计数原理、概率、随机变量及其分布

计数原理、概率、随机变量及其分布

[基础送分 提速狂刷练]

一、选择题

1．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有(　　)

A．21种 B．315种 C．143种 D．153种

答案　C

解析　可分三类：

一类：语文、数学各1本，共有9×7＝63种；

二类：语文、英语各1本，共有9×5＝45种；

三类：数学、英语各1本，共有7×5＝35种；

∴共有63＋45＋35＝143种不同选法．故选C.

2．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．(　　)

A．8 B．12 C．14 D．9

答案　B

解析　由题意知本题是一个分类计数问题．

当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4共有4种情况，当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9种，当有三个2,3,4时：2221,3331,4441，有3种，根据分类计数原理得到共有12种结果，故选B.

3．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　)

A．16种 B．18种 C．37种 D．48种

答案　C

解析　自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37种．故选C.

4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为(　　)

A．42 B．30 C．20 D．12

答案　A

解析　将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种)．故选A.

5．(2017·石家庄模拟)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有(　　)

A．10种 B．25种 C．52种 D．24种

答案　D

解析　每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法．故选D.

6．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 (　　)

A．60 B．48 C．36 D．24

答案　B

解析　长方体的6个表面构成的“平行线面组”个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.故选B.

7．(2017·山东模拟)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)

A．243 B．252 C．261 D．279

答案　B

解析　由分步乘法计数原理知：用0,1，…，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252，故选B.

8．(2018·南宁调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有(　　)

A．18个 B．15个 C．12个 D．9个

答案　B

解析　依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共计3＋6＋3＋3＝15(个)．故选B.

9．有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，若从三名工人中选2名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有(　　)

A．6种 B．5种 C．4种 D．3种

答案　C

解析　若选甲、乙2人，则包括甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙2人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙2人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法．

∴共有2＋1＋1＝4种不同的选派方法．故选C.

10．(2018·湖南长沙模拟)若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有(　　)

A．12对 B．18对 C．24对 D．30对

答案　C

解析　依题意，注意到在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线AC构成异面直线且所成的角为60°的直线有BC1，BA1，A1D，DC1，注意到正方体ABCD－A1B1C1D1中共有12条面对角线，可知所求的“黄金异面直线对”共有＝24对，故选C.

二、填空题

11．已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，x＜y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个．

答案　17

解析　当A＝{1}时，B有23－1＝7种情况；

当A＝{2}时，B有22－1＝3种情况；

当A＝{3}时，B有1种情况；

当A＝{1,2}时，B有22－1＝3种情况；

当A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况．

故满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17个．

12．(2018·湖南十二校联考)若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3802＝3936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是________．

答案　300

解析　第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；

第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；

第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；

第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式．

根据分步乘法计数原理，值为1942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3＝300.

13．已知数列{an}是公比为q的等比数列，集合A＝{a1，a2，…，a10}，从A中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样得到4个数的不同的等比数列的个数为________．

答案　24

解析　当公比为q时，满足题意的等比数列有7种，当公比为时，满足题意的等比数列有7种，当公比为q2时，满足题意的等比数列有4种，当公比为时，满足题意的等比数列有4种，当公比为q3时，满足题意的等比数列有1种，当公比为时，满足题意的等比数列有1种，因此满足题意的等比数列共有7＋7＋4＋4＋1＋1＝24(种)．

14．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，若要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(用数字作答)．

答案　72

解析　解法一：区域1有C种着色方法；

区域2有C种着色方法；区域3有C种着色方法；

区域4,5有3种着色方法(4与2同色有2种，4与2不同色有1种)．

∴共有4×3×2×3＝72种不同着色方法．

解法二：区域1与其他四个区域都相邻，宜先考虑．区域1有4种涂法．若区域2,4同色，有3种涂色，此时区域3,5均有两种涂法，涂法总数为4×3×2×2＝48种；若区域2,4不同色，先涂区域2有3种方法，再涂区域4有2种方法．此时区域3,5也都只有1种涂法，涂法总数为4×3×2×1×1＝24种．因此涂法共有48＋24＝72种．

三、解答题

15．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法有多少种？

解　根据A球所在位置分三类：

(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法．

(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法．

(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E有3×2×1＝6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，3×6＝18种不同的放法．

综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．

16．(2018·江阴模拟)用n(n∈N*)种不同颜色给如图的4个区域涂色，要求相邻区域不能用同一种颜色．

(1)当n＝6时，图①、图②各有多少种涂色方案？(要求：列式或简述理由，结果用数字作答)

(2)若图③有180种涂色法，求n的值．

解　(1)当n＝6时，图①A有6种方法，B有5种方法，C有4种方法，D有5种方法，共有涂色方法6×5×4×5＝600种．

图②若A，C相同，则A有6种方法，B有5种方法，D有4种方法，共有6×5×4＝120种．

若A，C不同，则A有6种方法，B有5种方法，C有4种方法，D有3种方法，共有6×5×4×3＝360种．

∴共有涂色方法120＋360＝480种．

(2)A有n种方法，B有n－1种方法，C有n－2种方法，D有n－2种方法，共有涂色方法n(n－1)(n－2)·(n－2)种，由n(n－1)(n－2)(n－2)＝180，解得n＝5.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b3bcac3526284b73f242336c1eb91a37f111328f.html