伯努利不等式及其应用

Bernoulli不等式及其应用

席华昌(山西师大临汾学院数计系，山西省临汾市 041000)

摘 要：使用均值不等式及实数的稠密性推证Bernoulli不等式，并将其应用于证明极限、连续、单调以及其它不等式和判别级数敛散性.

关键词：Bernoulli不等式、极限、连续、单调、不等式、级数.

中图分类号：O178

众所周知，Bernoulli不等式在《数学分析》中占有非常重要的地位。本文由均值不等式及实数稠密性出发推导Bernoulli不等式，并举例说明其在分析中的一些巧妙之应用.

一、 Bernoulli不等式

设 r∈R+，且-1<x≠0，则 (A)

分析与证明 先证明 (1+x)r<1+rx, (0

1 当r∈Q+时，设r= (n、m∈N，n、m互质且n，由均值不等式有：

2 当r∈R+-Q+时，若x>0，取有理数列{rn}，使对任意自然数n，有rn<1，且，则有<1+rnx, 令n→∞，得 (1+x)r1+rx ；若 -1，取有理数列{rn＇}，使对任意自然数n，有0n＇，且，则有<1+rn＇x , 令n→∞，得 +rx ,

下证 (1+x)r<1+rx. 取0，则 r±z∈（0，1），那么

(1+x)r=(1+x)r·1=(1+x)r·<

由前面的关系式可得：

从而 .

再证明 (1+x)r>1+rx ( r>1).

当1+rx0时，(1+x)r>01+rx ；当1+rx>0时，(1+rx) <1+rx=1+x, ∴(1+x)r>1+rx .

为应用方便，(A)式常常也写成： (AA)

二、Bernoulli不等式的应用

1、极限方面的应用

例1 求证 (a>1,k>0均为常数).

证明 由于 a>1, 可记(>0 ) ，则

=

所以，对，要使，只需，即，于是取 N，

则 当n>N时，便有，即 .

注：本极限中k取不同值时可得不同的极限式。

1、 函数连续性方面的应用

例2 证明指数函数f(x)=ax (0≠1) 在R上连续。

证明 先证 .

对有1=a0x1+(a-1)x

由于 ,所以 由迫敛法则 .

又∴，即 f(x)=ax在x=0处连续；

再证 f(x)=ax在R上连续

对，有===

所以 f 在x0处连续，由的任意性，f 在R上连续。

2、 不等式方面的应用

例3 证明不等式 .

证明 由于是单增趋于e的数列，从而，于是

,因此，只需证明 成立即可.

当n=1时，显然;设 n=k时，有k!<成立，两端同乘(k+1)，得

(k+1)!<(k+1) =……◆

又 有 代入◆式，有

(k+1)!<

由数学归纳法知 (n∈N) 成立.∴ n!.

3、 单调性方面的应用

例4 讨论函数的单调性.

分析与解 ①讨论函数 令 由（A）式得： 两边同时x2次方.即

,∴函数在（0，∞）上严格增.

②论函数 令 由（A）式得， 两边同时x2+1次方.

从而 ，即,∴函数在（0，∞）上严格减.

注：这两个函数的单调性还可以利用导数进行讨论，上面使用这种方法也适用于讨论数列与的单调性.

4、 级数敛散性方面的应用

例5判断级数的敛散性.

解 记 . 则.

由达朗贝尔判别法，级数收敛.

注：该级数更一般的形式是：讨论函数项级数的敛散性.

由上面几方面的应用可以看出：在解决一些数学问题时，若能充分考虑到Bernoulli不等式的特点及其变形，便能达到妙题巧解，出奇制胜之效果.

参考资料

1、数学分析 纪乐刚

2、数学分析经典习题解析 孙 涛

附：041000 山西师大临汾学院数计系 副教授 席华昌

xhc62@126.com 130********

地 址 临汾市尧都区鼓楼南18号

本文发表于高等数学研究,2005,4(8):42-44.并列入高等数学研究论文范例

被以下四篇论文引用：

也谈Bernoulli不等式的证明与应用《高等数学研究》 2006年 第6期 作者：苏灿荣 禹春福 合肥工业大学

贝努利不等式的高阶推广和数值验证《内江师范学院学报》 2007年 第6期 作者：石勇国 陈志强 吕晓亚 内江师范学院

Bernoulli不等式的控制证明及推广《北京联合大学学报：自然科学版》 2008年 第2期 作者：石焕南 北京联合大学教授

分数布朗运动的局部时及相关过程的随机分析《华东理工大学》 2012年陈超 博士论文

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a9e707f35ef7ba0d4a733b94.html