推荐学习K122018 - 2019高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.5空间向量运算的坐标表示学案

3.1.5　空间向量运算的坐标表示

学习目标　1.了解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算.3.会判断两向量平行或垂直.4.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式．

知识点一　空间向量的坐标运算

空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

(1)空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同．(×)

(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b⇒＝＝.(×)

(3)四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．(√)

(4)设A(0,1，－1)，O为坐标原点，则＝(0,1，－1)．(√)

类型一　空间向量坐标的计算

例1　(1)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(2a＋3b)·(a－2b)＝________.

(2)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉等于(　　)

A. B. C. D.

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　(1)－244　(2)C

解析　(1)(2a＋3b)·(a－2b)＝2a2＋3a·b－4a·b－6b2＝2×62－22－6×72＝－244.

(2)由已知得a＝(1，，)，b＝(1,0，)，

故cos〈a，b〉＝＝＝.

反思与感悟　关于空间向量坐标运算的两类问题

(1)直接计算问题

首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．

(2)由条件求向量或点的坐标

首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．

跟踪训练1　若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则

x＝________.

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　2

解析　据题意，有c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，

故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.

类型二　空间向量平行、垂直的坐标表示

例2　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.

(1)若|c|＝3，c∥，求c；

(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

解　(1)因为＝(－2，－1,2)，且c∥，

所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)，

得|c|＝＝3|λ|＝3，

解得λ＝±1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．

(2)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，

所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．

又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.

即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.

解得k＝2或k＝－.

引申探究

若将本例(2)中改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”，求k的值．

解　由题意知ka－b＝(k＋1，k，－2)，ka＋2b＝(k－2，k,4)，

∵(ka－b)⊥(ka＋2b)，∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0，

即(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝，

故所求k的值为－2或.

反思与感悟　(1)平行与垂直的判断

①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．

②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.

(2)平行与垂直的应用

①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程．

②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．

跟踪训练2　正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

解　如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，

由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，

因为3＝，

所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a，0)，

所以3a－3＝－a，解得a＝，

所以点P的坐标为.

由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，

因为PQ⊥AE，所以·＝0，

所以·＝0，

即－－＝0，

解得b＝，所以点Q的坐标为.

因为＝λ，所以(－1，－1,0)＝λ，

所以＝－1，故λ＝－4.

类型三　空间向量的夹角与长度的计算

例3　棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．

(1)求证：EF⊥CF；

(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；

(3)求CE的长．

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量在立体几何中的应用

(1)证明　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，

F，G.

所以＝，＝，＝，＝.

因为·＝×＋×＋×0＝0，所以⊥，即EF⊥CF.

(2)解　因为·＝×1＋×0＋×＝，

||＝＝，

||＝＝，

所以cos〈，〉＝＝＝.

又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]，

所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为.

(3)解　|CE|＝||＝＝.

反思与感悟　通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．

跟踪训练3　如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．

(1)求BN的长；

(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量在立体几何中的应用

解　如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.

(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，

∴||＝＝，

∴线段BN的长为.

(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，

∴＝(－1,1，－2)，＝(0，－1，－2)，

∴·＝(－1)×0＋1×(－1)＋(－2)×(－2)＝3.

又||＝，||＝，

∴cos〈，〉＝＝.

又异面直线所成角为锐角或直角，

故A1B与B1C所成角的余弦值为.

1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若＝，则点B的坐标应为(　　)

A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)

C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　B

解析　＝＝－，＝＋＝(9,1,1)．

2．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状

是(　　)

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等边三角形

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　A

解析　＝(3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3,1)．

由·＞0，得A为锐角；由·＞0，得C为锐角；由·＞0，得B为锐角．所以△ABC为锐角三角形．

3．已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是(　　)

A．(1,1,1) B．(－4,6，－2)

C．(2，－3,5) D．(－2，－3,5)

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　B

解析　若b＝(－4,6，－2)，则b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b.

4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)

A．1B. C. D.

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　D

解析　依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，

所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，

而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，

所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝.

5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　

解析　∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，

∴||＝3，||＝，

·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，

∴cos〈，〉＝＝，

又∵〈，〉∈[0，π]，

∴〈，〉＝.

1．在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．

2．两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝＝.

3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．

一、选择题

1．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b等于(　　)

A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)

C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　B

2．已知直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的

是(　　)

A．a＝ B．a＝k

C．a＝p＋λ D．以上均不能

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　D

3．已知a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为(　　)

A．0B．6C．－6D．±6

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　B

解析　∵a⊥b，∴1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，解得m＝6.

4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于(　　)

A．3B．2C. D．5

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　A

解析　a－b＋2c＝(9,3,0)，|a－b＋2c|＝3.

5．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于(　　)

A．(16,0,4) B．(8，－16,4)

C．(8,16,4) D．(8,0,4)

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　D

解析　4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．

6．已知向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a与b为共线向量，则(　　)

A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－

C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　C

解析　∵a＝(2x,1,3)与b＝(1，－2y,9)共线，

∴＝＝(y≠0)，

∴x＝，y＝－.

7．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n的值为(　　)

A．0 B．－1

C．1 D．－2

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　A

解析　因为＝(m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2,6)，由题意得∥，所以＝＝，

所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.

二、填空题

8．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________.

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　－

解析　∵a·b＝2k，|a|＝，|b|＝，且k＜0，∴cos120°＝，∴k＝－.

9．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x＋y的值为________．

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　4

解析　由题意知a∥b，

所以＝＝，

即

把①代入②得x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0，

解得x＝－2或x＝1.

当x＝－2时，y＝－6；

当x＝1时，y＝3.

当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，

向量a，b反向，不符合题意，所以舍去．

当时，b＝(1,2,3)＝a，

a与b同向，所以此时x＋y＝4.

10．已知A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则在上的投影为________．

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　－4

解析　∵＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)，

＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，

∴cos〈，〉＝

＝－，

在上的投影为||cos〈，〉

＝×＝－4.

11．已知向量a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_____________．

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　∪

解析　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，

即3t－<0，所以t<.

若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，

即(5,3,1)＝λ，

所以所以t＝－，

故t的取值范围是∪.

三、解答题

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.

(1)求四棱锥P-ABCD的体积；

(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

解　(1)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，

∴OA＝OC＝，BO＝OD＝1，S菱形ABCD＝×2×2＝2.

在Rt△POB中，∠PBO＝60°，

∴PO＝OB·tan60°＝.

∴VP－ABCD＝S菱形ABCD·PO＝×2×＝2.

(2)如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，

则B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，

A(0，－，0)，P(0,0，)．

∴E，

∴＝，＝.

∴·＝0＋0＋×(－)＝－，

||＝，||＝.

∴cos〈，〉＝＝＝－.

∵异面直线所成的角为锐角或直角，

∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为.

13．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．

(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；

(2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值．

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

解　∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，

∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．

(1)∵(λa＋b)∥(a－3b)，

∴＝＝，解得λ＝－.

(2)∵(a－3b)⊥(λa＋b)，

∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，

即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝.

四、探究与拓展

14．已知三角形的顶点是A(1，－1,1)，B(2,1，－1)，C(－1，－1，－2)．则这个三角形的面积为________．

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

答案　

解析　由题意得＝(1,2，－2)，＝(－2,0，－3)，

∴||＝＝3，

∴||＝＝，

∴·＝(1,2，－2)·(－2,0，－3)＝－2＋6＝4，

∴cos A＝cos〈，〉＝＝＝，

∴sin A＝＝，

S△ABC＝||||·sin A＝.

15．已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证＋＋≤4.

考点　空间向量运算的坐标表示

题点　空间向量的坐标运算

证明　设m＝(，，)，

n＝(1,1,1)，则|m|＝4，|n|＝，

由题意知m·n≤|m||n|，

即＋＋≤4.

当且仅当＝＝，

即a＝b＝c＝时，取“＝”号．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b132ddccac02de80d4d8d15abe23482fb5da0245.html