数系的扩充与复数的引入
目标认知
学习目标：
1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；
2.了解复数的代数表示法及其几何意义；
3.会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
重点：复数的概念，复数的代数运算及数系的扩充
难点：对概念的准确理解以及复数的几种意义
学习策略
①复数是对数系的又一次扩充，对复数（
），既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部和虚部分解成两部分去认识它，这是理解复数问题的重要思路。
②复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；
③复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.
知识要点梳理
知识点一：复数的基本概念
1.虚数单位:
（1）它的平方等于，即
；
（2）是－1的一个平方根，即方程
的一个根，方程
的另一个根是
；
（3）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；
2.概念
形如（
）的数叫复数，记作：
（
）；其中：
叫复数的实部，
叫复数的虚部，
是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母
表示。
说明：这里容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.
3.复数的分类
4.复数集与其它数集之间的关系
5.复数与实数、虚数、纯虚数、0的关系：
对于复数（
）
①当且仅当时，复数
是实数；
②当且仅当时，复数
叫做虚数；
③当且仅当且
时，复数
叫做纯虚数；
④当且仅当时，复数
就是实数0.
6.复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：
特别地：.
说明：
（1）
（2）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.
（3）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.
（4）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.
6.共轭复数：
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，那么这两个复数叫做互为共轭复数.复数的共轭复数用
表示。即复数
的共轭复数记作：
（
）.
注意：实数的共轭复数仍是它本身。
知识点二：复数的代数表示法及其四则运算
1.复数的代数形式:
把复数表示成（
）的形式，叫做复数的代数形式.
2.四则运算
设，
（
），则
注意：复数除法通常上下同乘分母的共轭复数.
3．指数幂的运算律
在复数集C中，指数幂的运算律仍然成立
即对任意及
，有
，
，
规定：
知识点三：复数的几何意义
1. 复平面、实轴、虚轴：
如图所示，复数（
）可用点
表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，
轴叫做实轴，
轴叫做虚轴.
注意：实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数集与复平面内点的对应关系
按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
这是复数的一种几何意义。
3.复数集与复平面中的向量的对应关系
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数。
设复平面内的点表示复数
（
），向量
由点
唯一确定；反过来，点
也可以由向量
唯一确定。
复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即
这是复数的另一种几何意义。
4.复数的模
设（
），则向量
的长度叫做复数
的模，记作
.
即.
理解:
①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等。
知识点四：复数加减法的几何意义
如果复数、
分别对应于向量
、
，那么以
、
为两边作平行四边形
，对角线
表示的向量
就是
的和所对应的向量.对角线
表示的向量
就是两个复数的差
所对应的向量.
规律方法指导
1.复数的表示形式：
代数形式：（
）
几何表示：
①坐标表示：在复平面内以点表示复数
（
）；
②向量表示：以原点为起点，点
为终点的向量
表示复数
.
理解：复数复平面内的点
平面向量
2.虚数单位的周期性：
，
，
，
（
）.
3.复数的分类
对于复数（
）
①为实数
；
②为虚数
；
③为纯虚数
且
；
④为非纯虚数
且
；
⑤.
4.互为共轭复数的两个复数的性质：
代数特征：实部相等，虚部互为相反数.
几何特征：复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等。
设复数（
），则其共轭复数为
（
）
①
②，即实数的共轭复数仍是它本身。
③
④
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