八年级数学上第二章《直角三角形》

第7讲 直角三角形（）

一、知识要点

1、直角三角形的性质

（1）两锐角互余.

（2）斜边上的中线等于斜边的一半.

（3）30°的角所对的直角边等于斜边的一半.

（4）ab=ch（a，b，c分别是直角三角形的三边，h为斜边上的高）

（5）如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，则∠ACD=∠B，∠DCB=∠A

2、直角三角形的判定

（1）两锐角互余的三角形.

（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半.

（3）如图，AD是△ABC的高，且∠DAC=∠B.

（4）证明一个三角形与另一个直角三角形全等.

二、例题精选

例1.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AF平分∠BAC，分别交

CD，BC于点E，F.求证：∠CEF=∠CFE

例2.如图，已知AD是△ABC的高，CE是中线，DC=BE，

DG⊥CE于点G，求证：

（1）点G是CE的中点；

（2）∠B=2∠BCE.

例3、如图，AB，CD交于点E，AD=AE，CB=CE，点

F，G，H分别是DE，BE，AC的中点.求证：FH=GH.

例4.如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，

D是AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕点D

旋转，它的两边分别与直线AC，BC交于E，F.

（1）当点E，F分别在AC，BC上时（如图1），

求证：；

（2）当点E，F分别在AC，CB延长线上时（如图2），

则（1）结论是否还成立？请说明理由.

例5.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分

∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD交于点F，H是边BC的中

点，连接DH，与BE交于点G.

（1）求证：CE=BF；

（2）CE与BG的大小关系如何？试说明理由.

例6.已知P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与点A，B重合），

分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，点Q是

斜边AB的中点.

（1）如图1，当点P与点Q重合时，试写出QE，QF的数量

关系和BF，AE的位置关系：；

（2）如图2，当点P在线段AB上但不与点Q重合时，试判断

QE，QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）延长线上时，此时（2）

中的结论是否仍成立？请画出图形给予证明.

例7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，

沿AB方向以cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，

沿BC方向以1cm/s的速度向终点C运动.问△PQC成为以QC为底边

的等腰三角形时候，则运动时间t的值为多少？

例8.已知，如图点D是线段AB上一点（不与点A，B重合），

CD⊥AB于D，且CD=AB，AE⊥AB，BF⊥AB，且AE=BD，BF=AD.

（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，试判断∠ACE与

∠BCF的数量关系，并给予证明；

（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，（1）中的结论

是否发生变化？写出你的猜想并证明.

学生练习　

一．选择题（共12小题）

1．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（　　）

A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°

2．已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4，则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是（　　）

3．如图，△ABC中，∠C=45°，点D在AB上，点E在BC上．若AD=DB=DE，AE=1，则AC的长为（　　）A. B. 2 C. D.

4．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（　　）

A. 35° B. 55° C.60° D. 70°　

5．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（　　）

A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定　

6．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是（　　）

A. 8 B. 5 C. 3 D. 2　

7．如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB于R点，作PS⊥AC于S点，若AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（　　）

A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③　

8．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=8，点F是AB的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE，则四边形CDFE的面积是（　　）

A. 32 B. 16 C. D. 无法确定

9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（　　）

A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ②③④　

10．如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：

（1）图形中全等的三角形只有两对； （2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（3）CD+CE=OA；（4）AD2+BE2=2OP•OC．其中正确的结论有（ ）

　A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

11．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；…；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是（　　）

A. B. C. D.　

12．如图，已知∠AOB=45°，A1、A2、A3、…在射线OA上，B1、B2、B3、…在射线OB上，且A1B1⊥OA，A2B1⊥OA，…AnBn⊥OA； A2B2⊥OB，…，An+1Bn⊥OB（n=1，2，3，4，5，6…）．若OA1=1，则AnBn的长是（　　）

A. B. C. D.

二．填空题（共8小题）

13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC= 度．　

14．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为9，则BE=　 ．　

15．判断题：

（1）一个锐角和这个角的对边分别相等的两个直角三角形全等；　 　

（2）一个锐角和这个角相邻的直角边分别相等的两个直角三角形全等；　

（3）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；　 　

（4）两直角边分别相等的两个直角三角形全等；　

（5）一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等 ．

16．如图，三角形ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你填加一个适当的条件　 　，使△AEC≌△CDA．　

17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE=　　 cm．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=　　 时，△ABC和△PQA全等．

19．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是　 ．

20．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：

①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；

③AB=CE；④AD﹣BE=DE．

正确的是　 （将你认为正确的答案序号都写上）．

三．解答题（共5小题）

21．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE=DF吗？

22．如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．

（1）求证：DE平分∠BDC；

（2）连接BE，设DC=a，求BE的长．

23．已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．

（1）如图，E、F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；

（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；

（3）若E、F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

24．（1）两个全等的等腰直角三角形ABC和三角形EDA如图1放置，点B，A，D在同一条直线上．那么点C，A，E在同一条直线上；

①在图1中，作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为F；

②猜想：线段BF，CE的关系，结论是：　 　．

（2）将（1）中的“等腰直角三角形”换成“直角三角形”，其它条件不变，如图2，连接CE，请问你猜想的BF与CE的关系是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．

25．同学拿了两块45°三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4．

（1）如图1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为　 　，周长为　 　．

（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为　_________　，周长为　 ．

（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你猜想此时重叠部分的面积为　 ．

（4）在如图3的情况下，AC交MN于D，MK交BC于E，若AD=1，求出重叠部分图形的周长．

直角三角形训练参考答案

例1.法一∵∠3=∠1+∠5 ∠4=∠2+∠B

∠1=∠2 ∠B=∠5 ∴∠3=∠4

法二：∠1+∠4＝90° ，∠2+∠AED＝90°

∠1=∠2，∴∠3=∠4＝∠AED

例2.（1）DE是Rt△ADB斜边上中线，

∴DE=BE=CD ∵DG⊥CE ∴G为CE中点.

（2）由（1）∠B=∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠DCE

例3.由等腰三角形得，AF，CG为高，

又H为中点，∴HF=HG=AC

例4.（1）

（2）

=

例5.（1）△ADC≌△BDF

∴BF=AC=2CE

（2）连接CG，∵DH⊥BC

∴BG=CG》CE

例6.（1）平行，相等

（2）∵BH∥AE BQ=AQ

∴△AEQ≌△BHQ ∴EQ=HQ

∴FQ=EQ

（3）∵BH∥AE BQ=AQ

∴△AEQ≌△BHQ ∴EQ=HQ

∴FQ=EQ

例7.解

例8.（1）∴△ACE≌△BCF

∴∠ACE=∠BCF

（2）∵△ABE≌△BCD ∴BE=BC

∠ABE=∠BCD ∴∠EBC=∠ABE+∠DBC

=∠BCD +∠DBC=90°∴△BEC为等腰直角三角形.

同理，△AFC为等腰直角三角形.

∴∠ACE=45°-∠ECF=∠BCF

学生练习：

一．选择题：CADD ACCB CCBD

　9、①连接CF．

∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，

∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF，∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，

∵∠AFD+∠CFD=90°∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，故本选项正确；

②∵△DEF是等腰直角三角形，∴当DE最小时，DF也最小，

即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4，∴DE=DF=4，故本选项错误；

③∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴S四边形CDFE=S△DCF+S△CEF=S△DCF+S△ADF=S△ACF=S△ABC

故本选项正确；

④当△CED面积最大时，由③知，此时△DEF的面积最小，此时，

S△CED=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8，故本选项正确；综上所述正确的有①③④．

10、（1）错误．理由如下：

图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．

由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．

∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．

在△AOD与△COE中，∴△AOD≌△COE（ASA）．

同理可证：△COD≌△BOE．

10、结论（2）正确．理由如下：

∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE，∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，

即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．

结论（3）正确，理由如下：

∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．

结论（4）正确，理由如下：

∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．

在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．

∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，

又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．

∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE，∴，即OP•OC=OE2．

∴DE2=2OE2=2OP•OC，∴AD2+BE2=2OP•OC．综上所述，正确的结论有3个，

　11、过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：

∵A1B1∥AB，∴ON⊥A1B1，∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，∴OM=AB=，又∵△OA1B1为等腰直角三角形，∴ON=A1B1=MN，∴ON：OM=1：3，

∴第1个正方形的边长A1C1=MN=OM=×=，同理第2个正方形的边长A2C2=ON=×=，

则第n个正方形AnBnDnCn的边长．

12、由题意，可知图中的三角形均为等腰直角三角形，

OA1=1，A1B1=A1A2=1，B1A2=B1B2=，A2B2=A2A3=2，

B2A3=B2B3=2，A3B3=A3A4=4，…，

从中发现规律为AnBn=2An﹣1Bn﹣1，其中A1B1=1，所以AnBn=2n﹣1．

二、13、45° 14、 3 15、正确；正确；错误；正确；正确.

16、CE=AD或∠DAC=∠ECA或∠BAC=∠ACB（正确即可）

17、7 18、5或10

19、连接AP

在Rt△ASP和Rt△ARP中

PR=PS，PA=PA所以Rt△ASP≌Rt△ARP所以①AS=AR正确

因为AQ=PQ所以∠QAP=∠QPA

又因为Rt△ASP≌Rt△ARP所以∠PAR=∠PAQ于是∠RAP=∠QPA所以②PQ∥AR正确

③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．故填①②

20、 　①②④　

∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD∴①∠ABE=∠BAD 正确

∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°∴∠1=∠CAD

又∠E=∠ACB=90°，AC=BC∴②△CEB≌△ADC 正确

∴CE=AD，BE=CD∴④AD﹣BE=DE． 正确

而③不能证明，

三、　21、略

22、（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°，

∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，

∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC；

（2）∵∠CAE=∠CEA=15°，∴AC=CE，∠ACE=150°，

∵∠ACB=90°，∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=60°，

∵AC=CE，AC=BC，∴CE=BC，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC=AC．

如图，在△ACD中，过点D作DM⊥AC于点M，作∠ADN=∠CAD=15°，交AC于N．

在Rt△CDM中，∵∠CMD=90°，∠C=45°，DC=a，∴DM=MC=a．

在Rt△DMN中，∵∠NMD=90°，∠DNM=∠ADN+∠CAD=30°，DM=a，

∴DN=2DM=a，NM=DM=a．

∵∠ADN=∠CAD=15°，∴AN=DN=a，

∴AC=AN+NM+MC=a+a+a=a，∴BE=AC=a．

23、 （1）证明：连接AD

∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点∴AD==BD=CD且AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=45°

在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE=DF，∠BDE=∠ADF

∵∠BDE+∠ADE=90°∴∠ADF+∠ADE=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形．

（2）解：四边形AEDF面积不变．

理由：∵由（1）可知，△AFD≌△BED∴S△BDE=S△ADF，

而S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△AED+S△BDE=S△ABD∴S四边形AEDF不会发生变化．

（3）解：仍为等腰直角三角形．

理由：∵△AFD≌△BED∴DF=DE，∠ADF=∠BDE

∵∠ADF+∠FDB=90°∴∠BDE+∠FDB=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形

　24、　BF⊥CE，BF=CE　

　（1）①画图 ②结论是：BF⊥CE，BF=CE．

（2）如图，①证明BF=CE

∵BF为∠ABC的平分线，∠ABC=90°∴∠CBF=∠ABF=45°

∵DF⊥BF∴∠F=90°

∵点B，A，D在同一条直线上，△BFD为直角三角形

∴cos∠FBD=∴BF=

又∵Rt△ABC≌Rt△EDA∴BC=AD，BA=DE

设BC=AD=a，BA=DE=b∴BD=a+b∴BF=

过E作EH∥BD交CB的延长线于H

∵∠CBA=90°，∠ADE=90°∴∠CBA=∠ADE∴CH∥DE∴四边形BHED为矩形

∴BH=DE=b，HE=BD=a+b∴CH=a+b∴△HCE等腰直角三角形

由勾股定理，得CE=∴BF=CE

②证明BF⊥CE

∵Rt△CHE是等腰直角三角形∴∠HCE=∠HEC=45°

∵∠FBC=45°∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°∴BF⊥CE∴BF⊥CE，BF=CE仍然成立

　25、（1）∵AC=BC=4，∠ACB=90°，∴AB===4，

∵M是AB的中点，∴AM=2，

∵∠ACM=45°，∴AM=MC，

∴重叠部分的面积是=4，∴周长为：AM+MC+AC=2+2+4=；

（2）∵叠部分是正方形，∴边长为×4=2，面积为2×2=4，周长为2×4=8．

（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G，

∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a，∴MH=BC，MG=AC，∴MH=MG，

又∵∠NMK=∠HMG=90°，∴∠NMH+∠HMK=90°，∠GME+∠HMK=90°，∴∠HMD=∠GME，

在△MHD和△MGE中，∵，∴△MHD≌△MGE（ASA），

∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积，

∵正方形CGMH的面积是MG•MH=2×2=4；∴阴影部分的面积是4；

（4）过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥AC于点H，∴四边形MGCH是矩形，∴MH=CG，

∵∠A=45°，∴∠AMH=45°，∴AH=MH，∴AH=CG，

在Rt△DHM和Rt△EGM中，，∴Rt△DHM≌Rt△EGM．∴GE=DH，

∴AH﹣DH=CG﹣GE，∴CE=AD，

∵AD=1，∴DH=1，CE=1，CD=4﹣1=3，∴DM=∴四边形DMEC的周长为：

CE+CD+DM+ME=1+3++=4．故答案为：4，，4，8，4

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a99829a5ba4cf7ec4afe04a1b0717fd5370cb25c.html