等比数列的前n项和公式的几种推导方法

发布时间：2020-04-11 17:08:30 来源：文档文库

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赏析等比数列的前n项和公式的几种推导方法

山东张吉林（山东省莱州五中邮编261423）

等比数列的前n项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一，其公式：

当1727d0a2104246da80660a6d963ae93b.png时，6b2f302ad2d5ad40f21d544f99a10c6c.png ① 或f0f5b0bc9a834a1e166c85796c8d1d0b.png ②

当q=1时，e33e6c544553292e10652446bf8eff91.png

本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想，而且用以推导等比数列前n项和公式的方法---错位相减法，更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维，从不同的角度加以推导，以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。

一般地，设等比数列db3b1c6b0f29a93ee8006293a1c0dca2.png它的前n项和是

公式的推导方法一：

当1727d0a2104246da80660a6d963ae93b.png时，由858a3e27b16b25b9a40f802d068d12a3.png

得e982d7a85fb1f0347bac3d2b7e4db862.png

∴当1727d0a2104246da80660a6d963ae93b.png时，6b2f302ad2d5ad40f21d544f99a10c6c.png ① 或f0f5b0bc9a834a1e166c85796c8d1d0b.png ②

当q=1时，e33e6c544553292e10652446bf8eff91.png

当已知8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png, q, n 时常用公式①；当已知8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png, q, 9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png时，常用公式②.

拓展延伸：若02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是等差数列，d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png是等比数列，对形如992b3d2eabc34107b0bb084844e51a7e.png的数列，可以用错位相减法求和。

例题数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和f8b1fc7889b50343f3e0881d6dda7c6d.png，则44d853a7808a331d95220fcb38095649.png的表达式为（　　）．

A．2ada0c74b301a23fec7cc67b81ad7338.png B．2d0a2ffcf86f233f8684924f826ce26f.png

C．90a7e3e43e82b9e6c4d8a4d72ee952d8.png D．50dc67f691c0d6030f8c4043ecf3d22c.png

解析：由f8b1fc7889b50343f3e0881d6dda7c6d.png，①

可得aaadfb33fcdab560edefa9b358009879.png，②

②－①，得8dd5a9cc064e2d7076ebac0e18f1494a.png，故选（D）．

点评：这个脱胎于课本中等比数列前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项公式推导方法的求和法，是高考中命题率很高的地方，应予以高度的重视。

公式的推导方法二：

当1727d0a2104246da80660a6d963ae93b.png时，由等比数列的定义得，7bd55ce2cedcff10b652e79e89161b42.png

根据等比的性质，有cbd429860b32e51aaec583eaf2fbc1cd.png

即 5ddb2077a6e7636ffdf1af29988a0c05.pngc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.pngbc6e0819a3868a3cfd657aa59cd57f4f.png

∴当1727d0a2104246da80660a6d963ae93b.png时，6b2f302ad2d5ad40f21d544f99a10c6c.png 或f0f5b0bc9a834a1e166c85796c8d1d0b.png

当q=1时，e33e6c544553292e10652446bf8eff91.png

该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比的性质，导出了公式，给我们以耳目一新的另类感觉。

导后反思：定义是基础，深刻理解定义，灵活地运用好定义，往往能得到一些很有价值的结论和规律。例如等比数列的一个常用性质：

已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是等比数列（c0eca2773448b0ac9eaa1c5e502a6602.png），44d853a7808a331d95220fcb38095649.png是其前n项的和，则884181206e30b81bd26423928583a426.png，…，仍成等比数列。其推导过程可有以下两种常见的证明过程：

证明一：（1）当q=1时，结论显然成立；

（2）当q≠1时， 77703819e5b0d9d5d0a10b260b22e9a1.png

∴43d0ebb60d61edcb2f12e757232100a6.png=bf9294714c38ec870acd0c0b78ed2469.png

∴884181206e30b81bd26423928583a426.png成等比数列.

［这一过程也可如下证明］：

证明二：8bd70657b70e17eb8c0055ac4441c5a9.png－fb9e3839c90abc845fd40f024b78117b.png=5ba9004fb0318b894f00d092cb3e4409.png－236f70f5dd872e630e41e0977a94c497.png

=96ee0680097ed492fc8fe825dc44e488.png=c452cbac2b3cea0c4ed0360170f97071.png=9215072e1f69b9755207a9bf64875f83.png0947246b24bb5ea20f8d67143c9ecfce.png

同理，682df5c11bed30ac5d2a42df092bd31a.png－8bd70657b70e17eb8c0055ac4441c5a9.png=3a687ec44f32322b9b339d48bdd0bd7f.png= 7f7b25956fddd110331513ccee53e05f.png0947246b24bb5ea20f8d67143c9ecfce.png

∴884181206e30b81bd26423928583a426.png成等比数列。

对比以上两种证明过程，我们不难看出，利用好定义在解决某些问题的过程中可以收到很简捷的效果。

公式的推导方法三：

dcacbcc08bfb1c5a4d88b4c867463880.pnge9a7e542c323fc0610f757c11e87a3c3.png＝f9e8bc23911198ee11ef18267ef9d632.png

＝fdc1b3ebf0fd2da58f87fe3112e15202.png＝373698687257452dfede48f4333eeae0.png

∴当1727d0a2104246da80660a6d963ae93b.png时，6b2f302ad2d5ad40f21d544f99a10c6c.png 或f0f5b0bc9a834a1e166c85796c8d1d0b.png

当q=1时，e33e6c544553292e10652446bf8eff91.png

“方程”在代数课程里占有重要的地位，是应用十分广泛的一种数学思想，在数列一章的公式考察中常利用方程思想构造方程（或方程组），在已知量和未知量之间搭起桥梁，来求解基本量，使问题得到解决。这种推导方法正是运用了该思想，使我们的思维不拘泥于书本。

. 以上三种推导方法，从不同的思维角度切入等比数列前n项和的表达式，着眼点不同，侧重点各异，从而在推导方法的运用上也各有千秋，推导方法一注重补因子后错位相减；推导方法二则侧重于前n项的和式与定义式的联系；而推导方法三则是构造了b2bdef0268ac0e53e205ed556df21f87.png间的递推关系式，充分利用了b2bdef0268ac0e53e205ed556df21f87.png和首项及公比之间的关系来得前n项的和公式。希望同学们在学习中认真领悟，仔细体味，以求使思维得到更为灵活广阔的锻炼。