第十七周初二数学挑战题
3.如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
1、若∠1=70°，求∠MNK的度数．
2、△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．
3、如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你探究可能出现的情况，求出最大值．
【答案】 解：∵ABCD是矩形，
∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1．
∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN．
∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=70°．
∴∠MNK=40°．
（2）不能．
过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1,
由（1）知∠KNM=∠KMN．
∴MK=NK．
又MK≥ME,
∴NK≥1．
∴．
∴△MNK的面积最小值为，不可能小于
．
（3）分两种情况：
情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合．
设MK=MD=x，则AM=5-x，由勾股定理，得
,
解得，．
即．
∴． （情况一）
情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．
设MK=AK= CK=x，则DK=5-x，同理可得
即．
∴．
∴△MNK的面积最大值为1.3． （情况二）
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