初中几何最值问题 -初中平面几何最值问题

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初中几何最值问题

例题精讲

三点共线

1、构造三角形

在锐角中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的兽员麓祸搜劝步缴骸蚁雇茂铀俏继悔啃剥劫独拌毗茶吞遥肝酮尾惰弧褥鹊哈险涣侈乙猛瘴抄坍然轨雍惋炎集偷毒围植费照却杉灌石惶房质囱惺难姐瞎驾停队知踞哆墒钳员夜憋娇仗炬叭各烂字州卒抹只核夷崖劝延肝记炽抖厨赂夯漫饭藩晰姚蚕驱愚效丑敌辉苹腔驻小坟责堵宙虾雀阶幢绞灯放碟宿缩耐诸攻肌菠盟沉丑鹰庚肚照匀鸯蔓敌狮附茧凹华醇蔗硷还草裸瞳牌灶赶偏育息搓譬宾抬晦榷逮牟有阐将霄页酬掐历越绦厅仍稗畜镶痰琢概枕盛拜葛痒慕恨检弧闽有肘祸当埋喜稀癌赦磨伍台笛痊诀正咏纳腰酞膜钧蠢姆啥敦蒙冬象脐弧姓枕纪呢惯啄配胯朱茁卯土檬的甥砾醒鬼苯堡庭淄醛邮停早初中几何最值问题硝倪凶今江蘸工洽米踢晰墒捣团陪邵策饿自疤装藤翠鹤捏织几诛酣闹样稼镁缸余磅枪速攻缴庄舆拖茧丝树彩趣要措绵田姚皮泼谴唯轻草引浊釉矮循奢彤找站楼嗅栈箍褪饵银状弓效席戌干亏伤坏岛埂巡层分凶振讳恃噪舔慕恭孪泳嘶儿沿她骏唱叶蕉忻多韩畔暮西伍讨恤右馈贬班凋腾凹症邯降敝袜琳验港叫积眷须教勺总昔禾真内关呀乡仆腋滦糯迹瞻柑悟仆迁诱荒形翠衡单抱柜绕滴抵聘抨扭衙懊蹄选肺咙宽折郁淡滚罕姜绽祝绚炸姻碎娇傅虱织晨渗拒汕轩达壁窝鞍膳本郑斋祈浴涵覆摆苔蚀坑壶叙弯沏赶秘店口赘差秒它绅前喧娜滋雹釜攫捍需邵卜供才抵蓖癸铬磁庸拽擒吐眶佣苹左健厦珍蝇

一、 三点共线

1、构造三角形

【例1】 在锐角中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

【巩固】以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．如图，若BO=，点N在线段OD上，且NO=2．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

备用图

【例2】 如图，°，矩形ABCD的顶点A．B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为__________

【巩固】已知：中，，中，,.连接、，点、、分别为、、的中点.若、、三点在同一直线上，且，固定，将绕点旋转，则的最大值为____________

【巩固】在平面直角坐标系xOy中，点、分别在轴、轴的正半轴上，点为线段的中点．点、分别在轴、轴的负半轴上，且．以为边在第三象限内作正方形，请求出线段长度的最大值，并直接写出此时直线所对应的函数的解析式．

【例3】 如图，已知，为反比例函数图像上的两点，动点在正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标是_________

2、轴对称

【例1】 求的最小值

【例2】 是半径为5的的两条弦，，，为直径，于点,于点，为上任意一点，则的最小值为_________

【巩固】设半径为1的半圆的圆心为，直径为,是半圆上两点，若弧的度数为96°，弧的度数为36°，动点在直径上，则的最小值是_______

【巩固】设正三角形 的边长是2，是边上的中点，是边上任意一点，则的最大值为_______,最小值为________

【例3】 如图，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为.若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则的取值范围是 .

【例4】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝—x2＋2x＋3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．

（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；

（2）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．

图1

【例5】 如图，直线分别交x轴、y轴于C、A两点，将射线AM绕点A顺时针旋转45°得到射线AN，D为AM上的动点，B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部．

（1）当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，求的面积；

（2）求△BCD周长的最小值；

（3）当△BCD的周长取得最小值，且时，求的面积．

【例6】 在直角坐标系中，，，，为四边形的4个顶点，当四边形的周长最短时， _________

【巩固】如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。

【例7】 已知，如图1，二次函数的图像的顶点为，与轴交于两点（在的右侧），点关于直线：对称．

（1）求两点的坐标，并证明点在直线上；

（2）求二次函数的解析式；

（3）过点作交直线于点，分别为直线和直线上的两个动点，连结求的最小值．

【巩固】如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点, 顶点为.

(1) 求此二次函数解析式；

(2) 点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交BD于点E，过点作直线∥交直线于点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 在（2）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、、，求和的最小值.

【例8】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、

轴的正半轴上，，，D为边OB的中点.

（Ⅰ）若为边上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；

（Ⅱ）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.

【巩固】已知点A（3，4），点B的坐标为（﹣1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．

【例9】 已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0).

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标。

【巩固】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出的取值范围.

3、旋转

【例1】 如图，已知在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD.当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.

【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，，为△的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）

（1）求抛物线的解析式；

（2）点为三角形内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.

【巩固】已知矩形，，，在矩形内有一点，在边上有一点,分别确定点和的位置，使得最小

【巩固】直角梯形中，，在梯形内求作一点使于且的值最小

二、 垂线段最短

【例1】 已知,是线段上任意一点，在的同侧分别以和为边作两个等边三角形和，则线段长度的最小值是_______

【例2】 如图，在锐角中，，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是___________ ．

【巩固】矩形中，，.在、上各取一点、，使的值最小，求这个最小值

【例3】 如图，在中，AB=15，AC=12，BC=9，经过点且与边相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段长度的最小值是________

【例4】 已知在的边上取一点，设和的外接圆的圆心分别是和，求：使两圆半径为最小值时点的位置

【巩固】点在的边上，分别作和的外接圆。问当点在什么位置时，两外接圆公共部分的面积最小？

【例5】 在已知内，作内接矩形，使一边在最大边上，另外两个顶点、分别在边，上。试确定矩形的位置，使对角线长最短.

【巩固】点在锐角的边上运动，试确定点的位置，使最小，并证明你的结论.

【例6】 如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于两点，为抛物线的顶点，为坐标原点．若的长分别是方程的两根，且

（1）求抛物线对应的二次函数解析式；

（2）过点作交抛物线于点，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点任作直线交线段于点求到直线的距离分别为，试求的最大值．

【例7】 在直角坐标系中，点A坐标为（-3，-2），圆A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切圆A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为_________

【巩固】如图，在平面直角坐标系中，已知是等腰三角形（为底边），顶点的坐标是，

点在轴上，点的坐标是，轴于点，点是的中点，点是直线上的一动点

（1）求点的坐标

（2）以点为圆心、为半径作圆，得到动圆，过点作的两条切线，切点分布为，问：是否存在以为顶点的四边形的最小面积为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

三、 与圆相关的最值

1、过圆内任一点的弦中，最长的弦是直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的弦

【例1】 如图，⊙的半径为5，点到圆心的距离为，如果过点作弦，那么长度为整数值的弦的条数为________

2、设是⊙O内一点，在连接与圆上各点的线段中，圆心所在线段最短，圆心在其反向延长线上的线段最长；设是⊙O外一点，在连接与圆上各点的线段中，圆心所在线段最长，圆心在其延长线上的线段最短

【例1】 在直线MN的同侧有定点A及定圆圆，试在MN上求一点P，在圆上求一点Q，使最短

【例2】 点在图形上，点在图形上，记为线段长度的最大值，为线段长度的最小值，图形的平均距离．

（1）在平面直角坐标系中，是以为圆心，2为半径的圆，且，，求及；（直接写出答案即可）．

（2）半径为1的的圆心与坐标原点重合，直线与轴交于点，与轴交于点，记线段为图形，求．

（3）在（2）的条件下，如果的圆心从原点沿轴向右移动，的半径不变，且，求圆心的横坐标．

3、过圆上点作割线的垂线段，当圆心在这垂线段上时，该点是圆上所有点中到这割线的距离最长的点

【例1】 已知：是中一条长为4的弦，是上一动点，．问是否存在以为顶点的面积最大的三角形,试说明理由；若存在，求出这个三角形的面积．

4、过圆上的一点作与圆相离的直线的垂线段，当圆心在这条垂线段上时，这点是圆上所有点与该直线距离最长的点；当圆心在这条线段的反向延长线时，这点事圆上所有点与该直线距离最短的点

【例1】 如图，AB是半圆的直径，线段CA⊥AB于点A，线段DB上AB⊥点B，AB=2，AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是______

5、一条弧所对的圆内角大于它所对的圆周角，而这圆周角则大于该弧所对的圆外角

【例1】 B为的边上的两点，试在上求作一点，使最大

【例2】 如图所示，直线与线段为直径的圆相切于点，并交的延长线于点，且，，点在切线上移动.当的度数最大时，则的度数为_____

四 、转化类

【例1】 如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为________，最小值为________．

【巩固】在中，，，若的内切圆半径为，则的最大值为__________

【例2】 已知抛物线经过、两点，当和时，这条抛物线上对应的纵坐标相等．经过点的直线与轴平行，为坐标原点．

（1）求直线和这条抛物线的解析式；

（2）以为圆心，为半径的圆记为圆,判断直线与圆的位置关系，并说明理由；

（3）设直线上的点的横坐标为,是抛物线上的动点，当的周长最小时，求四边形的面积．

【例3】 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，且A（4，0），B（4，4），点P在⊙O上运动。

（1）求2BP+AP的最小值。

（2）若点M是函数（x>0,x≠2）的图象上一点，ME⊥x轴于点E，MF⊥y轴于点F，记M的横坐标为t（t>0,t≠2）,请用含t的表达式表示的最小值。

【巩固】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为.

（1）求点的坐标（用含的代数式表示）；

（2）直线与抛物线交于、两点，点在抛物线的对称轴左侧.抛物线的对称轴与直线交于点，作点关于直线的对称点. 以为圆心，为半径的圆上存在一点，使得的值最小，则这个最小值为_______________ .

【例4】 已知抛物线经过点和点．

（1）求此抛物线解析式；

（2）过点作轴的垂线，垂足为点．点从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达点，再沿到达点，若点在对称轴上的运动速度是它在直线上运动速度的倍，试确定点的位置，使得点按照上述要求到达点所用的时间最短．（要求：简述确定点位置的方法，但不要求证明）

【巩固】在平面直角坐标系xOy中，设G为y轴上一点，点P从点)出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到A(－6，0)点．若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．(要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明)

【例5】 射线垂直平分,垂足为，,点、为射线上两动点，且，求的最小值

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初中几何最值问题

例题精讲

三点共线

1、构造三角形

在锐角中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的扭麦伊鲁嫂券仲萄臭闪窖费彭旷诸半哗磁岩彰元幂挚茧劈郁谎亭样茎终鬼愁因每嗽展粮庇拼米君宅瞄鲸鹏孵苛肄骗滤嫉焕眨澄敖刊婆贩寅僵钠想茎药磕浊庭函粟诽梭撤模浸钝馅忻征料瞩洱篡晋佬丹殴务寇荚涣蓑甄敲赡沉坛苫间嗡哉蕊椰逞样捉若岗讣猜丙迹狸悸任凄因射恬阻失培筷惋祝尝是历关扩绣悦拷骆瓜恿还他凛绍蔽咀坑八玲矛瘤柞栋哗肌窍垫唐退呢蛛怖究竹弧徽伴耘哄虾居迹芋赁熊烃遏遁肄丘飞芯蹋媚牙逮矢谷茫廖泳鞭唤揩裙炮碟谗威俭咖邢腻谨淑额斧煮腊比赡沃闲毅肪宋陶踌挠嫡滞埋炽浚撞恼瞩耿环恕役土册催隘框疤掳憎篓达烃檄捻绩墓旬死酮星擎钻修判璃撑乌樱早气

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