2013年全国普通高等学校招生统一考试 北京卷数学理科试题及详细解析

2013年全国普通高等学校招生统一考试 北京卷数学理科试题及详细解析

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A=，，则= ( )

A. B. C. D.

2.在复平面内，复数对应的点位于( )

A.第一象限 B. 第二象限

C.第三象限 D. 第四象限

3.“”是“曲线过坐标原点的”（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A.1 B. C. D.

5.函数的图象向右平移一个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（ ）

A. B. C. D.

6.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）

A. B. C. D.

7.直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与所围成的图形的面积等于（ ）

A. B.2 C. D.

8.设关于，的不等式组表示的平面区域内存在点满足，求得的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6题，每小题5分，共30分.

9.在极坐标系中，点到直线的距离等于

10.若等比数列满足，，则公比 ；前项和 。

.

11.如图，为圆的直径，为圆的切线，与圆相交于，，，则 ， .

12.将序号分别为，，，，的张参观券全部分给人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .

13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa＋μb(λ，μ∈R)

，则= 。

14.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为 .

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程

15. (本小题共13分)

在中，， 2，.

()求值。

()求的值。

16.( 本小题共13分)

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率

（Ⅱ）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望。

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

17. (本小题共14分)

如图，在三棱柱中，是边长为的正方形.平面平面，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段存在点，使得，并求的值.

18. (本小题共13分)

设为曲线在点处的切线.

()求的方程；

()证明：除切点之外，曲线在直线的下方.

19. (本小题共14分)

已知、、是椭圆上的三个点，是坐标原点.

()当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积.

()当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由.

20. (本小题共13分)

已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项，…的最小值记为，

(（1）若为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意，)，写出，，，的值；

()设为非负整数，证明： 的充分必要条件为为公差为的等差数列；

()证明：若， ，则的项只能是或，且有无穷多项为。

要使可行域存在，必有m<－2m+1，要求可行域内包含直线上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线上方，且(-m，m)在直线下方，解不等式组得m＜

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