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2014年北京市高考数学试卷(文科)-

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2014年北京市高考数学试卷（文科）


一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1．若集合A0,1,2,4,B1,2,3，则A∩B=（ ）

A．0,1,2,3,4
B．0,4
C．1,2
D．3
2．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）

A.yex
B.yx
C.ylnx
D.yx
3．已知向量a2,4,b1,1，则2ab=（ ）

A．5,7
B．5,9
C．3,7
D．3,9
4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．1 B．3 C．7 D．15
5．设a,b实数，则“ab”是“a2b2”的（ ）

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
）
6．已知函数f(x
A．(0,1
6log2x，在下列区间中，包含f(x零点的区间是（
xB．(1,2
22C．(2,4 D．(4,
7．已知圆C:x3y41和两点Am,0,Bm,0m0，若圆C上存第1页（共19页）



在点P，使得APB90，则m的最大值为（ ）

A．7
B．6
C．5
D．4
8．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系，如图记录了三次实验的数据，根据上述函pat2btc（a,b,c是常数）数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）



A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若xii12ixR，则x= 10．设双曲线C的两个焦点为2,0,为 ．
11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 ．
．
2,0，一个顶点是1,0，则C的方程
12．在ABC中，a1,b2,cosC
1，则C= ；sinA= 4 ．
第2页（共19页）


y113．若x,y满足xy10，则z3xy的最小值为 ．
xy1014．顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序 时间 原料 原料A 原料B
则最短交货期为


粗加工 精加工
9 6
15 21
个工作日．
三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．已知an是等差数列，满足 a13,a412，等比数列bn满足b14,b420． （1）求数列an和bn的通项公式； （2）求数列bn的前n项和．
16．函数fx3sin2x的部分图象如图所示．
6（Ⅰ）写出fx的最小正周期及图中x0,y0的值；
（Ⅱ）求fx 在区间,上的最大值和最小值．
212第3页（共19页）




17．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC,AA1AC2,BC1,E,F分别是AC11,BC的中点． （Ⅰ）求证：平面ABEB1BCC1； （Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE； （Ⅲ）求三棱锥EABC的体积．

18．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
排号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
分组 [0，2） [2，4） [4，6） [6，8） [8，10） [10，12） [12，14） [14，16） [16，18） 合计
频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100
（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
第4页（共19页）



（Ⅱ）求频率分布直方图中的a,b的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）

19．已知椭圆C:x22y24． （Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值． 20．已知函数f(x2x33x．
（Ⅰ）求fx在区间2,1上的最大值；
（Ⅱ）若过点P1,t存在3条直线与曲线yf(x相切，求t的取值范围； （Ⅲ）问过点A1,2,B2,10,C0,2分别存在几条直线与曲线yfx相切？（只需写出结论）


第5页（共19页）



2014年北京市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析


一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1．（2014•北京）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（ ） A．{0，1，2，3，4}
B．{0，4} C．{1，2} D．{3}
【分析】直接利用交集的运算得答案．
【解答】解：∵A={0，1，2，4}，B={1，2，3}， ∴A∩B={0，1，2，4}∩{1，2，3}={1，2}． 故选：C．


2．（2014•北京）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ A．y=e﹣x
B．y=x C．y=lnx D．y=|x|
）
【分析】根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论． 【解答】解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件． B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．
C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．
D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件． 故选：B．


3．（2014•北京）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（ ） A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）
【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案． 【解答】解：由=（2，4），=（﹣1，1），得：
2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）． 故选：A．
第6页（共19页）





4．（2014•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．1 B．3 C．7 D．15
【分析】算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值．
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值， ∵跳出循环的k值为3， ∴输出S=1+2+4=7． 故选：C．


5．（2014•北京）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．
【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；
反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件． 故选D


6．（2014•北京）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的第7页（共19页）



区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）
【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得． 【解答】解：∵f（x）=﹣log2x， ∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0， 满足f（2）f（4）＜0，
∴f（x）在区间（2，4）内必有零点， 故选：C


7．（2014•北京）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案． 【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1， ∵圆心C到O（0，0）的距离为5， ∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．
再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点， 可得PO=AB=m，故有m≤6， 故选：B．




第8页（共19页）


8．（2014•北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（
）

A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
【分析】由提供的数据，求出函数的解析式，由二次函数的图象与性质可得结论． 【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at2+bt+c，可得，
解得a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2， ∴p=﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t=﹣故选：B．


=3.75．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（2014•北京）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x= 2 ．
【分析】化简原式可得∴﹣1+xi=﹣1+2i，由复数相等的定义可得． 【解答】解：∵（x+i）i=﹣1+2i， ∴﹣1+xi=﹣1+2i， 由复数相等可得x=2 故答案为：2


10．（2014•北京）设双曲线C的两个焦点为（﹣（1，0），则C的方程为
x2﹣y2=1 ． ，0），（，0），（，0），一个顶点是【分析】利用双曲线C的两个焦点为（﹣
，0），一个顶点是（1，0），第9页（共19页）


可得c=，a=1，进而求出b，即可得出双曲线的方程．
，0），（，0），一个顶点是（1，【解答】解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣0）， ∴c=，a=1，
∴b=1，
∴C的方程为x2﹣y2=1． 故答案为：x2﹣y2=1．


11．（2014•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 2 ．

【分析】由主视图知CD⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD长及△ABC中变AC的高，利用勾股定理即可求出最长棱BD的长． 【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1； 由主视图知CD=2，由左视图知BE=1， 在Rt△BCE中，BC=在Rt△BCD中，BD=在Rt△ACD中，AD=2， ， ．
．
则三棱锥中最长棱的长为2故答案为：2．
第10页（共19页）






12．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= 2 ；sinA= ．
【分析】利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值． 【解答】解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=， ∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2； ∵cosC=，C为三角形内角， ∴sinC==，
∴由正弦定理故答案为：2；

=．
得：sinA===．
13．（2014•北京）若x，y满足，则z=x+y的最小值为 1 ．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
第11页（共19页）




化目标函数z=x+y为，
过C（0，1）时直线在y轴上的截距最小．
由图可知，当直线此时故答案为：1．


．
14．（2014•北京）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 工序 时间 原料 原料A 原料B
9 6
15 21 42 个工作日．
粗加工
精加工
则最短交货期为
【分析】先完成B的加工，再完成A的加工即可．
【解答】解：由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日． 故答案为：42．


三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过第12页（共19页）



程．
15．（2014•北京）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，等比数列{bn}满足b1=4，b4=20．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）求数列{bn}的前n项和．
【分析】（1）由等差数列的通项公式求出公差，由此能求出数列{an}的通项公式；由等比数列{bn}通项公式求出公比q，由此能求出数列{bn}的通项公式． （2）由等比数列{bn}的首项和公比能求出数列{bn}的前n项和． 【解答】解：（1）∵{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12， ∴3+3d=12，解得d=3， ∴an=3+（n﹣1）×3=3n．
∵等比数列{bn}满足b1=4，b4=20， ∴4q3=20，解得q=∴bn=4×（，
）n﹣1．
，
（2）∵等比数列{bn}中，∴数列{bn}的前n项和Sn=

=．
16．（2014•北京）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值； （Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．

第13页（共19页）



【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．
），
，﹣]【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+∴f（x）的最小正周期T==π，
；
可知y0为函数的最大值3，x0=（Ⅱ）∵x∈[﹣∴2x+∴当2x+当2x+

，﹣，0]，
]，
∈[﹣=0，即x==，即x=﹣时，f（x）取最大值0， 时，f（x）取最小值﹣3
17．（2014•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点． （Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1； （Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE； （Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．

【分析】（Ⅰ）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；
（Ⅱ）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG； （Ⅲ）利用VE﹣ABC=，可求三棱锥E﹣ABC的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面， ∴BB1⊥AB，
第14页（共19页）



∵AB⊥BC，BB1∩BC=B， ∴AB⊥平面B1BCC1， ∵AB⊂平面ABE， ∴平面ABE⊥B1BCC1；

（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则， ∵F是BC的中点， ∴FG∥AC，FG=AC， ∵E是A1C1的中点， ∴FG∥EC1，FG=EC1，
∴四边形FGEC1为平行四边形， ∴C1F∥EG，
∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE， ∴C1F∥平面ABE；

（Ⅲ）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC， ∴AB=，
==．
∴VE﹣ABC=


18．（2014•北京）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： 排号
分组
频数
第15页（共19页）



1 2 3 4 5 6 7 8 9
[0，2） [2，4） [4，6） [6，8） [8，10）
6 8 17 22 25
[10，12） 12 [12，14） [14，16） [16，18） 合计
6 2 2 100
（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）

【分析】（Ⅰ）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=求频率；
求a、b的值；
（Ⅱ）根据小矩形的高=（Ⅲ）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90，
∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为
=0.9；
第16页（共19页）


（Ⅱ）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为17，∴频率为0.17，∴a=0.085； 数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；
（Ⅲ）数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时），
∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．


19．（2014•北京）已知椭圆C：x2+2y2=4． （Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
【分析】（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为椭圆C的离心率；
（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值． 【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为∴a=2，b=，c=，
；
，
，求出a，c，即可求∴椭圆C的离心率e==（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则 ∵OA⊥OB，
∴=0，
，
∴tx0+2y0=0，∴t=﹣∵，
22∴|AB|2=（x0﹣t）+（y0﹣2）=（x0+22）+（y0﹣2）=x02+y02++4=x02+++4=+4（0＜x02≤4），
第17页（共19页）



因为以|AB|2≥8．
≥4（0＜x02≤4），当且仅当，即x02=4时等号成立，所∴线段AB长度的最小值为2

．
20．（2014•北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x． （Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；
（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围； （Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）
【分析】（Ⅰ）利用导数求得极值点比较f（﹣2），f（﹣的大小即得结论；
（Ⅱ）利用导数的几何意义得出切线方程4﹣6+t+3=0，设（gx）=4x3﹣6x2+t+3，），f（），f（1）则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，
等价于“g（x）有3个不同的零点”．利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论写出即可．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3， 令f′（x）=0得，x=﹣∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣或x=）=， ，f（）=﹣．
，f（1）=﹣1，
∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为
（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0）， 则y0=2﹣3x0，且切线斜率为k=6﹣3，
∴切线方程为y﹣y0=（6∴t﹣y0=（6即4
﹣3）（x﹣x0），
﹣3）（1﹣x0）， +t+3=0，
第18页（共19页）
﹣6

设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，
则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．
∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1）， ∴g（x）与g′（x）变化情况如下：


x g′（x） g（x）
（﹣∞，0）
+ ↗


0 0 t+3

（0，1） ﹣ ↘


1 0 t+1
（1，+∞）
+ ↗
∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．
当g（0）=t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．
当g（1）=t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．
当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）=t﹣7＜0，g（2）=t+11＞0，
∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，
故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．
综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．
（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切； 过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切； 过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．
第19页（共19页）


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a349d6b6d4bbfd0a79563c1ec5da50e2534dd155.html

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