面积是四边形 AQPD 面积的 ，推出 S△APQ＝ 2S△APD，由此构建方程即 可解决问题；
（4）如图 4中，作 PH⊥AC于 H．由 OQ∥PH，ON＝NC＝ ，可得 ＝ ，由此构 建方程即可解决问题；
【解答】 解：（1）如图 3中，作 CH⊥AB 于 H 交 BD 于 M．


易知 CH＝ ， AH

∵∠ MCO ＝∠ ACH ，∠ COM ＝∠ CHA ＝90°， ∴△ COM ∽△ CHA ，





＝
＝
∴ OM ＝ ，
∵PQ⊥ AB，CH⊥AB， ∴PQ∥ CM， ∴＝， ∴＝， ∴ ∴
＝ ＝
， ，
∴t＝1，
∴t＝1s 时， PQ⊥ AB．
第 33 页（共 32 页）


2）如图 1 中，作 AM⊥CD 于 M，PH⊥BD 于 H．

∴AC⊥BD，OA＝OC＝ 3， OB ＝OD ＝ 4， ∴∠ COD ＝90°， ∴CD ＝
＝5，
∵ ?AC?OD＝ ?CD ?AM ， ∴AM ＝ ， ∵OQ＝CP＝t，
∴ DQ ＝4+t． PD ＝ 5﹣t． ∵PH∥ OC， ∴＝，∴＝， ∴ ＝ ，
∴PH＝ （5﹣ t），
∴ y＝ S△ADQ+S△PDQ﹣S△ADP＝ （? 4+t）?3+ （? 4+ t）? t（ 0<t≤4）．
3）如图 2 中，
第 34 页（共 32 页）

5﹣ t）﹣? 5﹣t）? ＝﹣2 t 2+ （ （

∴ S△APQ＝ 2S△APD，
2 ∴﹣ t + t＝ 2? ?（5﹣t）? ， ∴﹣ t + t＝ 2? ?（5﹣t）? ， 解得 t＝ 15﹣ 或 15+ （舍弃），
∴t＝15﹣
时，△ APQ 的面积是四边形 AQPD 面积的4）如图 4中，作 PH⊥AC于 H．

∴＝， ∴＝，
∴＝ ∴＝
∴t＝ 时， PQ经过线段 OC 的中点 N．
第 35 页（共 32 页）

．

【点评】 本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，平行线分线段成本定理定理，勾 股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或 相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
第 36 页（共 32 页）


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b9e53e31a0c7aa00b52acfc789eb172dec6399c8.html

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