抽象函数奇偶性的判定

专题一抽象函数奇偶性的判定及应用

探究一：抽象函数的单调性和奇偶性问题

抽象函数的具体模型

c7f612281c07f64b5eaee4b45c4a279d.png 008141e403c0db7af7f35f231b245577.png

4893508b3e694623b422a397c5914494.png d552ec29619990d59dda5c59efe60ead.png

类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题

① b65d5152fd3b93a2f4bf4c94f5fc8cc3.png，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png满足c7f612281c07f64b5eaee4b45c4a279d.png，如何证明50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为奇函数？

② b65d5152fd3b93a2f4bf4c94f5fc8cc3.png，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png满足008141e403c0db7af7f35f231b245577.png，如何证明50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为偶函数？

类型二：抽象函数证明函数的单调性问题

1 若12ff8b5e6ef63123e71bbf3e382300fe.png且c7f612281c07f64b5eaee4b45c4a279d.png、008141e403c0db7af7f35f231b245577.png证明其单调性

2 若12ff8b5e6ef63123e71bbf3e382300fe.png4893508b3e694623b422a397c5914494.png、d552ec29619990d59dda5c59efe60ead.png证明其单调性

word/media/image14.gif探究二：函数性质（单调性、奇偶性）定义经典试题

一、判断单调性和奇偶性

1. 判断单调性

根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。

例1．如果奇函数word/media/image15_1.png在区间word/media/image16_1.png上是增函数且有最小值为5，那么word/media/image15_1.png在区间word/media/image17_1.png上是

A. 增函数且最小值为word/media/image18_1.png B. 增函数且最大值为word/media/image18_1.png

C. 减函数且最小值为word/media/image18_1.png D. 减函数且最大值为word/media/image18_1.png

分析：画出满足题意的示意图，易知选B。

例2．偶函数word/media/image15_1.png在word/media/image19_1.png上是减函数，问word/media/image15_1.png在word/media/image20_1.png上是增函数还是减函数，并证明你的结论。

分析：如图所示，易知word/media/image15_1.png在word/media/image20_1.png上是增函数，证明如下：

word/media/image21.gif 任取word/media/image22_1.png

因为word/media/image15_1.png在word/media/image19_1.png上是减函数，所以word/media/image23_1.png。

又word/media/image15_1.png是偶函数，所以word/media/image24_1.png，

从而word/media/image25_1.png，故word/media/image15_1.png在word/media/image20_1.png上是增函数。

2. 判断奇偶性

根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求word/media/image15_1.png与word/media/image26_1.png的关系。

例3．若函数word/media/image27_1.png与word/media/image28_1.png的图象关于原点对称，判断：函数

word/media/image29_1.png是什么函数。

解：设word/media/image30_1.png图象上任意一点为P（word/media/image31_1.png）word/media/image32_1.png与word/media/image28_1.png的图象关于原点对称， word/media/image33_1.png关于原点的对称点word/media/image34_1.png在word/media/image28_1.png的图象上，

word/media/image35_1.png

又word/media/image36_1.png word/media/image37_1.png

即对于函数定义域上的任意x都有word/media/image38_1.png，所以word/media/image30_1.png是偶函数。

二、证明单调性和奇偶性

1.证明单调性

例4．已知word/media/image39_1.png对一切word/media/image40_1.png，满足word/media/image41_1.png，且当word/media/image42_1.png时，word/media/image43_1.png，求证：（1）word/media/image44_1.png时，word/media/image45_1.png（2）word/media/image39_1.png在R上为减函数。

证明：word/media/image46_1.png对一切word/media/image47_1.png有word/media/image48_1.png。

且word/media/image49_1.png，令word/media/image50_1.png，得word/media/image51_1.png，

现设word/media/image44_1.png，则word/media/image52_1.png，word/media/image53_1.png， 而word/media/image54_1.png

word/media/image55_1.png word/media/image56_1.png，

设word/media/image57_1.png且word/media/image58_1.png， 则word/media/image59_1.png

word/media/image60_1.pngword/media/image61_1.png

word/media/image62_1.png， 即word/media/image39_1.png为减函数。

2.证明奇偶性

例5．已知word/media/image15_1.png的定义域为R，且对任意实数x，y满足word/media/image63_1.png，求证：word/media/image15_1.png是偶函数。

分析：在word/media/image63_1.png中，令word/media/image64_1.png，

得word/media/image65_1.png

令word/media/image66_1.png，得word/media/image67_1.png

于是word/media/image68_1.png 故word/media/image15_1.png是偶函数。

三、求参数范围

这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“word/media/image69_1.png”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

例6．已知word/media/image39_1.png是定义在（word/media/image70_1.png）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足word/media/image71_1.png，试确定word/media/image72_1.png的取值范围。

解：word/media/image73_1.png是偶函数，且在（0，1）上是增函数， word/media/image74_1.png在word/media/image75_1.png上是减函数，

由word/media/image76_1.png得word/media/image77_1.png。

（1）当word/media/image78_1.png时， word/media/image79_1.png，不等式不成立。

2）当word/media/image80_1.png时，

word/media/image81_1.png

（3）当word/media/image82_1.png时， word/media/image83_1.png

word/media/image84_1.png

综上所述，所求word/media/image72_1.png的取值范围是word/media/image85_1.png。

四、不等式

1.解不等式 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“word/media/image69_1.png”，转化为代数不等式求解。

例7．已知函数word/media/image39_1.png对任意word/media/image47_1.png有word/media/image86_1.png，当word/media/image44_1.png时，word/media/image87_1.png，word/media/image88_1.png，求不等式word/media/image89_1.png的解集。

解：设word/media/image90_1.png且word/media/image58_1.png 则word/media/image91_1.png word/media/image92_1.png，

即word/media/image93_1.png，

word/media/image94_1.png

故word/media/image39_1.png为增函数，

又word/media/image95_1.png

word/media/image96_1.png

因此不等式word/media/image89_1.png的解集为word/media/image97_1.png。

2. 讨论不等式的解

求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。

例8，. 已知50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是定义在05132f14fb0a837981cc8b0715c9165f.png上的奇函数，若d55b43efdd2ce0c21f5e1042a48db1ef.png，且5fe4fe1ac84c98ea0b3bf30fbd8260bf.png时，恒有

68c9029ee306317707ed57d0c7f97366.png.（1）判断50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在05132f14fb0a837981cc8b0715c9165f.png上是增函数还是减函数，并证明你的结论；

（2）解不等式e9cc0c97e0d9f188030b7c9b95a78573.png

五、比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。

例9，已知函数word/media/image15_1.png是定义域为R的偶函数，word/media/image106_1.png时，word/media/image15_1.png是增函数，若word/media/image107_1.png，word/media/image108_1.png，且word/media/image109_1.png，则word/media/image110_1.png的大小关系是_______。

分析：word/media/image111_1.png且word/media/image109_1.png， word/media/image112_1.png

又word/media/image106_1.png时，word/media/image15_1.png是增函数，

word/media/image113_1.png word/media/image114_1.png是偶函数 word/media/image115_1.png

故word/media/image116_1.png1. 对于定义在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png，给出三个命题：

（1）若cc2e3ae83ab4d01ba34c43ead89bccb8.png，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是偶函数；（2）若62dff6c769beeec0abebf752a410b802.png，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png不是偶函数；

（3）若cc2e3ae83ab4d01ba34c43ead89bccb8.png，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png一定不是奇函数.其中正确命题的序号为________________

2. 下列命题中，说法正确的是____________

（1）若定义在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png满足9c982aed7d6acb9824ae088f8639cdb4.png，则函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的单调增函数；

（2）若定义在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png满足9c982aed7d6acb9824ae088f8639cdb4.png，则函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png不是e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的单调减函数；

（3）若定义在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在区间cfa75e7435c2c28356ead8b3c37ee7a5.png上是单调增函数，在区间5c13dd19f7cfd32e0db625dd6f2cad06.png上也是单

调增函数，则函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的单调增函数；

（4）若定义在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在区间cfa75e7435c2c28356ead8b3c37ee7a5.png上是单调增函数，在区间1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png上也是单

调增函数，则函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的单调增函数；

变式：若定义在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的函数对任意的e3e7de67ffb209cc9f0e5df39da02f05.png都有6ec215be3b3b6f8417c21f49ea8b8412.png成立，且当887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时，a769cfbd8f256211ddfb0a32030740a7.png（1）求证：643739f4d61e44c9f79c8bb2e2bafe6d.png是奇函数；（2）求证：50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的增函数；

函数65f373df39d12adce5cf3e7145a0d87d.pngf(x)，满足b91ebebc70987137e6380fd69e66616f.png都有f(x1+x2)= f(x1)+ f(x2)-3, （1）判断函数f(x)-3的奇偶性并予以证明 ⑵若f(x) 最大值为M，最小值为m，求M+m

分析;恰当赋值，用定义可证奇偶性，应用奇偶性可求M+m

解析；令effa1e41dacab92a97c1f2441004d95e.png则f(0+0)= f(0)+ f(0)-3得baa8cebe15b0b418f5d78bb9d4ea14ec.png，令6aebcb5e1838314a5b89b8dcc13c804b.png则f(x-x)= f(x)+ f(-x)-3得f(x)+ f(-x)=6，令5f35e6dba161c7b1b761881ec90ef940.png则0077ed644bf0d9eeba53bdadbd5d0d8c.png所以f(x)-3为奇函数。⑵b0a470aa90c0505c9d9dbd598bd21cc1.png，5016cce95762f57a9897b113712bbf5d.png，45b49d1b1ae25cb50b5e87fb0ca3ca7f.png为奇函数图像关于原点对称3e49c54b09cadad12f44a298fb73173b.png，4d2a55626a83064b3e922c3de198b7f1.png所以2e45b1710d857e473107553614a4077d.png

点评: 奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法，恰当赋值找出f(x)+ f(-x)=6是关键

2，函数65f373df39d12adce5cf3e7145a0d87d.pngf(x)，满足a59b470c14ccff6f0e4c58d813e7b952.png（1）求6337ae3642775dfeaa8c32ec6f8a119d.png的值，⑵判断并证明f(x)的奇偶性

解析；令9ba74f89450b31ffabae65f78b168801.png则61dece1bc677fdfaf33798cddb92b520.png，令422e86fe2fc8f0bad0f78826d5cd3d31.png则4ae00029989256ae9877840d7a60a932.png⑵5ef5cfb2a208cb0fa42cf6396b645da5.png

=693a32c7ea697aafccd41dca56a992ed.png得608c8a9709641af838290f72bd062b49.png再令3eed6168766a83dea73e7a9a86210ec3.png，所以f(x) 为奇函数

点评:要判断f(x)的奇偶性必先求出22703887c98c6c2df98fed1d50a5e8e1.png，而把1写成ebd02ed2363f3917c38e51ed0551b98a.png是关键

3， 定义在R上的函数65f373df39d12adce5cf3e7145a0d87d.pngf(x)满足b69d64c0c2d105a20835e5812130d224.png且在5a1d8aa5e01e5389287626e84b62c90e.png上只有fcfb67694139365ec3989987b0e3a583.png，判断f(x)的奇偶性并说明理由

解析；f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png f(x)在5a1d8aa5e01e5389287626e84b62c90e.png上只有fcfb67694139365ec3989987b0e3a583.png令5870bb658ee9e8a6900c138365d64c80.png则02db111e92c081311faeca255b326d07.png所以b85ac72fb437de9524a950cc59bd8887.png，61730984f80362de62080ff18023b90f.png所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数。

点评:判定一个命题不成立，只需举出反例即可。

4， 已知定义在R上的函数65f373df39d12adce5cf3e7145a0d87d.pngf(x)满足条件70abc7ddfb884acc342e413bcfd7cf7b.png，且函数65f373df39d12adce5cf3e7145a0d87d.pngc08e501c4d19878a3693e032cae70468.png是奇函数，判断65f373df39d12adce5cf3e7145a0d87d.pngf(x)的奇偶性并说明理由

解析；因为65f373df39d12adce5cf3e7145a0d87d.pngc08e501c4d19878a3693e032cae70468.png是奇函数，所以878ce9fae3b88e1cd1a9e35b67400b48.pngbed5e6d14405d46afcf79006630d9ad1.png，用9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png替代bc18a2b2315a5b92689d10ebd9aefcaf.png得4e7f675c95e895417dac3eb6f1a93ebf.png538a43faf72eabecaa7c99a1b0353dab.png又70abc7ddfb884acc342e413bcfd7cf7b.png95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png4e7f675c95e895417dac3eb6f1a93ebf.png66067b609156ed03303ede55a89b6db1.pngad400ccbe231d432645d659b8156dba7.png所以f(x) 为偶函数

5， 定义在R上的函数65f373df39d12adce5cf3e7145a0d87d.pngf(x)满足:625f081f773a808cf407722f08010a83.pngb2586610d33317d67890b2f7880f0977.png 判断65f373df39d12adce5cf3e7145a0d87d.pngf(x)的奇偶性并说明理由

解析；令e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png得56d041584849322648834f35649e12ff.png，只需求出086d2b7de755d70381db30b08e4a4db0.png，故再令142e2fc1decba30c825414e45d635b85.png得4b314b060ae7ffb96deda1868816d50c.png，所以74ef14741de6626ccd8fff2b5930d265.pngafed5a09d766ce1c7172b9d724cc37ea.png

所以f(x) 为偶函数

6，已知偶函数f(x)在区间5c13dd19f7cfd32e0db625dd6f2cad06.png上单调递增求满足081dbe981d77e13a0d03cbf87f16d721.png的9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png取值范围

解析；由偶函数性质得2ad42d485d3be549fa80c529ad1d1e35.png，又f(x)在区间5c13dd19f7cfd32e0db625dd6f2cad06.png上单调递增8c19b515b6f3a6da2690be5eab88ba45.png解得3d3e00e0b84ad6b64a3461fe9092698a.png

点评：运用偶函数性质c032669b46d7b13f9e6572e1a42fd120.png可把变量转化为同一单调区间再利用单调性求解，本题若分类讨论，则要分四种情况繁琐，显示了运用性质的重要性。

7， 函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，5aa374d5ec273fa91233085fad79a27e.png且f(x) g(x)在6aebe4fc50113bb0aeaa150f7d4a291d.png上单调递增，解不等式f(x) g(x)524a50782178998021a88b8cd4c8dcd8.png0

word/media/image207_1.png解析；令23c2e2a7ac9bd35f93ded46acd0f2200.pngf(x) g(x)，372b3df4a9e656e23c9c1a8d5be2e635.pngf(-x) g(-x)=-43b32dc07a962e721a72c14aeeab5fc4.png所以43b32dc07a962e721a72c14aeeab5fc4.png为奇函数，又57e8773233dfd9a36091e1890f641c86.png f(-1) g(-1)=0，03bb0075a1bc8138a727c48ed2dfea30.png，43b32dc07a962e721a72c14aeeab5fc4.png在6aebe4fc50113bb0aeaa150f7d4a291d.png上单调递增，由奇函数在其对称区间上单调性相同得43b32dc07a962e721a72c14aeeab5fc4.png在1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png上单调递增作出43b32dc07a962e721a72c14aeeab5fc4.png的简图

所以f(x) g(x)524a50782178998021a88b8cd4c8dcd8.png0即43b32dc07a962e721a72c14aeeab5fc4.pngc1bbc506cc8c63118a998a3e37ca5c23.png的解是c0eea0b17d9ab344ff169f1830225244.png

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