八年级数学上册第三章图形的平移与旋转教案北师大版

第三章 图形的平移与旋转

1.生活中的平移

§3.1 生活中的平移

知识与技能目标：

1.平移的定义

2.平移的基本性质

过程与方法目标：

1.通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵.

2.探索平移的基本性质，理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等，对应线段和对应角分别相等的性质.

情感态度与价值观目标：

经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程，经历探索图形平移的基本性质的过程以及与他人合作交流的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识。

教学重点

平移的基本性质.

教学难点

平移的基本内涵的理解.

教学方法

探索、发现法.

教具准备

图片：一些游乐园的图片、辘轳、电梯等.

电脑演示：平移的过程，粒子运动及行星运转等.

投影片四张:

第一张：想一想，议一议(记作投影片§3.1 A)；

第二张：想一想(记作投影片§3.1 B)；

第三张：平移的性质(记作投影片§3.1 C)；

第四张：例1(记作投影片§3.1 D).

教学过程

Ⅰ.巧设情景问题，引入课题

［师］同学们，还记得游乐园内的一些项目吗？(或投影片放图片，或在电脑上演示幻灯片)：旋转木马、荡秋千、小火车、滑梯……它们曾经使我们许多人乐而忘返.不过，你想过没有：小火车在笔直的铁轨上开动时，火车头走了200米，那车尾走了多少米呢？

［生齐］也走了200米.

［师］很好.其实，数学就在我们身边，它有很多规律等待我们去探索，去发现！无论是年代久远的老牛上的辘轳(出示图片)；还是刚刚耸立起的高楼大厦里的电梯，(出示图片)，无论是微观世界里的粒子运动(电脑演示)，还是浩翰宇宙中的行星运转(电脑演示).其中最简捷的运动变化形式主要是平移和旋转，让我们走进图形变换的天地，继续探索图形变换的奥秘吧！

从今天开始，我们就来探索第三章：图形的平移和旋转.

Ⅱ.讲授新课

［师］下面我们来看第一节：生活中的平移(电脑演示：P57的图3—1，然后提出问题)

(1)图3—1中，传送带上的电视机的形状、大小在运动前后是否发生了变化？手扶电梯上的人呢？

［生齐］传送带上的电视机的形状、大小在运动前后没有发生改变.

手扶电梯上的人也没有变化.

［师］很好，我们再看(电脑演示)：

在传送带上，如果电视机的某一按键向前移动了80 cm，那么电视机的其他部位向什么方向移动？移动了多少距离？

［生］电视机的其他部位也向前移动，也移动了80 cm.

［师］好，(电脑出示问题，并演示四边形ABCD移动到四边形EFGH的位置的过程)

如果把移动前后的同一台电视机的屏幕分别记为四边形ABCD和四边形EFGH(如下图)，那么四边形ABCD与四边形EFGH的形状、大小是否相同？

［生］四边形ABCD与四边形EFGH的形状、大小相同.

［师］很好，那同学们来想一想，议一议(出示投影片§3.1A).

(学生讨论、发现、归纳结论)

［生］在传送电视机的过程中，电视机的形状、大小没有变化，它的位置发生了变化.

手扶电梯上的人也是位置发生了变化，人没有变化.

［师］很好，在电视机生产车间传输带运送电视机的过程中，对同一台电视机而言，不同时间的位置之间是相互平移的关系；人在电梯上两个不同时刻之间的位置关系也是平移.

那么，什么是平移呢？

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移(translation).

注意：“将一个图形沿某个方向移动一定的距离”，意味着“图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离”.

那大家想一想：平移有什么特征呢？

［生甲］平移不改变图形的形状和大小.

［生乙］平移改变图形的位置.

［师］很好，如一本书(演示)从书桌的一边平移到另一边，书的大小、形状没有改变，只是它的位置有所变化.

如图(P57的图3—2)，点A、B、C、D分别平移到了点E、F、G、H；点A与点E，点B与点F，点C与点G，点D与点H分别是一对对应点，AB与EF是一对对应线段；∠BAD与∠FEH是一对对应角.

那么同学们想一想，议一议(出示投影片§3.1 B)

［生丙］四边形EFGH是由四边形ABCD平移得到的，由演示可知：线段AE、BF、CG、DH是互相平行的，并且这四条线段又相等.

［生丁］图中相等的线段：AB=EF、BC=FG、CD=GH、AD=EH、AE=BF=CG=DH.

∠ABC=∠EFG、∠BCD=∠FGH

∠BAD=∠FEH、∠ADC=∠EHG

［生戊］∠ABC=∠ADC、∠BAD=∠BCD、∠HEF=HGF、∠EFG=∠EHG

［师］戊同学指出的这四对角是相等的，但它们是否是由平移所产生的呢？

［生己］不是，它们是图形本身所具有的.

［师］很好，同学们回答了前两个问题，那第3个问题呢？

［生庚］图形经过平移后，只是位置发生变化，即图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离，而线段的长短、角的大小没有发生变化.

［生辛］经过平移，对应线段，对应角分别相等，对应点的连线是平行的，并且相等.

［师］同学们总结得很好，由此我们得到了平移的基本性质：(出示投影片§3.1 C)

下面我们来看一例题以熟悉掌握平移的基本性质(出示投影片§3.1 D)

分析：因为△CDF是由△ABE平移得到的，所以要找图中平行且相等的线段，根据平移的基本性质，需找出平移前后图形的对应点；要找出一组全等三角形，可根据平移的特征：“平移不改变图形的形状和大小”得到.

解：如图，点A、B、E的对应点分别为点C、D、F，因为经过平移，对应点所连的线段平行且相等，所以：

AC∥BD∥EF，AC=BD=EF.

平移不改变图表的形状和大小，所以：

△ABE≌△CDF.

［师］接下来，通过练习进一步熟悉掌握平移的定义及基本性质.

Ⅲ.课堂练习

(一)课本P59随堂练习

1.如图，∠DEF是∠ABC经过平移得到的，∠ABC=33°，求∠DEF的度数.

解：因为∠DEF是∠ABC经过平移得到的，所以∠DEF与∠ABC是对应角，根据平移的基本性质：“经过平移，对应角相等”则

∠DEF=∠ABC=33°.

2.在下面的六幅图案中，(2)、(3)、(4)、(5)、(6)中的哪个图案可以通过平移图案(1)得到？

(图略，课本P59)

答：图案(3)可以通过图案(1)平移得到.

(二)试一试

1.下面是我们曾经欣赏过的一个图案，它是由若干个两种颜色的小鱼形状的图案拼成的，你能用平移分析这个图案是如何形成的吗？

(图略：图为课本P67)

答案：在同一行里，同种颜色的小鱼图案彼此之间是平移关系.

(三)看课本P57~P58，然后小结

Ⅳ.课后小结

本节课我们通过具体的实例，认识了平移，理解了平移的基本内涵，并探索了平移的基本性质.

平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离.

平移前后两个图形对应点连线平行并且相等，对应线段和对应角分别相等.

Ⅴ.课后作业

(一)课本P59习题2.1 1、2、3

(二)1.预习内容：P61~P62

2.预习提纲：

(1)如何按要求作出简单平面图形平移后的图形.

(2)确定一个图形平移后的位置的条件有哪些？

Ⅳ.活动与探究

1.如图1是10枚硬币摆成的三角形，现在只许你移动3枚硬币，使图1中变成图2的倒三角形，请你移移看.

图1 图2

过程：让学生动手拼摆，来培养学生的动手、动脑能力.

结果：平移如下：

(还有其他方法平移，略)

2.依萨克·牛顿是举世闻名的物理学家，数学家，他曾以诗歌的形式提出一个数学问题：要栽九棵树，请你来帮忙，每行栽三棵，恰好成十行.请同学们帮他画出示意图.

过程：让学生充分发挥本领，积极行动起来，解决这个“九树栽十行”问题.

结果：如图所示

板书设计

§3.2.1 简单的平移作图(一)

知识与技能目标：

1.简单的平移作图.

2.确定一个图形平移后的位置的条件.

过程与方法目标：

1.经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，掌握有关画图的操作技能，发展初步的审美能力.

2.能按要求作出简单平面图形平移后的图形.

情感态度与价值观目标：

经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，增强学生对图形美欣赏的意识，培养其审美观念.

教学重点

能按要求作出简单平面图形平移后的图形.

教学难点

简单平面图形平移后的图形的作法.

教学方法

讲、练结合法.

教具准备

投影片五张：

第一张：引例(记作投影片§3.2.1 A);

第二张：例1(记作投影片§3.2.1 B);

第三张：想一想(记作投影片§3.2.1 C);

第四张：想一想(记作投影片§3.2.1 D);

第五张：例2(记作投影片§3.2.1 E).

教学过程

Ⅰ.巧设情景问题，引入课题

［师］通过上节课的学习，我们知道了生活中的许多现象属于平移，哪位同学能说一下什么是平移呢？平移的基本性质是什么？

［生］在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小.

平移的基本性质是：

经过平移，对应线段，对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等.

［师］很好，了解了平移的涵义及其基本性质后，能否把一些简单的平面图形进行平移呢？我们这节课就来研究：简单的平移作图.

Ⅱ.讲授新课

［师］下面来看大屏幕(出示投影片§3.2.1 A)

［生甲］因为经过平移，线段AB的端点A移到了点D，所以点A与点D是对应点；又因为对应点所连的线段平行且相等，所以连结AD，然后过点B作线段BC与线段AD平行且相等，最后连结CD，则线段CD就是线段AB平移后的图形.

［生乙］因为平移不改变图形的形状和大小，所以在作线段AB平移后的图形时，可过点D作DC∥AB，且DC=AB，则线段DC就是线段AB平移后的图形.

［师］很好，这个题实际是平移的基本性质的直接应用.由此可知：按要求进行平移一些简单的平面图形时，一般都是应用平移的基本性质进行的.

下面我们通过例题来进一步说明如何平移一些简单的平面图形.

(出示投影片§3.2.1 B)

分析：设顶点B、C分别平移到了点E、F，根据“经过平移，对应点所连的线段平行

且相等”，可知线段BE、CF与AD平行且相等.

注意：作图时可用尺规进行作图，也可用三角板与直尺进行作图.

解：如上图，过点B、C分别作线段BE、CF，使得它们与线段AD平行并且相等，连结DE、DF、EF，则△DEF就是△ABC平移后的图形.

［师］同学们想一想，议一议(出示投影片§3.2.1 C)

(1)本题还有没有其他方法作出如图所示的△DEF呢？

［生甲］过点D分别作出与AB、AC平行且相等的线段DE、DF，连接EF，则△DEF就是所要求作的三角形.

［生乙］过点B作BE∥AD且BE=AD，然后分别以D、E为圆心，以线段AC、BC的长为半径画弧 ，两弧交于F点，连结EF、DF，则△DEF就是所要求作的三角形.

……

［师］同学们找到了“△ ABC平移后的图形△DEF的其他作法”.很好，现在“大家来想一想，分组讨论.

(出示投影片§3.2.1 D)

［生甲］确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要平移的距离.

［生乙］还需要方向，要弄清一个图形是往左平移还是往右平移，是往上平移，还是往下平移.

［师］完全正确，这就是确定一个图形平移后的位置的条件：

(1)图形原来所在的位置.

(2)图形平移的方向.

(3)图形平移的距离.

接下来我们来平移一个图形(出示投影片§3.2.1 E)

［师生共析］平移字母A的条件：字母A的位置，平移的方向——箭头所指，平移的距离——3 cm，三个条件都具备，所以可以确定字母A平移后的位置.那如何作图呢？一般情况下，画图时，先确定点，然后就可以作出所要求的图形.因此本题可以在原图形上找几个能反映本图形的关键的点，根据“经过平移对应点所连的线段平行且相等”，确定出这几个关键点的对应点，然后按原来的方式连接，即可得到字母A平移后的图形.

解：在字母A上，找出关键的5个点(如图所示)，分别过这5个点按箭头所指的方向作5条长3 cm的线段，将所作线段的另5个端点按原来的方式连接，即可得到字母A平移后的图形.

［师］在这个例题的解题过程中，通过确定几个关键点平移后的位置，得到字母A平移后的图形，这是一种“以局部带整体”的平移作图方法，同学们要掌握.

下面通过练习来熟悉这种“以局部带整体”的平移作图方法.

Ⅲ.课堂练习

(一)课本P62随堂练习.

1.将图中的字母沿水平方向向右平移3 cm，作出平移后的图形.

解：在字母N上，找出关键的4个点(如右图)，分别过这4个点沿水平方向向右作4条长3 cm的线段，将所作的线段的另4个端点按原来的方式连接，即得到字母N平移后的图形.

(二)试一试

1.图中的窗棂轮廓是由一个半圆和一个矩形组成的，试作出这个图案向左平移6格后的图案.

解：分别确定矩形的四个顶点，半圆的圆心、半圆与斜线的两个交点向左平移6格后的位置(如上图)，画半圆(以“圆心”平移后的位置为圆心，以6个格的长为直径)，连线即可得到窗棂轮廓向左平移6格后的图形.

(三)看课本P61~P62，然后小结

Ⅳ.课时小结

本节课通过平移作图进一步熟悉理解了平移的基本性质，并能应用平移性质作出一些简单平面图形平移后的图形，了解了“以局部带整体”的平移作图方法.

Ⅴ.课后作业

(一)课本P63习题3、2 1、2、3.

(二)1.预习内容P41.

2.预习提纲.

探索图形之间的平移关系.

Ⅵ.活动与探究

1.画六边形.

不用计算，请在一个已知的正六边形内画一个面积等于原正六边形面积九分之一的小正六边形.

过程：让学生分析、尝试后，进行画图.

结果：如下图，中间的正六边形为所求的图形.

2.添棋子

图中共有16枚棋子，这16枚棋子组成6行，每行4枚棋子.现在请你在图中再添上4枚棋子，使这些棋子共组成18行，每行仍有4枚棋子，你会添吗？

过程：同样让学生动脑、动手，培养学生的灵活思维能力.

结果：如下图

板书设计

§3.2.2 简单的平移作图(二)

知识与技能目标：

图形之间的平移关系.

过程与方法目标：

1.经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作等过程，发展学生的审美能力.

2.能够探索图形之间的平移关系.

情感态度与价值观目标：

1.通过学生对图形的观察、分析、欣赏，以及亲手拼摆等过程，培养学生对图形欣赏的意识.

2.在探索图形之间的平移关系的过程中，使学生认识和欣赏平移在现实生活中的应用.

教学重点

探索图形之间的平移关系.

教学难点

探索图形之间的平移关系.

教学方法

探索、发现法.

教具准备

电脑演示图片，平移图形的过程.

投影片三张：

第一张：(记作投影片§3.2.2 A)；

第二张：做一做(记作投影片§3.2.2 B)；

第三张：议一议(记作投影片§3.2.2 C)；

正六边形的纸片数百张.

教学过程

Ⅰ.巧设情景问题，引入课题

［师］生活中经常见到一些美丽的图案(出示投影，放图片：课本P41~P42的图；也可另外找一些平移图形的图案)，这些图案都是由基本图形平移组成的，那么怎样平移基本图形就能得到美丽的图案呢？这节课我们就来探索一些图案中的图形之间的平移关系.

Ⅱ.讲授新课

［师］现在大家来看图案1(出示投影图片：课本P41的第一幅)；观察图案，并回答.(出示投影片§3.2.2 A)

(1)这个图案有什么特点？

(2)它可以通过什么“基本图案”经过怎样的平移而形成？

(3)在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化？你能解释其中的道理吗？

［生甲］(1)图案中的六条小狗的形状、大小完全一样，只是它们所处的位置不同，由此可知：这个图案可以通过平移“基本图案”得到.

［生乙］(2)这个图案可把“一只小狗”看做“基本图案”，通过上下、左右平移得到，平移的距离等于左右相邻(或上下)两只小狗之间的水平距离(或垂直距离).

［生丙］这个图案还可把中间上下的“两只小狗”看做“基本图案”，通过向左、向右平移得到，平移的距离等于左右相邻两只小狗之间的水平距离.

［生丁］这个图案也可把最左边的上下的“两只小狗”或最左边上下的“两只小狗”看成“基本图案”，通过向右(或向左)依次平移得到，平移的距离等于图案中的左右相邻两只小狗的水平距离.

［生戊］这个图案也可把水平的“三只小狗”看成是“基本图案”，通过向下(或向上)平移得到，平移的距离等于上下垂直的两只小狗的垂直距离.

［师］同学们讨论得非常精彩，(边叙述边在电脑上演示平移过程)，这个图案既可以把一只小狗看做“基本图案”进行平移得到，又可以把两只小狗、三只小狗看做“基本图案”进行平移得到整个图案，在这些平移过程中，只是平移的距离不同而已.

接下来，大家想一想第(3)问.

［生己］在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状没有发生变化，只是位置有所改变.因为平移不改变图形的形状、大小，而改变图形的位置.

［师］很好，大家看屏幕(用电脑动画再次演示平移过程).从平移的过程中，进一步说明了平移的特征：平移不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置.

了解了平移的特征后，大家分组来动手做一做.(出示投影片§3.2.2 B)

在下图中，左图是一个正六边形，它经过怎样的平移能得到右图？自己动手做做看，你能得到右图的图案吗？

(学生分组后，教师把预先剪好的大小相同的正六边形分发下来，让学生进行实际拼摆，老师巡视指导)

［生］我把一个正六边形经过连续平移，就可以得到右图的图案.

［师］同学们通过拼摆，进一步理解了平移的基本内涵，接下来大家想一想，与同伴议一议下面的两个图案(出示投影片§3.2.2 C).

［生甲］(1)先把左图沿上下方向平移，再沿左右方向平移便可得到右图.

［生乙］也可先把左图沿左右方向平移，再沿上下方向平移得到右图.

［生丙］(2)不考虑图案颜色的情况下，可以把“一只天鹅”看成“基本图案”，通过平移可以得到如图所示的图案.

［生丁］如果把相邻的两只不同色的天鹅看做一个组合，那么“基本图案”可以是一个组合，两个组合……，直到所有的天鹅.

［生戊］如果不考虑颜色时，可以把同一行的天鹅看做是“基本图案”，通过上下平移就可得到如图所示的图案.

［生己］如果不考虑颜色时，也可以把同一列的三只天鹅看做“基本图案”，通过左右平移就可以得到如图所示的图案.

［师］很好，这是一个通过平移得到的复合图案，图案的许多部分可以通过平移而相互得到。接下来我们通过练习进一步熟悉图形之间的平移关系.

Ⅲ.课堂练习

(一)课本P65随堂练习

1.分析奥运五环旗图案形成的过程(不考虑图案的颜色)

解：在不考虑图案颜色的情况下，五个环之间可以通过平移而相互得到.

2.如图，在正六边形中剪去一个与其边长相同的正三角形，并将其平移到左边，形成一个新的图案.用这个图案能否得到类似于图3—9右图的图案呢？与同伴交流.

解：可以得到类似于图3—9右图的图案.如下图.

(二)看课本P64~P65,然后小结.

Ⅳ.课时小结

本节课我们探索了图案中图形之间的平移关系，了解了每个图案由于“基本图案”选取的不一样，则平移关系也不一样，尤其是一些复合图案，它的许多部分可以通过平移而相互得到.

Ⅴ.课后作业

(一)课本P65习题3.3 1、2

(二)1.预习内容P66~P67.

2.预习提纲：

(1)旋转的定义.

(2)旋转的基本性质.

Ⅵ.活动与探究

有两个都是由十四个小方块组成的图形，你能不能沿着分格线把它们分别剪开成七块由相邻两个小方块(按水平方向或垂直方向)组成的矩形？

如果行，就请你剪剪看.如果不行，你能不能讲清楚其中的道理？

过程：通过本题的活动——剪切，培养学生的动手能力和初步的说理能力.

结果：可以把左边的图形用好几种方法剪成七个符合题意的矩形，但对于右边的图形，不论你怎样剪都剪不出七个符合题意的矩形.

什么道理呢？

让我们来分析一下：

分别将这两个图形中的十四个小方块按黑白相同的原则加以涂色，那么，按题目要求所剪成的七块矩形必定都是由一块黑色小方块和一块白色小方块所组成.由于左边的图形是由七块黑色小方块与七块白色小方块连成一个整体所组成，因此它可以剪出七个符合题意要求的矩形，而右边的图形中黑、白小方块的数目不相等，所以无论怎样剪都剪不出七个符合要求的矩形.

板书设计

§3.3 生活中的旋转

知识与技能目标：

1.旋转的定义.

2.旋转的基本性质.

过程与方法目标：

1.通过具体实例认识旋转，理解旋转的基本涵义.

2.探索旋转的基本性质，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质.

情感态度与价值观目标：

1.经历对生活中与旋转现象有关的图形进行观察、分析、欣赏以及动手操作、画图等过程，掌握有关画图的操作技能，发展初步的审美能力，增强对图形欣赏的意识.

2.通过学习使学生能用数学的眼光看待生活中的有关问题，进一步发展学生的数学观.

教学重点

旋转的基本性质.

教学难点

探索旋转的基本性质.

教学方法

探索、发现法.

教具准备

电脑演示或图片.

投影片四张：

第一张：想一想(记作投影片§3.3 A)；

第二张：议一议(记作投影片§3.3 B)；

第三张：性质(记作投影片§3.3 C)；

第四张：例1(记作投影片§3.3 D).

教学过程

Ⅰ.巧设情景问题，引入课题

［师］日常生活中，我们经常见到以下情景(出示图示：钟表、汽车方向盘、辘轳或电脑演示：钟表指针的转动、汽车方向盘的转动、辘轳打水的情景).

大家想一想：(出示投影片§3.3 A)

［生甲］在这些转动的现象中，它们都是绕着一个点转动的.

［生乙］每个物体的转动都是向同一个方向转动.

［生丙］钟表的指针、钟摆在转动过程中，它的形状、大小没有变化，只是它的位置有所改变.

汽车的方向盘在转动过程中，同样它的形状、大小没有改变，方向盘上的每点的位置有所变化.

［师］同学们观察得很仔细，我们把这样的转动叫旋转(circumrotate)，这节课我们就来探讨生活中的旋转.

Ⅱ.讲授新课

［师］在数学中，如何定义旋转呢？

在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转(circumrotate).这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.

注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度.

在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变.因此，旋转具有不改变图形的大小和形状的特征.

好，了解了旋转的基本概念后，我们来看一钟表的指针的旋转情况(出示投影片§3.3 B)，大家分组讨论.

［生甲］(1)旋转中心是O点，旋转角是∠AOD.

［生乙］旋转角还可以是∠BOE.

［生丙］(2)四边形AOBC绕O点旋转到四边形DOEF的位置.这时点A旋转到点D的位置，点B旋转到点E的位置.

［生丁］(3)可以把OA看作钟表的指针，它OA的位置旋转到OD的位置，指针的长短、形状没有变化，所以OA与OD是相等的.

同样，线段OB与OE是相等的.

［生戊］(4)因为四边形AOBC绕O点旋转到四边形DOEF的位置，在旋转的过程中，图形上的每个点同时都按相同的方向旋转相同的角度，所以∠AOD与∠BOE是相等的.

［生己］(4)也可以这样理解：因为四边形AOBC绕O点旋转到四边形DOEF的位置，所以∠AOB与∠DOE是相等的，又因为∠BOD是公共角，所以，∠AOD与∠BOE是相等的.

［师］同学们讨论得非常精彩，也合乎逻辑，看上图，四边形DOEF是由四边形AOBC绕O点旋转得到的，经过旋转，点A移动到点D的位置，点B移动到点E的位置，点C移动到点F的位置，则点A与点D、点B与点E、点C与点F就是对应点.

从刚才大家得出的结论中，能否总结出旋转的性质呢？

［生甲］因为O是旋转中心，点A与点D是对应点，点B与点E是对应点，且OA=OD，OB=OE，所以可以知道：对应点与旋转中心所连的线段的长度是相等的.

［生乙］因为点A与点D、点B与点E是对应点，且∠AOD=∠BOE，所以由此可以知道：对应点与旋转中心的连线所成的角是互相相等的.

［师］同学们总结得很好，由此我们得到了旋转的基本性质(出示投影片§3.3 C)

［师］好，下面我们通过一例题来熟悉旋转的有关性质的应用(出示投影片§3.3 D)

［师］大家可以画图表示；有的同学带表的话可以观察观察.

［师生共析］经演示(钟表实物或教具)可以知道，分针是绕着表面盘的中心位置，即钟表的轴心旋转的，它旋转一周时的度数是360°,一周需要60分，因此每分钟分针所转过的度数是6°，这样20分时，分针逆转的角度即可求出.

解：(1)它的旋转中心是钟表的轴心.

(2)分针匀速旋转一周需要60分，因此旋转20分，分针旋转的角度为word/media/image29_1.png×20= 120°.

［师］同学们通过熟悉的钟表，了解了旋转性质的应用.接下来我们拿出剪刀、白纸和图钉来做一做(出示投影片§3.3 E)

(学生动手制作，教师巡视指导)

［生甲］这个图案可以看做是正方形ABCD绕点O旋转45°前后的图形共同组成的，也可以看做是正方形EFGH绕点O旋转45°前后的图形共同组成的.

［生乙］我剪了一个三角形A′B′C′与三角形ABC全等，找出△A′B′C′的边 A′C′的中点，即图案中的O点，把△A′B′C′绕O点分别旋转45°、90°、135°、180°、225°，则前后所有图形共同组成了一个新图案，而这个新图案与原图案(即如图所示的图案)能够完全重合，因此，如图所示的图案可以看做是△ABC绕点O分别旋转45°、90°、135°、180°、225°前后所有图形共同组成的.

［生丙］老师，我也剪了一个三角形A′O′B′与三角形AOB全等，然后把 △A′O′B′绕O′点分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°，前后所有的图形共同组成了一个新图案，而这个新图案同样与原图案完全重合.因此，如图所示的图案可能看做是△AOB绕点O分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、 315°前后所有图形共同组成的.

［生丁］老师，我剪了一个与正方形AQOP完全重合的正方形A′Q′O′P′，然后把正方形A′Q′O′P′绕点O′分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、 315°，前后所有的图形共同组成了一个新图案，而这个新图案与原图案完全重合，因此，如图所示的图案可以看做是正方形AQOP绕点O分别旋转45°、90°、135°、180°、 225°、270°、315°前后所有图形共同组成的.

［师］同学们做得真棒，通过动手操作、分析，找到了不同的“基本图案”，由这些不同的“基本图案”经过旋转得到了如上图所示的美丽的图案.

下面我们做练习来进一步熟悉旋转的有关性质.

Ⅲ.课堂练习

(一)课本P68随堂练习.

1.下图可以看做是一个菱形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？

解：旋转5次得到，旋转的角度分别等于60°、120°、180°、240°、300°.

(二)看课本P66~P67然后小结

Ⅳ.课时小结

这节课我们通过具体的实例认识了旋转，并由此探讨了旋转的基本性质.

旋转不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度.

旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等.

Ⅴ.课后作业

(一)课本P68习题3.4 1、2、3.

(二)(1)预习内容P69~P70

(2)预习提纲.

①如何进行做一个图形关于某个点的旋转图形.

②确定一个三角形旋转后的位置的条件有哪些？

Ⅵ.活动与探究

1.分析图中的旋转现象.

过程：让学生画图、找规律，也可让他们通过剪切，找到旋转规律.

结果：旋转现象为：

整个图形可以看做是图形的八分之一(一组大小不等的三个“角”)绕中心位置，按照同一方向连续旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°前后的图形共同组成的.

整个图形也可以看做是图形的四分之一(两组相邻的“角”)绕中心位置连续旋转90°、180°、270°前后的图形共同组成的.

整个图形还可以看做是图形的二分之一(四组相邻的“角”)绕中心位置旋转180°前后的图形共同组成的.

2.图中是否存在这样的两个三角形，其中一个是另一个通过旋转得到的？

过程：同样让学生在画图过程中体会图形中每个三角形之间的关系；或让学生仔细观察图形，分析图形，找出关系.

结果：图中存在这样的三角形，其中一个是另一个通过旋转得到的.

整个图形可以看做图形的四分之一(一组“楼梯”)绕中心连续旋转90°、180°、 270°.前后的图形共同组成的.

整个图形也可以看做图形的二分之一(两组“楼梯”)绕中心位置旋转180°前后的图形共同组成的.

板书设计

§3.4 简单的旋转作图

知识与技能目标：

1.简单平面图形旋转后的图形的作法.

2.确定一个三角形旋转后的位置的条件.

过程与方法目标：

1.经历对具有旋转特征的图形进行观察、分析、画图和动手操作等过程，掌握画图技能.

2.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形.

情感态度与价值观目标：

1.通过画图，进一步培养学生的动手操作能力.

2.在对具有旋转特征的图形进行观察、分析、画图过程中，进一步发展学生的审美观念.

教学重点

简单平面图形旋转后的图形的作法.

教学难点

简单平面图形旋转后的图形的作法.

教学方法

讲、议、练相结合法.

教具准备

教师给学生每人印发一张如图3—16的图案的方格纸.自制一面小旗子.

直尺、圆规.

投影片三张：

第一张：引例(记作投影片§3.4 A)；

第二张：例1(记作投影片§3.4 B)；

第三张：想一想(记作投影片§3.4 C).

教学过程

Ⅰ.巧设情景问题，引入课题

［师］上节课我们探讨了生活中的旋转，那什么样的运动是旋转呢？

［生］在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.

旋转不改变图形的大小和形状.

［师］很好，旋转有什么性质呢？

［生］旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角，旋转角彼此相等.

［师］很好，大家来看一面小旗子(出示小旗子，然后一边演示一边叙述)，把这面小旗子绕旗杆底端旋转90°后，这时小旗子的位置发生了变化，形成了新的图案，你能把这时的图案画出来吗？看大屏幕(出示投影片§3.4 A)

然后在教师发的纸上画图(教师给每位同学发一张如上图所示的方格纸)

(学生观察、分析、动手画图).

［师］同学们画好了吗？哪位同学给大家说说你如何画出来的？

［生］我在原图上找了四个点，即O点、A点、B点、C点，如图(教师把该生所画的图在投影上放影)这四个点可以是能表示这面小旗子的关键点.因为旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所组成的旋转角彼此相等，所以根据已知：要把这面小旗绕O点按顺时针旋转90°.我在方格中找到点A、B、C的对应点A′、B′、C′，然后连接，就得到了所求作的图形.

［师］这位同学描述得很好，作出的图案也很漂亮.同学们在作图过程中，基本掌握了作图的一个要点：找图形的关键点，这很让老师为大家高兴.

这面小旗子是结构简单的平面图形，在方格纸上大家能画出它绕点旋转后的图形，那么在没有方格纸或旋转角不是特殊角的情况下，能否也画出简单平面图形旋转后的图形呢？

这节课我们就来研究：简单的旋转作图.

Ⅱ.讲授新课

［师］我们通过一例题来说明简单图形旋转后的图形的作法，看大屏幕(出示投影片§3.4 B)

分析：一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设已经把所求作的图形作出来，然后再根据性质，确定如何操作.

假设顶点B、C的对应点分别为点E、点F，则∠BOE、∠COF、∠AOD都是旋转角. △DEF就是△ABC绕点O旋转后的三角形.根据旋转的性质知道：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，即旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等，则∠BOE=∠COF=∠AOD，OE=OB，OF=OC，这样即可求作出旋转后的图形.

［师］通过分析知道如何作出△DEF，现在大家拿出直尺和圆规，我们共同来把这一旋转后的图形作出来，要注意把痕迹保留下来.

(教师一边叙述，板书作法，一边强调正确使用直尺、圆规，同时作图；学生作图)

解：(1)连接OA、OD、OB、OC.

(2)如下图，分别以OB、OC为一边作∠BOE、∠COF，使得∠BOE=∠COF=∠AOD.

(3)分别在射线OE、OF上截取OE=OB、OF=OC.

(4)连接EF、ED、FD.

△DEF,就是△ABC绕O点旋转后的图形.

［师］同学们画得很好，大家想一想，分组讨论：本题还有没有其他作法，可以作出△ABC绕O点旋转后的图形△DEF吗？

(同学们讨论、归纳)

［生甲］可以先作出点B的对应点E，连结DE，然后以点D、E为圆心，分别以AC、BC为半径画弧，两弧交于点F，连结DF、EF，则△DEF就是△ABC绕点O旋转后的图形.

［生乙］也可以先作出点C的对应点F，然后连结DF.因为△ABC与△DEF全等，所以既可以用两边夹角，也可以用两角夹边，找到点B的对应点E，即△DEF.

［师］同学们讨论得非常精彩.方法多种多样，很好.接下来，大家来想一想(出示投影片§3.4 C)

［生丙］还需要知道绕哪个点旋转，旋转的角度是多少？

［生丁］就是要知道旋转中心和旋转角.

［师］很好，由此我们可以知道，要确定一个三角形旋转后的位置的条件为：

(1)三角形原来的位置.

(2)旋转中心.

(3)旋转角.

这三个条件缺一不可.只有这三个条件都具备，我们才能准确地找到一个三角形绕点旋转后的位置，进而作出它旋转后的图形.

下面我们来通过练习进一步熟悉简单平面图形旋转后的图形的作法.

Ⅲ.课堂练习

(一)课本P70随堂练习.

在下图中，将大写字母N绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90°，作出旋转后的图案.

解：如下图，先确定字母N的四个端点绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90°后的位置，然后连线.

(二)看课本P69~P70然后小结.

Ⅳ.课时小结

本节课我们通过作平面图形旋转后的图形，进一步理解了旋转的性质，并且还知道要确定一个三角形旋转后的位置，需要有：①此三角形原来的位置.②旋转中心.③旋转角等三个条件.

在作图时，要正确运用直尺和圆规，进而准确作出旋转后的图形.要注意语言的表达.

Ⅴ.课后作业

(一)课本P71习题3.5 1、2.

(二)1.预习内容P71~P72.

2.预习提纲.

探索图形之间的变换关系.

Ⅵ.活动与探究

在五边形ABCDE中，AB=AE、BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°.

求证：AD平分∠CDE.

过程：让学生分析、讨论.

要证：AD平分∠CDE.则需证∠ADC=∠ADE.而∠ADC是在四边形ABCD中，∠ADE是在△ADE中，且已知：BC+DE=CD、AB=AE、∠ABC+∠AED=180°，这时想到，连结AC，将四边形ABCD分成两个三角形，把△ABC绕A点旋转∠BAE的度数到△AEF的位置，这时可知D、E、F为一直线，且△ADC与△ADF是全等的，因此命题即可证得.

结果：如图，连结AC，将△ABC绕点A旋转∠BAE的度数到△AEF的位置，因为AB=AE，所以AB与AE重合.

因为∠ABC+∠AED=180°，且∠AEF=∠ABC，所以∠AEF+∠AED=180°.所以D、E、F三点在一直线上，AC=AF，BC=EF.

在△ADC与△ADF中

DF=DE+EF=DE+BC=CD.

AF=AC,AD=AD

所以,△ADC≌△ADF(SSS)

因此，∠ADC=∠ADF

即：AD平分∠CDE.

板书设计

§3.5 它们是怎样变过来的

知识与技能目标：

图形之间的变换关系.

过程与方法目标：

经历探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)的过程，发展图形分析能力、化归意识和综合运用变换解决有关问题的能力.

情感态度与价值观目标：

在探索活动过程中，培养学生的化归意识和审美观念.

教学重点

探索图形之间的变换关系.

教学难点

探索图形之间的变换关系.

教学方法

分组讨论法.

教具准备

投影片四张：

第一张：引例(记作投影片§3.5 A)；

第二张：想一想(记作投影片§3.5 B)；

第三张：例1(记作投影片§3.5 C)；

第四张：(记作投影片§3.5 D).

教学过程

Ⅰ.巧设情景问题，引入课题

［师］前面我们探讨了图形的平移和旋转，现在来回忆一下：平移和旋转的基本涵义及其它们的性质.

［生甲］在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小.

经过平移，对应线段、对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等.这是平移的基本性质.

［生乙］在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫旋转.旋转不改变图形的大小和形状.

旋转的基本性质：

经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.

［师］很好，我们来看大屏幕(出示投影片§3.5 A)

［师］大家先观察，然后分组讨论.

［生甲］整个图案可以看做是左边的两个小“十字”绕着图案的中心，分别旋转90°、180°、270°前后图形组成的.即：通过三次旋转形成的.

［生乙］这个图形也可以看做是由一个“十字”通过连续七次平移前后的图形共同组成的.

［生丙］这个图形可以看做是左边的两个小“十字”先通过一次平移形成图形右侧的部分，然后左、右部分一起绕图形的中心旋转90°前后的图形共同组成的.

［生丁］这个图形也可以经过轴对称形成.它可以是左边的两个小“十字”经过两次轴对称所形成的.

如图，直线EF与GH相交于图形的中心点O，且互相垂直，先把左边的两个小“十字”作关于EF的轴对称图形，然后作这两部分关于GH的轴对称图形，这样就可得到整个图形.

［师］很好，同学们经过观察、分析，知道一个图形既可以看做是由某个“基本图案”平移得到；也可以看做是由某个“基本图案”旋转而成的；也可以看做是经过轴对称而形成的；也可以是平移与旋转相结合而组成的.

这节课我们就来探讨图形之间的变换关系，即：它们是怎样变过来的.

Ⅱ.讲授新课

［师］现在大家来“想一想”(出示投影片§3.5 B)

［师］同学们可以讨论、动手变换一下.

［生甲］这个图案不能由某个“基本图案”平移或旋转得到.

［生乙］这个图案是一个轴对称图形，它可以看做是左边的图案通过一次轴对称所形成的；也可以看做是右边的图案通过一次轴对称所形成的.

［生丙］这个图案可以看做是把左边(右边)的图案翻折180°前后图形共同组成的.

［师］很好，由此我们知道：并不是所有的图形都可以通过一次平移或旋转而得到的.

下面我们再来分析一个图形(出示投影片§3.5 C)

［师生共析］观察图形，甲、乙两个图案的大小、形状一样，只是甲图案是斜的、乙图案是直的，且它们的形状的左、右两部分相反，由此可以看出：若把甲图案“扶直”，则这时的甲乙两图案是轴对称的，这样即可把甲图案变为乙图案.

解：可以先将甲图案绕图上的A点旋转，使得图案被“扶直”，然后，再以AB的垂直平分线为对称轴，作它的轴对称图案，即可得到乙图案.(如下图)

［师］大家想一想、议一议：本题还可以用什么方法把甲图案变为乙图案？

［生丁］还可以先作轴对称图案，然后再将图案“扶直”.如下图

以AB的垂直平分线为对称轴，作甲图案的轴对称图案，然后将它绕点B旋转，使得图案被扶直，这样就可以得到乙图案.

［师］很好，如果把图形稍作变化时.(出示投影片§3.5 D)

［生甲］可以先将甲图案绕图上的A点旋转，使得图案被“扶直”，然后将它向左(或沿AB方向)平移线段AB的长度，这样，甲图案就变成乙图案.

［生乙］也可以先将甲图案向左平移线段AB的长度，然后将它绕点B旋转，使得图案被“扶直”，这时，就可得到乙图案.

［师］同学们表现得非常好，由刚才的题可以看到，由于图形稍作变化，则图形之间的变换关系也就不一样.这要引起大家的注意.

接下来我们通过练习进一步熟悉图形之间的变换关系.

Ⅲ.课堂练习

(一)课本P72随堂练习

1.如图，怎样将右边的图案变成左边的图案？

答：以右边图案的中心为旋转中心，将图案按逆时针方向旋转90°，然后平移，即可得到左边的图案.

2.下图是由三个正三角形拼成的，它可以看做由其中一个三角形经过怎样的变化而得到的？

答案：把中间的正三角形看做基本图案，以三个正三角形的公共顶点为旋转中心，分别按顺时针、逆时针方向旋转60°，即可得到该图案；把中间的正三角形看做基本图案，分别以这个三角形与相邻三角形的公共边所在的直线为对称轴作轴对称图形，也可以得到该图案.

(二)看课本P71~P72，然后小结.

Ⅳ.课时小结

本节课我们通过探索图形之间的变换关系，知道一个图形可以由某个基本图案平移，或旋转，或轴对称，或它们的组合所得；大家一定要对图形进行认真分析，理解它们之间的变换关系.图形的变换关系是随图形的变化而变化的.

Ⅴ.课后作业

(一)课本P73习题3.6 1、2

(二)1.预习内容P74~P75.

2.预习提纲

(1)阅读课本内容后，为班级设计一个班徽.

(2)收集生活中的典型图案.

Ⅵ.活动与探究

如图，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P、Q、M、N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系，填空：

A与_________对应；B与_________对应；C与_________对应；D与_________对应.

过程：本题可让学生动手操作，培养学生的实践能力；也可让学生直接观察，培养学生的空间想像能力.本题蕴含着图形变换中位变而形不变的性质.

结果：A与M、B与P、C与Q、D与N分别对应.

板书设计

§3.6 简单的图案设计

知识与技能目标：

利用平移或旋转来进行简单的图案设计.

过程与方法目标：

1.认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用.

2.能够灵活运用平移旋转与轴对称的组合进行一定的图案设计.

情感态度与价值观目标：

1.经历对生活中的典型图案进行观察、分析、欣赏等过程，进一步发展空间观念、增强审美意识.

2.通过学生之间的交流、讨论、培养学生的合作精神.

教学重点

灵活运用平移、旋转与轴对称的组合进行简单的图案设计.

教学难点

灵活运用平移、旋转与轴对称的组合进行简单的图案设计.

教学方法

分组讨论法.

教具准备

投影片三张：

第一张：引例(记作投影片§3.6 A)；

第二张：做一做(记作投影片§3.6 B)；

第三张：例1(记作投影片§3.6 C).

电脑操作：平移、轴对称、旋转等.

教学过程

Ⅰ.巧设情景问题、引入课题

［师］在现实生活中，我们经常见到一些美丽的图案，看大屏幕(出示投影片§3.6 A)

［生甲］(1)的图案可以看做是图形的六分之一绕图形的中心旋转60°、120°、180°、240°、300°前后图形所组成的；也可以看做是图形的三分之一绕图形的中心旋转120°、240°前后图形所组成的；也可以看做是图形的二分之一绕图形的中心旋转180°前后图形所组成的.

［生乙］(2)的图形可以看做是由“基本图案”——一个四边形平移组成的.这三个四边形的任一个都可以作为“基本图案”；只是平移的方向和距离有所不同.

［生丙］(2)的图形还可以这样：把其中的一个四边形作为“基本图案”，然后作它的轴对称的图案来形成整个图案.

［生丁］(3)的图案既可以看做是图形的六分之一绕图形的中心分别旋转60°、120°、180°、240°、300°前后图形所组成的；也可以看做是图形的三分之一绕图形的中心分别旋转120°、240°前后图形所组成的；还可以看做是图形的二分之一绕图形的中心旋转 180°前后图形所组成的；

(3)的图案是轴对称图形.所以还可以利用作图形中任一部分的轴对称的图案来完成整个图案.

［生戊］(4)的图案可以看做是图形中的一个三角形绕两个三角形重叠部分的线段的中点，即图形的中心，旋转180°前后图形所组成的.

［生己］(5)的图案的形成与图案(3)的基本一样，既可以用旋转，也可以用轴对称.即：整个图案可以看做是图形的六分之一绕图形中心分别旋转60°、120°、180°、240°、 300°.前后图形所组成的；也可以看做是图形的三分之一绕图形中心分别旋转120°、 240°前后图形所组成的；还可以看做是图形的二分之一绕图形中心旋转180°前后图形所组成的；

这个图案也可以利用轴对称来完成整个图案，即可把图形中的某一部分作为“基本图案”，然后作它的轴对称的图案，从而完成整个图案.

［生庚］图案(6)可以看做是图形的十一分之一绕图形的中心分别旋转：word/media/image52_1.png、2×word/media/image52_1.png、3×word/media/image52_1.png、4×word/media/image52_1.png、5×word/media/image52_1.png、6×word/media/image52_1.png、7×word/media/image52_1.png、8×word/media/image52_1.png、9×word/media/image52_1.png、10×word/media/image52_1.png前后图形所组成的.

［师］同学们表现得很好，分析得很有道理，这六个图案都是真实的标志性图案的再加工，它们都可以看做是其中的某些部分通过适当的平移、旋转或轴对称所形成的.

好，我们能分析已有图案，那么能否仿照图3—23中的某个标志来设计一个图案呢？

这节课我们来研究：简单的图案设计.

Ⅱ.讲授新课

［师］下面我们分组来设计图案.要求如下(出示投影片§3.6 B)

(各小组同学经过讨论、分析，然后每位同学进行绘画，课堂气氛活跃，充分发挥学生丰富的想像力)

各小组选出较好的上台展示，然后叙述其图案的形成及意图.

［师］各小组展示的图案都匠心独具，非常精彩，下面请大家再看一幅图(出示投影片§3.6 C)

［师生共解］这个图案是由三个“基本图案”组成的，它们分别是三种不同颜色的“爬虫”(形状、大小完全相同).

在图中，同色的“爬虫”之间是平移关系，所有同色的“爬虫”可以通过其中一只经过平移而得到；相邻的不同色的“爬虫”之间可以通过旋转而得到，其中，旋转角度为120°，旋转中心为“爬虫”头上、腿上或脚趾上一点.

［师］生活中有好多的图案用到了平移或旋转，你收集到的图案多吗？请大家拿出来，看一看哪些图案用到了平移或旋转？分析其中一个，并与同伴进行交流.

(学生进行分析、讨论，教师巡视、指导)

［师］同学们能准确地找到生活中用平移或旋转组成的图案，并能分析、这很好.那你在计算机上能进行平移、旋转、轴对称吗？大家来读一读P75的“在计算机上进行平移、旋转、轴对称”.

(学生阅读后，教师进行在电脑上演示)

Ⅲ.课时小结

这节课我们通过对一些图案的观察、分的，并进行了简单的图案的设计，进一步理解了平移、旋转及轴对称的性质，同学们以后要灵活应用这些性质.

Ⅳ.课后作业

(一)课本P77习题3.7 1、2、3.

(二)1.预习内容：本章所有内容.

2.预习提纲.

(1)总结本章所学内容.

(2)每位同学出一份自测题.

Ⅴ.活动与探究

下图是由12个全等三角形组成的，利用平移、轴对称或旋转分析这个图案的形成过程.

过程：让学生进行观察、分析，找到这个图案的形成过程.

结果：这个图案可以看做是按照如下步

骤形成的.

(1)以一个三角形的一条边为对称轴作与它轴对称的图形.

(2)将得到的这组图形以一条边的中点为旋转中心旋转180°.

(3)分别以这两组图形为平移的“基本图案”，各平移两次，即可得到最终的图形.

板书设计

§3.7 回顾与思考

知识与技能目标：

1.平移的基本涵义及其性质.

2.旋转的基本涵义及其性质.

3.能按要求作出简单平面图形平移后或旋转后的图形.

4.图形之间的变换关系.

5.运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.

过程与方法目标：

1.通过回顾进一步理解平移、旋转的基本性质，并能准确作出简单平面图形平移、旋转后的图形.

2.探索图形之间的变换关系，认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用.

3.能够灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.

情感态度与价值观目标：

1.通过回顾与思考 ，进一步发展学生的空间观念，培养其操作技能，增强审美意识.

2.通过观察、动手操作等实践活动，使学生积累丰富的数学经验.

3.通过学生的独立思考和合作交流，进一步体会图形平移、旋转的数学内涵，形成有关的简单技能，享受学习的乐趣.

教学重点

本章的重点内容.

教学难点

探索图形之间的变换关系.

利用平移、旋转和轴对称的组合进行图案设计.

教学方法

分组讨论式.

教具准备

投影片两张：

第一张：问题(记作投影片§3.7 A)；

第二张：结构框架(记作投影片§3.7 B).

教学过程

Ⅰ.巧设情景问题，引入课题

［师］前面几节课我们探讨了图形的平移与旋转，今天来通过复习这部分内容，进一步理解认识平移与旋转在生活中的应用.

Ⅱ.讲授新课

［师］我们以小组为单位，以问题串的形式来共同回顾一下本章的内容.看大屏幕(出示投影片§3.7 A)

(学生通过讨论、归纳、举例，一个一个问题解决)

［生甲］平移是在平面内，把一个图形沿某个方向移动一定的距离的运动.平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置.

如：商店里的货架上摆放的一列同种饮料可以看做是一饮料通过平移而形成的.饮料的形状和大小没有变化，只是饮料放的位置有所变化.

……

(学生们举出了好多生活中的实例，来说明平移不改变图形的大小和形状，只改变位置)

［生乙］如：夏天，在好多公共场所都装有三叶吊扇，它的运动就是旋转.即：

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.

由三叶吊扇运动可知：旋转不改变图形的大小和形状.只是它的“基本图案”——一叶吊扇的位置有所变化.

……

(同样，学生也举出了好多旋转实例，说明旋转不改变图形的大小和形状)

［生丙］(2)经过平移，对应点所连成的线段平行且相等.这是平移的基本性质.

经过旋转，每一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转角相等；每一对对应点到旋转中心的距离相等.这是旋转的基本性质.

［(3)(4)由学生分组讨论、分析、设计.这两个题没有统一的标准］

问题(3)：只要学生叙述的语言与所拿的图案的意思基本一致且合乎情理即可.

问题(4)：只要学生设计的图案与所表达的含义基本一致且合情合理即可.然后可把一些设计较好的在全班展示.(在投影上放影)

通过问题(3)、(4)的解决，使学生进一步理解图形之间的变换，能灵活运用平移、旋转及其组合进行简单图案的设计.

［师］我们通过分组讨论，解决了具有能反映本章内容的一串问题，现在来梳理一下本章的结构框架.(出示投影片§3.7 B)

［师］好，下面我们通过练习来进一步熟悉掌握本章内容.

Ⅲ.课堂练习

(一)课本P78复习题A组1、3、6(3)(4).

1.下面两幅图案分别是由什么“基本图案”通过平移得到的.

(图为P78第一题)

答案：(1)的图案可以看做是一个立体图案经过连续多次平移而形成的.

(2)的图案是先将字母G作轴对称，得到一对成轴对称的图案，然后以这个图案为“基本图案”按水平方向连续多次平移即可得到这幅图案.

3.图中的菊花图案，绕中心旋转多少度后能和原来的图案互相重合？

答案：图中的菊花图案绕中心旋转45°或其整数倍后能与原来的图案相互重合.

6.任画一个Rt△ABC,其中∠B=90°，分别作出△ABC按如下条件旋转后或平移后的图形.

(3)取三角形外一点P为旋转中心，按逆时针方向旋转180°.

(4)将△ABC平移，使得B点的对应点为A点.

解：(3)分别连接AP、BP、CP并延长到D、E、F，使PD=AP，PE=PB，PF=PC连接DE、EF、FD，则△DEF就是以点P为旋转中心，按逆时针方向旋转180°后的三角形.

(3) (4)

(4)按照BC的方向作射线AD∥BC，在射线AD上截取线段AD，使AD=BC，延长BA到E，使AE=BA，连接ED，则△EAD就是△ABC平移后的三角形.

(二)课本P80复习题B组1、3.

1.利用一个圆、一个正三角形，通过2次旋转或平移设计一个图案，说明你的设计意图.

答：(略)

3.如图，△ABC、△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到.

答案：△ABD与△ACE可以通过以点A为旋转中心的旋转变换而相互得到，旋转角度为42°.

Ⅳ.课时小结

本节课我们重点复习了图形的平移与旋转，大家要理解掌握平移与旋转的基本性质，能准确地作出一个图形平移或旋转后的图形，对于现实生活中的实例图案能准确地分析出图形之间的变换关系，通过简单的图案设计，把图形的轴对称、平移和旋转融合在图案的设计中.

Ⅴ.课后作业

(一)课本P78复习题

A组 2、4、5、6(1)、(2)、7

B组 2

C组 1、2

(二)每人写一份小结，用自己的语言梳理本章内容，回顾自己在本章学习中的收获、困难和需要改进的地方.

(三)预习内容：P81~P83

2.预习提纲

(1)平行四边形的定义及有关概念.

(2)平行四边形的性质.

Ⅵ.活动与探究

如图，过正方形的中心O点和边上一点P随意一条曲线，将所画的曲线绕O点按同一方向连续旋转三次，每次的旋转角度都是90°，这样就将正方形分成了四部分，这四部分之间有什么关系？

过程：先让学生画出图(1)，然后按照题意，旋转正方形，得到图(2)，这时既可以通过观察图(2)得到结果；也可以按曲线把正方形剪成四部分，把这四部分重叠一下，即可得出结果.

结果：这四部分是大小、形状完全相同的四块图案.

板书设计

§3.7 回顾与思考

知识与技能目标：

1.用字母表示数的意义.

2.代数式的含义.

3.合并同类项法则及运算.

4.去括号法则及运算.

5.会求代数式的值.

6.探索一些数量关系的规律.

过程与方法目标：

1.进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.

2.理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与世界的联系.

3.理解合并同类项和去括号法则，并会进行运算.

4.会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律.

5.会借助计算器探索数量关系，解决某些问题.

情感态度与价值观目标：

通过师生共同的活动来培养学生的应用意识，提高学生解决实际问题的能力及创新能力.

教学重点

突出本章重、难点内容.

教学难点

灵活运用所学有关知识解决实际问题.

教学方法

自学辅导法.

教具准备

投影片四张

第一张：游戏(记作：投影片A)

第二张：问题(记作：投影片B)

第三张：“想一想”(记作：投影片C)

第四张：知识体系(记作：投影片D)

教学过程

Ⅰ.巧设情景问题，引入课题

［师］同学们还记得开始学第三章时，做的游戏吗？(出示投影片A)

随便想一个自然数，将这个数乘5减7，再把结果乘2加14，那么最后结果的个位数是多少？

［师］当时大多数同学经计算得出最后结果的个位数是0，并且有位同学猜想：用任何一个自然数做这样的运算，最后结果的个位数都是0.当时有同学好像迷惑.我说学完这章后，问题就能解决了，现在大家能解决吗？

［生齐声］能.

［师］好，哪位同学来帮这个忙呢？

［生1］可以设这个自然数为x，则根据题意可列出代数式：2(5x－7)+14.然后进行去括号，合并同类项，把这个代数式化简，即：2(5x－7)+14=10x－14+14=10x

从化简结果看：任何一个自然数乘10，其结果的个位数都是0.

［师］很好，这位同学用字母x表示了任何一个自然数，然后把语言“变成”代数式，再进行去括号，合并同类项等运算，得到一个能反映这一数量关系的规律，经验证得知正确，这样就消除了同学们的迷惑，而他所用的这些知识都是第三章我们所学的内容，学以致用.

这节课我们就共同来回顾第三章所学的知识.

Ⅱ.讲授新课

［师］大家先来回顾本章的内容，然后小组讨论、总结本章知识，再回答以下问题：(出示投影片B)

1.字母能表示什么？

2.小华和小明分别从A、B两地相向而行，2小时相遇，小华每小时行a千米，小明每小时行b千米，用代数式表示A、B两地的距离.

3.代数式2a+2b可表示什么？

4.举例说明如何合并同类项、怎样去括号.

［生1］(1)字母能表示任何数.

［生2］(2)A、B两地的距离用代数式表示为：2a+2b.

［生3］(3)用a、b分别表示长方形的长和宽，那么代数式2a+2b表示这个长方形的周长.

［生4］用a、b分别表示两个数，代数式2a+2b就可表示为这两个数的2倍的和.

［生5］用a表示一本漫画书的价格，用b表示一本儿童故事书的价格，那么代数式2a+2b就表示买2本漫画书和2本儿童故事书所花的钱.

……

［生6］(4)如：把p2+3pq+6－8p2+pq合并同类项，首先要找出同类项：p2与－8p2、3pq与pq是同类项，然后利用加法交换律和结合律，把同类项合在一起，再把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，即：

p2+3pq+6－8p2+pq

=p2－8p2+3pq+pq+6

=(1－8)p2+(3+1)pq+6

=－7p2+4pq+6

［生7］如要化简代数式：

2(2a2+9b)－3(－5a2－4b)

而这个代数式中有括号，所以首先应去括号，然后再合并同类项.2(2a2+9b)可利用分配律得：4a2+18b;－3(－5a2－4b)可利用分配律：－3(－5a2－4b)=(－3)·(－5a2)+(－3)·(－4b)=15a2+12b;也可用去括号法则：括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都变号.即：

2(2a2+9b)－3(－5a2－4b)

=4a2+18b+15a2+12b

=19a2+30b.

［师］同学们分析得挺好，从刚才的讨论、归纳中知道：大家已掌握了本章的知识.

下面来看一段对话，大家想一想，肯定能回答(出示投影片C)

小亮说：“你想一个整数，将这个数乘2加7，把结果再乘3减21，这个数一定是6的倍数！”

小芳说：“你是怎么知道的？”

［师］有谁来帮小芳的忙呢？

［生］可以设这个整数为a，则根据题意，得：3(2a+7)－21,而把这个代数式化简后，得6a.即：3(2a+7)－21=6a+21－21=6a.

所以：3(2a+7)－21=6a这个等式是永远成立的.

［师］很好，这位同学帮助小芳进一步理解了用字母表示数的意义.

大家能编几个类似的游戏吗？

［生甲］如：一个数的2倍加上这个数的一半，把结果乘word/media/image61_1.png，一定还是这个数.

［师］好，谁来揭示其中奥秘.

［生1］设这个数为x，则根据题意，得word/media/image62_1.png(2x+word/media/image63_1.pngx)=word/media/image62_1.png×word/media/image64_1.pngx=x.

［师］好，继续.

［生乙］一个数的7倍减去8，把结果再乘以3加上24，然后把这一结果再除以21，一定还是它本身.

［生2］我知道，这个数可设为x,则根据题意得：word/media/image65_1.png=x.

［师］很好，像这类游泳我们能编好多，是吧？！通过交流，大家表达了自己对本章学习的内容的理解，那么同学们能否梳理一下所学知识，把它形成一定的体系呢？(出示投影片D)

［师］下面我们来做练习进一步巩固本章内容.

Ⅲ.课堂练习

课本P115 复习题：

1、4、5(1)(2)、6(5)(6)、7(3)(4)

1.用字母表示：

(1)加法结合律：_____.

(2)乘法结合律：_____.

(3)乘法分配律：_____.

(4)一个长方形的长为b,宽是长的一半，它的周长是_____，面积是_____.

(5)一个三角形的三边长都为c，它的周长是_____.

(6)一个平行四边形的一边长为a，该边上的高是其长的word/media/image67_1.png，这个平行四边形的面积是_____.

答案：(1)(a+b)+c=a+(b+c)

(2)(ab)·c=a(bc)

(3)a(b+c)=ab+ac

((1)~(3)中的a、b、c为任一有理数)

(4)3b word/media/image68_1.pngb2 (5)3c (6)word/media/image69_1.pnga2

4.人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关，如果用a表示一个人的年龄；用b表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分心跳的最高次数，那么b=0.8(220－a).

(1)正常情况下，在运动时一个14岁的少年所能承受的每分心跳的最高次数是多少？

(2)一个45岁的人运动时10秒心跳的次数为22次，他有危险吗？

答案：(1)把a=14代入代数式0.8(220－a)得：165

(2)把a=45代入：b=0.8(220－45)=140，而这个人运动时10秒心跳的次数为22次，即每分心跳为22×6=132次，小于正常情况下的最高次数，所以他没有危险.

5.举例说明下列各代数式的意义.

(1)a2－b2_____.

(2)(1－20%)x_____.

解：(1)a2－b2表示为a、b两数的平方差；或表示为正方形边长为a与边长为b的面积之差.

(2)(1－20%)x表示为：一台洗衣机原价为x元，降价20%后的售价，也可表示：比x少20%的数.

6.化简下列各式

(5)2(2a2+9b)+3(－5a2－4b)

(6)－3(2x2－xy)+4(x2+xy－6)

解：(5)2(2a2+9b)+3(－5a2－4b)=4a2+18b－15a2－12b=－11a2+6b

(6)－3(2x2－xy)+4(x2+xy－6)=－6x2+3xy+4x2+4xy－24=－2x2+7xy－24

7.先化简，再求值.

(3)(5a2－3b2)+(a2+b2)－(5a2+3b2),其中a=－1,b=1.

(4)2(a2b+ab2)－2(a2b－1)－2ab2－2,其中a=－2,b=2.

解：(3)(5a2－3b2)+(a2+b2)－(5a2+3b2)

=5a2－3b2+a2+b2－5a2－3b2

=a2－5b2

当a=－1,b=1时，

原式=(－1)2－5×12=1－5=－4

(4)2(a2b+ab2)－2(a2b－1)－2ab2－2

=2a2b+2ab2－2a2b+2－2ab2－2=0

当a=－2,b=2时，原式=0.

Ⅳ.课时小结

本节课我们复习了第三章：字母表示数，大家要把这章的主要内容掌握了.

Ⅴ.课后作业

(一)课本P115复习题：2，3，5(3)~(8)，6(1)~(4)；7①②,8

(二)完成一份本章小结，回顾自己在本章学习中的收获、困难及需要进一步努力的方面等.

Ⅵ.活动与探究

1.在公式(a+1)2=a2+2a+1中，当a分别取1、2、3…n时可得下列n个等式：

(1+1)2=12+2×1+1

(2+1)2=22+2×2+1

(3+1)2=32+2×3+1

……

(n+1)2=n2+2×n+1

将这n个等式的左右两边分别相加，可推导出公式：

1+2+3+…+n=_____(用含n的代数式表示)

过程：让学生观察，找规律.

(1+1)2=12+2×1+1 ①

(2+1)2=22+2×2+1 ②

(3+1)2=32+2×3+1 ③

…

(n+1)2=n2+2×n+1 ④

等式①的左边：(1+1)2=22

等式②的右边正好有个22

等式②的左边：(2+1)2=32

等式③的右边有一项为32

…

这样，将这n个等式的左右两边分别相加的同时，把左右两边相同的项分别消去，这时等式就变为：

(n+1)2=12+2×(1+2+…+n)+n×1 (*)

因为(n+1)2=n2+2n+1

所以等式“*”整理为：

1+2+3+…+n=word/media/image70_1.png

结果：1+2+3+…+n=word/media/image70_1.png或者：1+2+3+…+n=word/media/image71_1.png

板书设计

§3.7 回顾与思考

一、本章主要内容 三、课后作业

二、课堂练习

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a24b005e09a1284ac850ad02de80d4d8d05a0167.html