垂径定理—知识讲解（基础）

垂径定理—知识讲解（基础）

撰稿：张晓新 审稿：杜少波

【学习目标】

1.理解圆的对称性；

2.掌握垂径定理及其推论；

3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.

【要点梳理】

知识点一、垂径定理

1.垂径定理

　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.推论

　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

要点诠释：

　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

　　

　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.

知识点二、垂径定理的拓展

根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

要点诠释：

在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）

【典型例题】

类型一、应用垂径定理进行计算与证明

　1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（ ）

A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm

【思路点拨】

欲求CD的长，只要求出⊙O的半径r即可，可以连结OA，在Rt△AOD中，由勾股定理求出OA.

【答案】D；

【解析】连OA，由垂径定理知，

所以在Rt△AOD中，（cm）．

所以DC＝OC－OD＝OA－OD＝5－4＝1（cm）.

【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。

举一反三：

【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】

【变式】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD 距离。

【答案】．

　2．如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（ ）

A．MP与RN的大小关系不定 B．MP＝RN C．MP＜RN D．MP＞RN

【答案】B；

【解析】比较线段MP与RN的大小关系，首先可通过测量猜测MP与RN相等，

而证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证△OMP≌△ONR，

如果联想到垂径定理，可过O作OE⊥MN于E，则ME＝NE，PE＝RE，

∴ ME－PE＝NE－RE，即MP＝RN．

【点评】在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”.

举一反三：

【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】

【变式】已知：如图，割线AC与圆O交于点B、C，割线AD过圆心O. 若圆O的半径是5，且，AD=13. 求弦BC的长.

【答案】6.

类型二、垂径定理的综合应用

　3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（ ）

A．5m B．8m C．7m D．m

【思路点拨】

解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题．

【答案】B；

【解析】如图2，表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为的中点，

CD⊥AB于D，CD表示拱高，O为的圆心，根据垂径定理的推论可知，

C、D、O三点共线，且OC平分AB．

在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，则OD2＝OA2－AD2＝132－122＝25．

∴ OD＝5，

∴ CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高为8m．

【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.

　4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【答案与解析】

如图，连接OC，

　　　设弯路的半径为R，则OF=(R-90)m，

　　　∵OE⊥CD，

　　　∴CF=CD=×600=300(m)，

　　　根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2

　　　即R2=3002+(R-90)2 ，解得R=545，

　　　∴这段弯路的半径为545m．

【点评】构造直角三角形，利用垂径定理、勾股定理，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题的数学方法一定要掌握．

举一反三：

【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．

　　　　　　　　　　　　

【答案】不需要采取紧急措施

　　　　 设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，

　　　　 R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324，

　　　　 解得R=34(m).

　　　　 连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16，

　　　　 342=162+(34-x)2，

　　　　 x2-68x+256=0，

　　　　 解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)，

　　　　 ∴DE=4m＞3m，

　　　　 ∴不需采取紧急措施．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a77c22410a4e767f5acfa1c7aa00b52acfc79cd9.html