2018年河南省中考数学试卷

、选择题（每题只有一个正确选项，本题共 10小题，每题3分，共30分）

1.（ 3分）-：：的相反数是（ ）

5

A. - ' B. C.-二 D.—

5 5 2 2

2. （ 3分）今年一季度，河南省对 一带一路”沿线国家进出口总额达 214.7亿元，数据“ 214.7 亿”用科学记数法表示为（ ）

2 3 10 11

A.2.147 X 10 B. 0.2147 X 10 C. 2.147X 10 D. 0.2147 X 10

3. （3分）某正方体的每个面上都有一个汉字， 如图是它的一种展开图， 那么在原正方体中，

与国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）

A.厉 B.害 C. 了 D.我

4.（ 3分）下列运算正确的是（ ）

" / 2、 3 5r 2, 35 3^47 1小3 3*

A.（- x ） =- x B. x +x =x C. x?x=x D. 2x - x =1

5. （ 3分）河南省旅游资源丰富，2013〜2017年旅游收入不断增长，同比增速分别为：15.3%,

12.7%, 15.3%, 14.5%, 17.1% .关于这组数据，下列说法正确的是（ ）

A.中位数是12.7% B.众数是15.3%

C.平均数是15.98% D.方差是0

7. （ 3分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（

A.x2+6x+9=0 B. C. x2+3=2x D. (x- 1) 2+1=0

是‘泌”，它们除此之外完全相同•把这 4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这

两张卡片正面图案相同的概率是（

9.（3分）如图，已知？AOBC的顶点0（ 0, 0） , A （- 1, 2）,点B在x轴正半轴上按以下

步骤作图：①以点 0为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 OA, 0B于点D, E;②分别

以点D, E为圆心，大于I DE的长为半径作弧，两弧在/

2

10.（2018.河南.10）如图1，点F从菱形ABCD的顶点 匀速运动到点B,图2是点F运动时，△ FBC的面积y（ cm2）随时间x（ s）变化的关系图象,

11.则a的值为（ ）

号的横线上）

12.( 3 分)计算：| - 5| -

13.（3分）如图，直线 AB, CD相交于点 0, E0丄AB于点0,/ EOD=50°则/ BOC的度数

为 .

14.（ 3分）如图，在△ ABC中，/ ACB=90°, AC=BC=2将厶ABC绕AC的中点D逆时针旋转

90。得到△ A'B ' ,CM中点B的运动路径为“壬：",则图中阴影部分的面积为 .

15.（3分）如图，/ MAN=90 ,点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接 BC,

△ A Bd^ ABC关于BC所在直线对称，点 D, E分别为AC, BC的中点，连接 DE并延长交

A'所在直线于点F,连接A'.当厶A' E为直角三角形时，AB的长为 .

三、计算题（本大题共 8题，共75分，请认真读题）

16. （8分）先化简，再求值：（亠-1）十'，其中 x= _>1.

计1 X2-1

17.（ 9分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的

杨絮易引发皮肤病、 呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情 况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示） ，并根据调查结果绘制了如下

尚不完整的统计图.

治理杨絮一一您选哪一项？（单选）

A.减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量

B.调整树种结构，逐渐更换现有杨树

C.选育无絮杨品种，并推广种植

D.对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮

E.其他

调查结果扇形焼计图 人珈调查结果条形统计图

根据以上统计图，解答下列问题:

(1) 本次接受调查的市民共有 人；

(2) 扇形统计图中，扇形 E的圆心角度数是 ;

(3)请补全条形统计图；

(4)若该市约有90万人，请估计赞同 选育无絮杨品种，并推广种植 ”的人数.

18.(9分)如图，反比例函数 & (x>0)的图象过格点(网格线的交点) P.

(1 )求反比例函数的解析式；

(2)在图中用直尺和 2B铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满足下列两个 条件：

1四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点 O,点P;

2矩形的面积等于 k的值.

i

I 1—J 1 1 IL>

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,• ■ ［一• 18庁.・ *

■ *■"' a a ■ A ii

19.( 9分)如图，AB是O O的直径，DO丄AB于点O,连接DA交O O于点C,过点C作O O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.

(1)求证：CE=EF

(2)连接AF并延长，交O O于点G.填空：

1当/ D的度数为 时，四边形ECFG为菱形；

2当/ D的度数为 时，四边形ECOG为正方形.

20.（9分）高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及

若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、 低两杠间的距离.某

兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答.

如图所示，底座上A,B两点间的距离为90cm .低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm, 高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架 AC与直线AB的夹角/ CAE

为82.4 °高杠的支架 BD与直线AB的夹角/ DBF为80.3 °求高、低杠间的水平距离 CH的

长.(结果精确到 1cm ,参考数据 sin82.4 憑 0.991 , cos82.4 豪 0.132 , tan82.4 ° 7.500 , sin80.3

21.（10分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量 y （个）与销售单

价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价， 日销售量，日销售利润的几组对应值如表：

（注：日销售利润=日销售量x（销售单价-成本单价） ）

（1 ）求y关于x的函数解析式（不要求写出 x的取值范围）及 m的值；

（2）根据以上信息，填空：

该产品的成本单价是 元，当销售单价 x= 元时，日销售利润 w最大，最大值

是 元；

（3 ）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销

售单价仍存在（1 ）中的关系•若想实现销售单价为 90元时，日销售利润不低于 3750元的

销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？

22 • （10分）（1）问题发现

如图 1,在厶 OAB和厶 OCD中，OA=OB, OC=OD / AOB=/ COD=4°，连接 AC, BD交于点 M .填空：

1丄的值为 ；

BD

2/ AMB的度数为 .

（2 ）类比探究

如图 2,在厶 OAB和厶 OCD中，/ AOB=Z COD=9°，/ OAB=Z OCD=30，连接 AC交 BD的延

长线于点M .请判断丄的值及/ AMB的度数，并说明理由；

BD

（3 ）拓展延伸

在（2）的条件下，将△ OCD绕点O在平面内旋转，AC, BD所在直线交于点 M,若OD=1,

23. （11分）如图，抛物线 y=ax2+6x+c交x轴于A, B两点，交y轴于点C.直线y=x- 5经 过点B, C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线 BC于点M .

①当AM丄BC时，过抛物线上一动点 P （不与点B, C重合），作直线AM的平行线交直线

BC于点Q,若以点A，M，P, Q为顶点的四边形是平行四边形，求点 P的横坐标；

②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于/ ACB的2倍时，请直接写出点 M的坐标.

2018年河南省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共 10小题，每题3分，共30分）

2

1 . （2018 •河南.1）- 一的相反数是（ ）

5

故选：B.

【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键.

2.（ 3分）今年一季度，河南省对 一带一路”沿线国家进出口总额达 214.7亿元，数据“ 214.7

亿”用科学记数法表示为（ ）

2 3 10 11

A. 2.147 X 102 B. 0.2147 X 103 C. 2.147X 1010 D. 0.2147 X 1011

【分析】 科学记数法的表示形式为 ax 10n的形式，其中1W|a| v 10，n为整数.确定n的

值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同. 当 原数绝对值〉1时，n是正数；当原数的绝对值v 1时，n是负数.

【解答】 解：214.7亿，用科学记数法表示为 2.147 X 1010,

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法. 科学记数法的表示形式为 ax I0n的形式，其中1

w|a| v 10, n为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及n的值.

3.（3分）某正方体的每个面上都有一个汉字， 如图是它的一种展开图， 那么在原正方体中，

与国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）

A.厉 B.害 C. 了 D.我

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.

【解答】 解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，

的”与 害”是相对面，

了”与厉”是相对面，

我”与 国”是相对面.

故选：D.

【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字， 注意正方体的空间图形，从相对面入

手，分析及解答问题.

4.（ 3分）下列运算正确的是（ ）

A、 （-x2） 3=- x5 B. x2+x3=x5 C. x3?x4=x7 D. 2x3 - x3=1

【分析】分别根据幕的乘方、同类项概念、同底数幕相乘及合并同类项法则逐一计算即可判 断.

【解答】 解：A、（- x2） 3=- x6，此选项错误；

B、 x2、x3不是同类项，不能合并，此选项错误；

C、 x3?x4=x7，此选项正确；

D、 2x3- x3=x3，此选项错误；

故选：C.

【点评】本题主要考查整式的运算， 解题的关键是掌握幕的乘方、 同类项概念、同底数幕相

乘及合并同类项法则.

5.（ 3分）河南省旅游资源丰富，2013〜2017年旅游收入不断增长，同比增速分别为：15.3%,

12.7%, 15.3%，14.5%，17.1% .关于这组数据，下列说法正确的是（ ）

A、 中位数是12.7% B.众数是15.3%

C.平均数是15.98% D.方差是0

【分析】直接利用方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义分别分析得出答案.

【解答】 解：A、按大小顺序排序为:12.7%, 14.5%, 15.3%, 15.3%, 17.1%,

故中位数是：15.3%，故此选项错误；

B、 众数是15.3%，正确；

C、 一 （15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%）

=14.98%，故选项C错误；

D、 t 5个数据不完全相同，

•••方差不可能为零，故此选项错误.

故选：B.

【点评】此题主要考查了方差的意义以及平均数的求法和中位数、 众数的定义，正确把握相

关定义是解题关键.

6.（ 3分）《九章算术》中记载： 今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人

数、羊价各几何？ ”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5钱，还差45钱；若每人出7

钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 x人，羊价为y线，根据题意,

可列方程组为（

【分析】设设合伙人数为x人，羊价为y线，根据羊的价格不变列出方程组.

【解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y线，根据题意，可列方程组为: 故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键.

7.（ 3分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）

A. x2+6x+9=0 B. «=x C. x2+3=2x D. （x- 1） 2+1=0

【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可.

【解答】 解：A、x2+6x+9=0

2

△=62 - 4 X 9=36 - 36=0,

方程有两个相等实数根；

2

B、x =x

x2 - x=0

△= (- 1) 2- 4X 1 X 0=1 >0

两个不相等实数根；

2

c、x +3=2x

x2 - 2x+3=0

△= (- 2) 2- 4X 1 X 3=- 8 V0,

方程无实根；

2

D、(x- 1) +仁0

(x- 1) 2=- 1,

则方程无实根；

故选：B.

【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (0)的根与

△=b2-4ac有如下关系：①当△> 0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△ =0时，方

△程有两个相等的两个实数根；③当△< 0时，方程无实数根.

两张卡片正面图案相同的概率是( )

可得：

如 A-* -41 B

/T\ /T\ /K /R

一共有12种可能，两张卡片正面图案相同的有 6种,

故从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是： -

2

故选：D.

【点评】 此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有的可能是解题关键.

9.(3分)如图，已知？AOBC的顶点0( 0, 0) , A (- 1, 2),点B在x轴正半轴上按以下

步骤作图：①以点 0为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 0A, 0B于点D, E;②分别

以点D, E为圆心，大于丄DE的长为半径作弧，两弧在/ A0B内交于点F;③作射线0F,交

2

【分析】 依据勾股定理即可得到 RtA A0H中，A0=：，依据/ AG0=Z A0G，即可得到

AG=A0=，，进而得出 HG= ，- 1,可得 G ( - 1, 2)

【解答】 解：I ?A0BC的顶点0( 0, 0), A (- 1 , 2), ••• AH=1, H0=2,

••• RtA A0H 中，A0= _,

由题可得，0F平分/ A0B,

•••/ A0G=Z E0Q

又••• AG// 0E,

•••/ AG0=Z E0G,

•••/ AG0=Z A0G,

•AG=A0= ■.,

•HG= ，- 1 ,

•-G ( - 1 , 2),

故选：A.

注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线， 然后求出相关的线段长， 是解

决这类问题的基本方法和规律.

10.(3分)如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿D^B以1cm/s的速度匀速运动 到点B,图2是点F运动时，△ FBC的面积y (cm2)随时间x (s)变化的关系图象，贝U a的 值为( )

A. ，B. 2 C. D. 2 ■

2

【分析】通过分析图象，点 F从点A到D用as,此时，△ FBC的面积为a,依此可求菱形的 高DE,再由图象可知，BD=:，应用两次勾股定理分别求 BE和a.

【解答】 解：过点D作DE丄BC于点E

由图象可知，点 F由点A到点D用时为as,A FBC的面积为acm2.

AD=a

丨―U

••• DE=2

当点F从D到B时，用 _s

• BD=-

RtA DBE 中,

BE= S [i ；

•/ ABCD是菱形 --EC=a_ 1， DC=a

RtA DEC 中，

2 2

a =2 + (a - 1) 解得a=

故选：C.

【点评】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质， 解答过程中要注意函数图象变化与

动点位置之间的关系.

二、细心填一填（本大题共 5小题，每小题3分，满分15分，请把答案填在答題卷相应题 号的横线上）

11.（3 分）计算：| - 5| - .:'= 2 .

【分析】直接利用二次根式以及绝对值的性质分别化简得出答案.

【解答】解：原式=5 - 3

=2.

故答案为：2.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

12.（3分）如图，直线 AB, CD相交于点 O, E0丄AB于点0,/ EOD=50°则/ BOC的度数

为 140° .

【分析】 直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案.

【解答】 解：•••直线 AB, CD相交于点O, E0丄AB于点0,

•••/ EOB=90 ,

•// EOD=50 ,

•••/ BOD=40 , 则/ BOC的度数为：180° - 40°=140° .

故答案为：140°

【点评】此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义，正确把握相关定义是解题关键.

13.（3分）不等式组* 的最小整数解是 -2 .

[4-x>3

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案.

【解答】解:

L4-y>3@

•••解不等式①得：x>- 3,

解不等式②得：xw 1,

•••不等式组的解集为-3v xw 1,

•••不等式组的最小整数解是- 2 ,

故答案为：-2.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解， 能根据不等式的解集得出不

等式组的解集是解此题的关键.

14.（ 3分）如图，在△ ABC中，/ ACB=90°, AC=BC=2将厶ABC绕AC的中点D逆时针旋转

90。得到△ A'B 5中点B的运动路径为；，则图中阴影部分的面积为一一

I分析】利用弧长公式'，计算即可；

【解答】 解：△ ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△ A'B '，此时点A'在斜边AB上,

CA'丄 AB,

•••/ ACA = BCA =45°

•••/ BCB =135°

• S _135•兀・2_3

…s阴一 一兀

【点评】 本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,

属于中考常考题型.

15.（3分）如图，/ MAN=90 ,点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接 BC,

△ A BCf^ ABC关于BC所在直线对称，点 D, E分别为AC, BC的中点，连接 DE并延长交

A'所在直线于点F，连接A上当厶A E为直角三角形时，AB的长为_^4二或4

【分析】当厶A E为直角三角形时，存在两种情况：

1当/ A'EF=90°时，如图1,根据对称的性质和平行线可得： A'C=A'E=4,根据直角三角形斜

边中线的性质得：BC=2A'B=8最后利用勾股定理可得 AB的长；

2当/ A'FE=90时，如图2,证明△ ABC是等腰直角三角形，可得 AB=AC=4.

【解答】 解：当△ A E为直角三角形时，存在两种情况：

①当/ A'EF=90时，如图1，

•/△ A BCT^ ABC关于BC所在直线对称，

••• A'C=AC=4, / ACB=Z A'CB,

•••点D，E分别为AC，BC的中点，

•D、E是厶ABC的中位线，

•DE// AB，

•••/ CDE=/ MAN=9°，

•/ CDE=/ A'EF,

•AC / A'E，

•/ ACB=/ A'EC,

•/ A'CB=/ A'EC，

•A'C=A'E=4,

RtAA'CB中，T E是斜边BC的中点，

•BC=2A'B=8,

由勾股定理得：AB2=bC2- AC2，

②当/ A'FE=90。时，如图2,

•••/ ADF=Z A=Z DFB=90 ,

•••/ ABF=90 ,

•••△ A ABC关于BC所在直线对称,

•••/ ABC=Z CBA'=45°,

•△ ABC是等腰直角三角形，

•• AB=AC=4;

综上所述，AB的长为4「或4;

故答案为：4 -或4;

【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则,

17.（ 9分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的 杨絮易引发皮肤病、 呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情 况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示） ，并根据调查结果绘制了如下

尚不完整的统计图.

治理杨絮一一您选哪一项？（单选）

A.减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量

B.调整树种结构，逐渐更换现有杨树

C.选育无絮杨品种，并推广种植

D.对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮

E.其他

根据以上统计图，解答下列问题：

（1） 本次接受调查的市民共有 2000人；

（2） 扇形统计图中，扇形 E的圆心角度数是 28.8 ° ；

（3） 请补全条形统计图；

（4） 若该市约有90万人，请估计赞同 选育无絮杨品种，并推广种植 ”的人数.

【分析】（1 ）将A选项人数除以总人数即可得；

（2） 用360°乘以E选项人数所占比例可得；

（3） 用总人数乘以 D选项人数所占百分比求得其人数，据此补全图形即可得；

（4） 用总人数乘以样本中 C选项人数所占百分比可得.

【解答】 解：（1）本次接受调查的市民人数为 300- 15%=2000人，

故答案为：2000 ；

(2)扇形统计图中，扇形 E的圆心角度数是 360° X * =28.8 °

2000

故答案为：28.8 °

(3) D选项的人数为

2000 X 25%=500,

补全条形图如下：

凋查结果扇形统计|

人瓠洞查结果条形统计匿

E

C

0 A B C DE

选项

(4)估计赞同 选育无絮杨品种，并推广种植 ”的人数为70 X 40%=28 (万人).

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用. 读懂统计图，从不同的统计图

中得到必要的信息是解决问题的关键. 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统

计图直接反映部分占总体的百分比大小.

18.(9分)如图，反比例函数 y=' (x>0)的图象过格点(网格线的交点) P.

(1)求反比例函数的解析式；

(2) 在图中用直尺和 2B铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满足下列两个 条件：

①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点 O,点P;

②矩形的面积等于 k的值.

v

【分析】(1 )将P点坐标代入 沪，禾U用待定系数法即可求出反比例函数的解析式;

(2 )根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可.

【解答】 解：(1)v反比例函数y=' (x> 0)的图象过格点 P (2, 2),

18 / 30

•••反比例函数的解析式为 y=；;

x

(2)如图所示：

矩形OAPB矩形OCDP即为所求作的图形.

【点评】本题考查了作图-应用与设计作图， 反比例函数图象上点的坐标特征， 待定系数法

求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键.

19.( 9分)如图，AB是O O的直径，DO丄AB于点O,连接DA交O O于点C,过点C作O O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.

(1)求证：CE=EF

(2)连接AF并延长，交O O于点G.填空：

1当/ D的度数为 30°时，四边形ECFG为菱形；

2当/ D的度数为 22.5 °时，四边形ECOG为正方形.

【分析】(1)连接OC,如图，利用切线的性质得/ 1 + Z 4=90°,再利用等腰三角形和互余证 明/仁/ 2,然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；

(2)①当/ D=30时，/ DAO=60，证明△ CEF和厶FEG都为等边三角形，从而得到

EF=FG=GE=CE=CF则可判断四边形 ECFG为菱形；

②当/ D=22.5°时，/ DAO=67.5，禾U用三角形内角和计算出/ COE=45，利用对称得/

EOG=45，则/ COG=90，接着证明△ OEC^A OEG得到/ OEG=/ OCE=90，从而证明四边形

ECOG为矩形，然后进一步证明四边形

【解答】(1)证明：连接OC,如图，

•/ CE为切线，

•••OC 丄 CE

•••/ OCE=90，即/ 1+Z4=90° ,

•/ DO 丄 AB,

•••/ 3+/ B=90° ,

而/ 2=/ 3,

•/ 2+/ B=90°，

而 OB=OC，

•/ 4=/ B，

•/ 1=/ 2，

•CE=FE；

(2)解：①当/ D=30 时，/ DAO=60

而 AB 为直径，

•/ ACB=90，

•/ B=30°，

•/ 3=/ 2=60°，

而 CE=FE，

•△ CEF为等边三角形，

•CE=CF=E，F

同理可得/ GFE=60，

利用对称得 FG=FC，

•/ FG=EF

•△ FEG为等边三角形，

•EG=FG，

•EF=FG=GE=C，E

•四边形ECFG为菱形；

②当/ D=22.5°时，/ DAO=67.5 ,

而 OA=OC，

•••/ OCA=/ OAC=67.5 ,

•••/ AOC=180 - 67.5 ° 67.5 °=45°,

•••/ AOC=45 ,

•••/ COE=45 ,

利用对称得/ EOG=45 ,

•••/ COG=9° ,

易得△ OEC^A OEG,

•••/ OEG=Z OCE=90,

•四边形ECOG为矩形，

而 OC=OG

•四边形ECOG为正方形.

故答案为30° 22.5 °

D

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径•若出现圆的切线， 必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了菱形和正方形的判定.

20.（9分）高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及

若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、 低两杠间的距离.某

兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答.

如图所示，底座上A,B两点间的距离为90cm .低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm, 高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架 AC与直线AB的夹角/ CAE 为82.4 °高杠的支架 BD与直线AB的夹角/ DBF为80.3 °求高、低杠间的水平距离 CH的

长.（结果精确到 1cm ,参考数据 sin82.4 憑 0.991 , cos82.4 ° 0.132 , tan82.4 沁 7.500 , sin80.3 〜0.983 , cos80.3 ° 0.168 , tan80.3 ° 5.850）

【分析】利用锐角三角函数，在RtA ACE和RtA DBF中，分别求出AE、BF的长.计算出EF.通

过矩形CEFH得到CH的长.

【解答】 解：在RtAACE中,

•/ tan / CAE= ,

AE

ae= -匸 = i ：〜〜21 (cm)

tanZCAE tan82. 4° 7. 5

在 RtA DBF 中，

HF

•/ tan / DBF=a ,

BF

.BF= = 丨 〜 ；=40 (cm)

tanZDBF tan80. 3-1 5. 85

■/ EF=EA+AB+BF~ 21+90+40=151 (cm)

•••CE丄 EF, CH丄 DF, DF丄 EF

.四边形CEFH是矩形，

.CH=EF=151cm 答：高、低杠间的水平距离 CH的长为151cm .

【点评】 本题考查了锐角三角函数解直角三角形.题目难度不大，注意精确度.

21.（10分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量 y （个）与销售单

价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价， 日销售量，日销售利润的几组对应值如表：

（注：日销售利润=日销售量x（销售单价-成本单价） ）

（1 ）求y关于x的函数解析式（不要求写出 x的取值范围）及 m的值;

(2)根据以上信息，填空：

该产品的成本单价是 80元，当销售单价x= 100元时，日销售利润w最大，最大值是

2000 元；

(3 )公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销

售单价仍存在(1 )中的关系•若想实现销售单价为 90元时，日销售利润不低于 3750元的

销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？

【分析】(1)根据题意和表格中的数据可以求得 y关于x的函数解析式；

(2) 根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和 w的最大值；

(3)根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本.

【解答】解；(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,

fS5k+b=175 fk=-5

，得, ,

195k+b=125 lb二600

即y关于x的函数解析式是 y= - 5x+600,

当 x=115 时，y=- 5X 115+600=25,

即m的值是25;

(2 )设成本为a元/个，

当 x=85 时，875=175 X( 85 - a),得 a=80,

w= (- 5x+600) (x - 80) = - 5x2+1000x - 48000= - 5 (x - 100) 2+2000,

•••当x=100时，w取得最大值，此时 w=2000 ,

故答案为：80, 100, 2000 ;

(3)设科技创新后成本为 b元，

当x=90时，

(-5X 90+600) (90 - b)> 3750,

解得，b< 65,

答：该产品的成本单价应不超过 65元.

【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用， 解答本题的关键

是明确题意，找出所求问题需要的条件，禾U用函数和数形结合的思想解答.

22.(10分)(1)问题发现

如图 1,在厶 OAB和厶 OCD中，OA=OB, OC=OD / AOB=/ COD=4°，连接 AC, BD交于点

M .填空:

1丄的值为 1 ;

BD

2/ AMB的度数为 40

(2 )类比探究 如图 2,在厶 OAB和厶 OCD 中，/ AOB=/ COD=9°，/ OAB=/ OCD=30，连接 AC交 BD 的延

长线于点M .请判断丄的值及/ AMB的度数，并说明理由；

BD

(3 )拓展延伸

在(2)的条件下，将△ OCD绕点O在平面内旋转,

【分析】(1 )①证明△ COA^A DOB ( SAS ,得AC=BD,比值为1 ;

②由△ COA^A DOB,得/ CAO=Z DBO,根据三角形的内角和定理得：/ AMB=180 -(/

DBO+Z OAB+Z ABD) =180 ° - 140 °40 °

(2) 根据两边的比相等且夹角相等可得△ AOC^A BOD,则… =二，由全等三角形的

BD 0D

性质得/ AMB的度数；

(3) 正确画图形，当点 C与点M重合时，有两种情况：如图 3和4,同理可得：△ AOCs

ap _

△ BOD，则/ AMB=90，… ，，可得 AC的长.

BD

【解答】解：(1)问题发现

①如图 1 ,•••/ AOB=Z COD=40 ,

•••/ COA=Z DOB,

•/ OC=OD, OA=OB,

•△ COA^A DOB ( SAS,

•AC=BD,

•J,

②•••△ COA^A DOB,

•••/ CAO=Z DBO,

•••/ AOB=40 ,

•••/ OAB+Z ABO=140 ,

在厶 AMB 中，/ AMB=180 - (/ CAO+Z OAB+Z ABD) =180°— (/ DBO+Z OAB+Z ABD) =180°

-140° =40°,

故答案为：①1；②40°

(2 )类比探究

如图2，上-=「，/ AMB=90，理由是：

BD

RtA COD中，Z DCO=30 , Z DOC=90 ,

•匸

•: J

•/Z AOB=Z COD=90 ,

•Z AOC=Z BOD,

•△ AOC^A BOD,

=二，Z CAO=Z DBO,

BD 0D

在厶 AMB 中，Z AMB=180 -(Z MAB+Z ABM) =180°-(Z OAB+Z ABM + Z DBO) =90°;

(3 )拓展延伸

①点C与点M重合时，如图3,同理得：△ AOC^A BOD,

•Z AMB=90，: ；，

设 BD=x,贝U AC=£：x ,

RtA COD中，Z OCD=30 , OD=1,

•CD=2, BC=x- 2,

RtAAOB 中，Z OAB=30°, OB=7?,

•AB=2OB=2 ,

在RtA AMB中，由勾股定理得： AC2+BC2=aB2 ,

：亠.—「

x ~ x - 6=0,

(x-3) (x+2) =0,

xi=3, X2=- 2,

AC=3訂「;;

②点C与点M重合时，如图4,同理得：/ AMB=90，… ■,

BD

设 BD=X,贝U AC= ;x,

在RtA AMB中，由勾股定理得： AC2+BC2=aB2 ,

( x+2)2=，厂」■'

2

x +x- 6=0,

(x+3) (x- 2) =0,

xi= - 3, x2=2,

••• AC=2 二；

【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定， 几何变换问

题，解题的关键是能得出：△ A08A BOD,根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解 决问题，本题是一道比较好的题目

23.（11分）如图，抛物线 y=ax2+6x+c交x轴于A, B两点，交y轴于点C.直线y=x- 5经 过点B, C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点A的直线交直线 BC于点M .

1当AM丄BC时，过抛物线上一动点 P (不与点B, C重合)，作直线AM的平行线交直线

BC于点Q,若以点A，M，P, Q为顶点的四边形是平行四边形，求点 P的横坐标；

2连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于/ ACB的2倍时，请直接写出点 M的坐标.

【分析】(1 )利用一次函数解析式确定 C (0, - 5), B (5, 0),然后利用待定系数法求抛

物线解析式；

(2)①先解方程-/+6x- 5=0得A (1, 0),再判断△ OCB为等腰直角三角形得到/ OBC= / OCB=45,则厶AMB为等腰直角三角形， 所以AM=2匚,接着根据平行四边形的性质得到

PQ=AM=2 ■: , PQ丄BC,作PD丄x轴交直线 BC于D,如图1,利用/ PDQ=45得至U PD= ■: PQ=4 , 设 P (m , - m2+6m - 5),贝 U D ( m , m- 5),讨论：当 P 点在直线 BC 上方时，PD=- m2+6m -5 -( m- 5) =4;当P点在直线 BC下方时，PD=m- 5-(- m2+6m - 5),然后分别解方 程即可得到P点的横坐标；

②作AN丄BC于N , NH丄x轴于H ,作AC的垂直平分线交 BC于Mj ,交AC于E,如图2 , 利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到/ AM1B=2/ACB,再确定N(3, - 2),

1 C

AC的解析式为y=5x - 5 , E点坐标为(「,—),利用两直线垂直的冋题可设直线 EM1的

£ u

解析式为y=- x+b ,把E Gr ,-)代入求出b得到直线EM1的解析式为y=- x-…，

5 2 2 5 5

则解方程组' 1 12得M1点的坐标；作直线 BC上作点M1关于N点的对称点M2 ,如

图2,利用对称性得到/ AM2C=Z AM1B=2/ ACB,设M2 (x , x- 5),根据中点坐标公式得到

3= ，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点 M的坐标.

2

【解答】 解：(1)当 x=0 时，y=x- 5=-5,则 C (0,- 5),

当 y=0 时，x- 5=0,解得 x=5,则 B (5, 0),

把 B ( 5, 0), C (0, - 5)代入 y=ax2+6x+c 得『5 时3Q+c二0 ,解得卜二-1 , 工二一5

•••抛物线解析式为 y=-x2+6x- 5；

(2)①解方程-x2+6x- 5=0 得 xg, X2=5,则 A ( 1 , 0),

••• B ( 5 , 0) , C ( 0, - 5),

•△ OCB为等腰直角三角形，

•••/ OBC=Z OCB=45 ,

•/ AM 丄 BC,

•△ AMB为等腰直角三角形，

2 2

•••以点A , M , P , Q为顶点的四边形是平行四边形， AM// PQ,

•PQ=AM=2 "■ , PQ丄 BC,

作PD丄x轴交直线 BC于D ,如图1 ,则/ PDQ=45 ,

•PD=“J j X 2 '：=4 ,

设 P ( m , — m2+6m — 5),贝U D (m , m - 5),

当P点在直线BC上方时，

PD=— m2+6m — 5—( m — 5) = — m2+5m=4 ,解得 m〔=1 , m2=4 ,

当P点在直线BC下方时，

PD=m — 5 —(— m +6m — 5) =m — 5m=4 ,解得 m

综上所述,P点的横坐标为4或「「一或\ ； ②作AN丄BC于N , NH丄x轴于H ,作AC的垂直平分线交 BC于 皿！，交AC于E ,如图2 ,

T M1A=M1C ,

•••/ ACM" CAM1 ,

•/ AM1B=2/ ACB

•••△ ANB为等腰直角三角形，

••• AH=BH=NH=2,

易得AC的解析式为y=5x - 5, E点坐标为（丄

2

），

设直线EMi的解析式为y=- x+b,

5

_L+b=- 5 10

y= - -Lx --—

5 5

13

6

，则

17

把E（'，--）代入得-

•直线EMi的解析式为

解方程组

解得b=-

Mi

）；

作直线BC上作点Mi关于N点的对称点

M2,如图

2,则/ AM2C=Z AMiB=2/ ACB,

设 M2 (x, x- 5),

••• 3=

2

23

•-x=,

• M2 (亠,

6

J,

L,

【点评】本题考查了二次函数的综合题： 熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、 二次函数 的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质； 会利用待定系数法求函数解析式； 理 解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a8274dda872458fb770bf78a6529647d262834d9.html