华中师大一附中高三2010年五月适应性考试(文科数学A)试题

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华中师大一附中高三2010年五月适应性考试

数学试题（文史类）（试卷类型：A）

华师一附中高三 武汉市教育科学研究院联合命制

整理制作：青峰弦月

本试卷共6，满分150分，考试时间120分钟。

祝考试顺利

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．若集合, , 则

A． B． C． D．

2．设命题; 命题． 则是的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3．设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若，则展开式中的系数为

A．－150 B．150 C．－500 D．500

4．等差数列的前3项是，其前n项的和是，则的值是

A．84 B．85 C．86 D．87

5．已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是

A． B． C． D．

6．对于函数的极值情况，3位同学有下列看法：

甲：该函数必有2个极值；

乙：该函数的极大值必大于1；

丙：该函数的极小值必小于1；

这三种看法中，正确的的个数是

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，同时将纵坐标缩小到原来的倍，得到函数的图象．另一方面函数的图象也可以由函数的图象按向量平移得到，则可以是

A． B． C． D．

8．5个人站成一排，若甲乙两人之间恰有1人，则不同站法有

A．18种 B．24种 C．36种 D．48种

9．已知正数、满足等式，则

A．的最大值是4，且的最小值是4

B．的最小值是4，且的最大值是4

C．的最大值是4，且的最大值是4

D．的最小值是4，且的最小值是4

10．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，顶点S在底面内的射影O在正方形ABCD的内部（不在边上），且，为常数，设侧面与底面ABCD所成的二面角依次为，则下列各式为常数的是

① ②

③ ④

A．①② B．②④

C．②③ D．③④

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.

11．设函数的图象与函数的图象关于直线对称，若的解集是，则__________．

12．已知经过函数图象上一点处的切线与直线平行, 则函数=__________．

13．为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生

的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是__________．

14．是球面上三点，且，，，若球心到截面的距离为，则该球的表面积为 ．

15、设，是轴上一个动点，定点,当点在所表示的平面区域内运动时，设的最小值构成的集合为，则中最大的数是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，已知O为的外心，角A、B、C的对边，

且满足．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求的值．

17．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

某种项目的射击比赛，开始时射手在距离目标100处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标150m处，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标200m处，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知射手甲在100m处击中目标的概率为，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都相互独立．

（Ⅰ）求射手甲在三次射击中命中目标的概率；

（Ⅱ）求射手甲在比赛中的得分不少于1分的概率．

18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，在多面体中，上、下两个底面和互相平行，且都是正方形，底面，．

（Ⅰ）求异面直线与所成的角的余弦值；

（Ⅱ）已知是的中点，求证：平面；

（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，求二面角的余弦值．

19．（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效）

定义：若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图像上，其中为正整数．

（Ⅰ）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列．

（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前项之积为，即，求数列的通项公式及关于的表达式．

（Ⅲ）记，求数列的前项之和，并求使的的最小值．

20．（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知以为焦点的椭圆过点(，1)．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)过点(，0)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点? 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

21．(本小题满分14分) （注意：在试题卷上作答无效）

已知定义在R上的函数，为常数，且是函数的一个极值点．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函数，，求的单调区间；

（Ⅲ） 过点可作曲线的三条切线，求的取值范围．

华中师大一附中高三2010年五月适应性考试

数学试题（文史类）答案

（试卷类型：A）

一、选择题：（A卷）

1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．； 8．；9．；10．

一、选择题：(B卷)

1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．

二、填空题：

11．2； 12．； 13．； 14．； 15．．

三、解答题：

16．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）取AB、AC的中点E、F，则

………3分

同理；

所以。………5分

（Ⅱ）

……10分

17．（本小题满分12分）

解：记射手甲第一、二、三次射击命中目标分别为事件、、，三次均为击中目标为事件，则．

设射手甲在m处击中目标的概率为，则．

由m时，得，∴，．

∴．…………4分

（1）由于各次射击是相互独立的，所以射手甲在三次射击中击中目标的概率为

．………………8分

（2）射手甲在比赛中的得分不少于1分的概率为．…………12分

18．（本小题满分12分）

解法1：（Ⅰ）过，且，则为异面直线与所成的角．．……3分

（Ⅱ）∵为的中点,∴平面，

从而。……5分

∵，……6分

∴平面．………7分

（Ⅲ）由平面，得．

又由（2）平面，∴由三垂线定理得， ，∴是二面角的平面角．…………10分

∵，∴．即二面角的余弦值为．…………12分

解法2：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立直角坐标系．…2分

（Ⅰ）∵，，∴．……3分

（Ⅱ）∵，，．…………6分

∴∴平面．…………7分

（Ⅲ）由（2）知，为平面的一个法向量．

设为平面的一个法向量，则，．

由令．∴．……10分

∴，即二面角的余弦值为．…………12分

19．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由条件得：，.

，是“平方递推数列”.

由,且，

为等比数列．…………3分

（Ⅱ）

…………5分

， ……7分（Ⅲ），

．…………10分

由得.

当时，；当时，.

因此的最小值为1006．…………13分

20．（本小题满分14分）

解法一： (Ⅰ)设椭圆方程为，由已知。

又．

所以，椭圆C的方程是+ =1．…………4分

(Ⅱ)若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1, …………5分

若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是(x+)2+y2=．…………6分

由解得即两圆相切于点(1，０)．…………7分

因此所求的点T如果存在，只能是(1，0)．

事实上，点T(1，０)就是所求的点．证明如下：

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(1，0)．

若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k(x+)．

由即(k2+2)x2+k2x+k2-2=0．………………9分

记点A(x1,y1),B(x2,y2),则………………10分

又因为=(x1-1, y1), =(x2-1, y2),

·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+)(x2+)

=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+ k2+1

=(k2+1) +(k2-1) + +1=0，…………13分

所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T(1，0)．

所以在坐标平面上存在一个定点T(1，0)满足条件．…………14分

解法二：(Ⅰ)由已知，设椭圆C的方程是．

因为点P在椭圆C上，所以,解得，

所以椭圆C的方程是：．………………4分

(Ⅱ)假设存在定点T(u，v)满足条件．

同解法一得(k2+2)x2+k2x+k2-2=0．………………6分

记点A(x1,y1)，B(x2,y2),则…………7分

又因为=(x1-u, y1-v), =(x2-u, y2-v),及y1=k(x1+),y2=k(x2+)．

所以·=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v)

=(k2+1)x1x2+(k2-u-kv)(x1+x2)+ k2-v+u2+v2

=(k2+1) +(k2-u-kv)·+ -v + u2+v2，

=．…………10分

当且仅当·=０恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T．

·=０恒成立等价于解得u=1,v=0．此时，以AB为直径的圆恒过定点T(1，０)．……………………13分

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆亦过点T(1，０)．……13分

所以在坐标平面上存在一个定点T(1，O)满足条件．…………14分

解法三：(Ⅰ)同解法一或解法二．………………4分

(Ⅱ)设坐标平面上存在一个定点T满足条件，根据直线过x轴上的定点S及椭圆的对称性，所求的点T如果存在，只能在x轴上，设T(t，O)．……5分

同解法一得………………7分

又因为=(x1-t, y1), =(x2-t, y2),所以

·=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(x1-t)(x2-t)+k2(x1+)(x2+)

=(k2+1)x1x2+(k2-t)(x1+x2)+ k2+t 2

=(k2+1) +(k2-t) + +t2

=．…………………………10分

当且仅当·=O恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T．

·=O恒成立等价于解得t=1．

所以当t=1时,以AB为直径的圆恒过点T．……………………13分

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆亦过点T(1，O)．

所以在坐标平面上存在一个定点T(1，O)满足条件．………………14分

21．(本小题满分14分)

解：（Ⅰ），是函数的一个极值点，则

…………1分

又，函数在两侧的导数异号，…………2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

则，令，得.

…………4分

随的变化，与的变化如下：

…………6分

所以函数的单调增区间为和，单调减区间为．…………8分

(Ⅲ),设切点为，则切线的斜率为

，…………9分

整理得，依题意，方程有3个根. …………10分

设，则

令，得，则在区间上单调递增，在区间上单调递减. …………11分

因此，，解得.所以的取值范围为……14分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a3df857f27284b73f24250fc.html